从微观到宏观从Boltzmann方程到流体力学方程
作者:秩名。 TAGS:方程,力学,宏观,微观,流体,方法,
导读：现在，对流体力学的研究一般从宏观，微观，介观三个层次。流体力学方程是从宏观层次上得到的，流体被假设为连续介质，流体运动满足质量守恒，动量守恒，能量守恒，并由Euler方程组Navier-Stokes方程组来描述，在数值计算中【1】，以非线性的微分方程为出发点，有有限差分法，有限容积法，有限元法，有限分析法，谱方法等，这类
方法本质上是一种自顶向下的方法，对微分方程进行离散，得到代数方程组或者常微分方程系统，再利用标准的数值方法求解。在微观上，流体不再被假设为连续介质，流体由大量的离散分子组成，分子受到相互间作用力和外加作用力的影响。在介观上，流体被离散成一系列的流体粒子，通俗的说，这些粒子比分子的级别要打，但从宏观上来说又无限小，其质量比起有限容积法中的控制容积质量要小得多，此时用数学的观点来描述此流体就应该Boltzmann方程。关键词：宏观，微观，介观，Boltzmann方程，流体力学方程 流体力学时研究流体运动规律的一门学科，经过多年的发展，已经取得了丰硕的成果，但由于流体运动的复杂性，还有很多实际的问题没有得到解决，在数学上，其复杂性反应在描述其运动的上，除了一些简单的情况，一般是很难得到这些方程的精确解的，因此，方程的求解问题也被美国CLAY数学促进会设立的7个100万美元奖金的千年难题之一。 现在，对流体力学的研究一般从宏观，微观，介观三个层次。。首先我们来介绍下这3个方面。 流体力学方程是从宏观层次上得到的，流体被假设为连续介质，流体运动满足质量守恒，动量守恒，能量守恒，并由Euler方程组Navier-Stokes方程组来描述，在数值计算中【1】，以非线性的微分方程为出发点，有有限差分法，有限容积法，有限元法，有限分析法，谱方法等，这类方法本质上是一种自顶向下的方法，对微分方程进行离散，得到代数方程组或者常微分方程系统，再利用标准的数值方法求解。 在微观上，流体不再被假设为连续介质，流体由大量的离散分子组成，分子受到相互间作用力和外加作用力的影响。任何系统的宏观特征和运动规律，再微观上都表现为分子的无规则的热运动。因而，一种最直接的想法就是通过模拟每一个分子的运动。再进行统计平均，已获得流体运动的规律。这种方法称为分子动力学模拟。由于这种方法主要是在计算机上实现的，所以在早期，受到计算机的限制，模拟的空间尺度和时间尺度都很有限。。但随着近年计算机技术的高速发展，分子动力学模拟方法也得到了迅速的发展，已经成为研究流体运动的一种重要的方法。。 在介观上 从以上的综述可以看出，对于同一流体，从宏观和介观可以由不同的方程来描述，因此，从数学的观点将其统一起来，就是非常必要的，下面，我们就从理论的角度，来证明，从介观的Boltzmann 方程可以恢复到到宏观的Navier-Stokes方程组。 首先我们简单的介绍下Boltzmann 方程。。这个方程是由统计力学的创始人之一Boltzmann所建立的，用以描述非平衡态分布函数演化规律的方程，其具体形式如下， （1） 其中，称为碰撞算子，它的形式由下式给出： 在中的B称为碰撞核，它仅依赖于粒子间的碰撞，从物理背景出发，我们总假设仅依赖于和，这里我们不过多的牵涉到它的具体形式。 下面，我们就严格的推导，如何从Boltzmann 方程到大家所熟悉的Navier-Stokes方程组，首先引入下面一个引理： 引理【2】：对于，，始终有成立。 注：该引理的证明科参考文献[2],这里我们不给出严格的证明，我们将以上的称为守恒量。 下面我们给出本文主要结论，即从形式上出发，可以由Boltzmann 方程到Navier-Stokes方程【3】。 证明：首先在方程两边同时乘以，并积分，利用引理，就可以得到下面的积分方程 (2) 如果我们定义，，就可以得到，这就是大家所熟知的质量守恒方程。 类似地，如果在方程（1）两边同时乘以和，并积分，再利用引理， 如果我们再定义，，， ，就可以得到动量守恒方程和能量守恒方程。 ，(3) (4) 以上的方程(2),(3),(4)j就是流体力学方程组。 注：虽然我们根据这个定理从形式上得到了流体力学方程组。。但要真正发挥作用，还需要求得，，使其成为一个封闭的方程组，而严格求解Boltzmann 方程是很困难的，所以还有很多的问题没有解决。。 对于宏观和微观的问题，近来成为大家研究的热点，相信随着研究的深入，很多问题都会被解决，也会给工程中带来更多的应用。 参考文献： 【1】何雅玲，王勇，李庆，格子方法的理论及应用，科学出版社。 【2】2008李大潜，秦铁虎，物理学与偏微分方程，高等教育出版社，2005 【3】C.Cercignani，R.Illner,M.Pulvvirenti,稀薄气体的数学理论，高等教育出版社，2009 |
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