在光的经典电磁场理论中，能量可取任意非负值，没有最小单元的限制，所有模的能量之和即为电磁场的总能量。实际上，如果我们考虑光的量子性，认为每个模所携带的能量不是连续分布的，而只能取一些不连续的分立值，即是说将电磁场的能量量子化，这就形成了量子化光场的基本概念。

在光的经典电磁场理论中，能量可取任意非负值，没有最小单元的限制，所有模的能量之和即为电磁场的总能量。实际上，如果我们考虑光的量子性，认为每个模所携带的能量不是连续分布的，而只能取一些不连续的分立值，即是说将电磁场的能量量子化，这就形成了量子化光场的基本概念。

由于普朗克常数联系的能量单元极小，当电磁场的能量或光子数密度较高时这种分立性很难显示出来，光学现象就能用经典电磁波理论圆满解释。但是，实质上任何光波场都由一系列电磁场模组成，每个模包含具有确定能量的整数个分立的光子，每个光子都反映着单模电磁场的物理特性，如频率、空间分布、传播方向和偏振等，这就决定了光子的类波（wavelike）特性，正是由于这些类波性使光能产生干涉、衍射等典型的波动光学现象并在一定条件下服从波动光学的规律

 

关于在基础光学教学中引入量子化光场基本概念的设想

李玉红*

                         （兰州大学现代物理系）

摘要     本文讨论如何在基础光学中引入量子化光场的基本概念，并用量子化光场的观点分析熟知的光学现象，深化对光波粒二象性的认识。

关键词   量子化光场    波动光学    几率幅

分类号    437

一  引言

    光的量子论始于1900年，普朗克在研究黑体辐射时发现用谐振子能量量子化的假说可以解释实验测量的结果。他假定：一个角频率为的谐振子的能量，只能是基本量子的整数倍，其中，是普朗克常数。继后，实验物理学家又发现了光电效应，当用光的波动理论解释光电效应的实验结果时，又遭到失败。1905年爱因斯坦在普朗克的能量子假设的启发下提出如下假设：在光和物质相互作用时，其能流并不象波动理论所想象的那样是连续分布的，而是集中在一些叫光子（或光量子）的粒子上，而这种粒子仍保持着频率的概念，光子的能量正比于其频率，即，并用著名的光电效应方程完满地解释了光电效应。普朗克起初把能量子的概念仅局限于谐振子的发射和吸收机制，而爱因斯坦却建议，辐射能本身是一粒一粒地集中存在，密立根的实验结果则是对爱因斯坦光电效应的有力支持。尽管人们已经认识到光具有量子性，但由于以麦克斯韦电磁波为基础的经典波动光学成功地解释了大多光学现象，二十世纪中期以前，物理光学一直独立于量子理论而发展，直到六十年代初期，激光问世之后，通过激光与物质的相互作用，特别是非线形相互作用，人们发现一系列新的光学效应，如光子反聚束，亚泊松分布和光场压缩态等。这些是量子态的直接表征，用任何经典理论都无法预测和解释，统称为光场的非经典性。认识和研究光场自身，以及光和物质的相互作用的纯经典效应必须以量子电动力学为基础，这就形成了一门新的光学学科——量子光学。在量子光学中，电磁场被量子化，电场和磁场在数学上被处理为矢量空间的算符，它们满足量子力学的算符方程和对易关系，而这些方程和对易关系又决定着电磁场在时空中的动力学演化及光与物质相互作用的规律。量子电动力学方程既能像经典电动力学中的麦克斯韦方程组一样精确地描述电磁场与物质的相互作用过程，又能导出经典理论不能解释的量子特性和量子效应，因此它是一种更具有普遍性的光学理论，能说明目前所知的所有光学现象。现已出版的光学教材均以几何光学和波动光学为重点，虽然在最后一章都通过黑体辐射和光电效应等实验引出了光量子性及波粒二象性的概念，但学生在学完之后无法将波动和粒子两种截然不同的“经典”物理图像统一起来。如果我们能通过简单的教学处理，从学生熟悉的光的电磁波方程出发引入量子化光场的概念，在光的波动性和量子性之间架起一道桥梁，并在此基础上引入光子的能量、动量、本征角动量等粒子特性，特别注意这些物理量与经典电磁场量的对应关系，使学生能在近代量子电动力学的框架下初步认识光的波粒二象性，并能了解量子光学和电磁波光学的兼容性。实际上，正像几何光学是波动光学的极限情况一样，波动光学也是量子光学理论在光子数密度高，且探测仪器分辨本领远低于单光子能量情况下的极限。以下是我们对这一部分的一点己见。

 

二  量子化光场基本概念的引入

1         电磁场腔模的量子化

限于谐振腔内的电磁场具有相对简单的空间几何分布，以存于谐振腔内电磁场模为基础完成电磁场量子化比较直观而且易于处理，同时由于量子化的最终结果中并不出现任何谐振腔参量，因此这种方法并不失一般性。被置于体积为V的谐振腔内的电磁场将形成若干可能存在的驻波，腔内电磁场为这些驻波的总和。每个驻波可看成一个谐振子，可用一些不同频率、不同空间分布和不同偏振的分立的振动模(K)表示，电场矢量

     其中

            （1）

第个模的复振幅为，频率为，沿方向偏振，其空间分布用归一化复函数表示，即，和不是唯一的。例如在一个边长为的立方形空腔中，可表示为一系列驻波形式：

               （2）

其中、和是整数。如在立方形空腔中三个不同频率、不同空间分布和不同偏振的三个模。每个模所包含的能量为

                           （3）

在光的经典电磁场理论中，能量可取任意非负值，没有最小单元的限制，所有模的能量之和即为电磁场的总能量。实际上，如果我们考虑光的量子性，认为每个模所携带的能量不是连续分布的，而只能取一些不连续的分立值，即是说将电磁场的能量量子化，这就形成了量子化光场的基本概念。以早期有关光量子的实验为基础，人们自然会想到，这个最小能量单元即为光量子或称光子，它所携带的能量为，这里为单模电磁波的振动频率，成为普朗克常数。虽然普朗克常数是二十世纪初著名物理学家普朗克在拟合黑体辐射实验曲线时根据实验数据得出的一个常数，但其伟大意义决不仅限于此，因为它真实地限制了电磁场可能存在的能量最小单元，也即是光子的能量。普朗克之后的一系列物理实验，如光电效应，密立根实验，以及直至今天的所有精确量子光学实验都证明普朗克常数是量子物理中的一个普适常数，它反映了电磁场能量的不连续性-----量子性，电磁场本征存在的量子化结构由普朗克常数集中表征。由于普朗克常数联系的能量单元极小，当电磁场的能量或光子数密度较高时这种分立性很难显示出来，光学现象就能用经典电磁波理论圆满解释。但是，实质上任何光波场都由一系列电磁场模组成，每个模包含具有确定能量的整数个分立的光子，每个光子都反映着单模电磁场的物理特性，如频率、空间分布、传播方向和偏振等，这就决定了光子的类波（wavelike）特性，正是由于这些类波性使光能产生干涉、衍射等典型的波动光学现象并在一定条件下服从波动光学的规律。

 

2   光子的物理特性

2.1  光子的能量

在量子化光场中，单个光子是能量的最小单元，它携带的电磁场能量

                                        （4）

这里， 。单模电磁场的能量决定于该模式中所包含的光子数，如一个模中包含有个光子，则该模的总能量为

                                          （5）

其中，称为零点能，即当一个电磁场模中所存在的光子数时，仍然携带着的能量。在量子力学中，能量量子化方程（5）是解定态薛定谔方程的自然结果，它由束缚态合理边界条件所决定，无需人为地额外加入量子化条件，零点能是纯量子力学效应，它说明具有波粒二象性的微观粒子，不会存在能量为零的静止状态。如果电磁场中存在个模，其相应的频率分别为，，，每个模所具有的光子数为 ，则该电磁场的总能量为

                           （6）

当任何场模所含光子数为零时，电磁场处于真空态，真空态的能量为各模零点能之和

                                             （7）

就物理意义而言，能量为的零点能并不意味着存在“半个光子”，可以将它看作存在于真空场的“电磁扰动”，这正是微观粒子波粒二象性的特殊表现。现存的各种光学探测仪器均依赖于光的吸收，即以光子的湮灭为代价，仅当在探测位置上有光子出现时，它才会给出读数，因此在实际测量中零点能对可观察的辐射强度不作贡献。

 

2.2   光子动量

任何复杂电磁波均可由Fourier变换分解为单色平面波的和，在由单色平面波方程

                         （8）

所描述的电磁场模中，光子以光速c沿波矢的方向飞速运动，一个光子具有的动量正比于波矢的大小，即

                                                     （9）

其中||=，为相应平面波的波长。由于 ，所以光子能量和动量的关系为

                                                    （10）

按照麦克斯韦经典电磁波理论所导出的电磁场能量和动量的关系与方程（10）完全一致，即，在那里，和分别代表电磁场中单位体积内所包含的电磁场的能量和动量。从量子化光场的观点，如果单位体积中包含有个光子，则

         

         

这种一致性正好说明量子化光场兼容着经典电磁场的所有物理特性。按狭义相对论，一个静止质量为的粒子的能量和动量，满足以下方程

                                    （11）

光子是具有电磁波特性的粒子，因此它应同时满足（10）和（11）式，也即是说光子的静止质量必须为零，迄今为止，所有物理实验也都证实光子没有静止质量，即光子的。光子只能以光速c运动，不存在静止的光子。光子的能量是纯粹的动能。光子的动质量由其总能量按相对论质能关系确定： 。

2.3   光子自旋（偏振）

像所有微观粒子一样，光子具有内禀角动量，即自旋，它决定着光子的偏振状态。光子的内禀角（自旋）的大小为

                                       （12）

根据光子的自旋矢量平行或反平行于动量矢量，可把光子分为左旋圆偏振光子和右旋圆偏振光子，当自旋矢量平行和反平行于动量矢量的几率相等时光子具有线偏振光特性。也就是说对于一个线形偏振光子可以看成是几率各为1/2的左旋圆偏振光子和右旋圆偏振光子的叠加。

2.4   光子的位置

经典物理中的波总是连续扩展地分布于空间某一区域，而经典粒子在空间却局域于一个确定的位置。量子化光场中的光子具有波粒二象性，其“行为”应该是同时兼有扩展与局域两种特性，在量子光学中它们在局域几率分布定则下得到统一。由方程（1）可知，与一个频率为的光子相联系的电磁波模为： ，在空间位置，电磁波的强度正比于波函数的复振幅的平方，即

                                  （13）

然而，由于光子的不可分性，当我们在位置处，正对光的传播方向放置一仅有微小探测面积的探测器时，从量子理论的观点它或者探测到整个光子，或者什么也探测不到，也就是说光子在空间的位置不能精确地确定。但是可以肯定地说，光强度愈大的区域探测到光子的几率也愈大，由此我们可以建立确定光子空间位置分布的几率概念。在空间某一点观测到光子的几率正比于电磁波中该点的电磁波强度

                      （14）

为光子出现于空间处的几率密度，即置于处单位面积的探测器探测到光子的几率。方程（14）称为光子局域性几率定则。运用这一定则我们可以从量子化光场的观点解释所有波动光学现象。

 

三   从几率定则的观点解释几种波动光学现象

1          分束器

一个理想的分束器可以无损耗地把一束光分成有一定夹角的两束光，设分束器的透过率为，反射率，则透射波光强和反射波光强与入射波光强之间有如下关系：

                                 （15）

当单个光子到达分束器时，它或者完全透射，或者完全反射，不可能在两个方向上同时探测到光子。根据局域性几率定则，光子的透射几率等于透射率，反射几率为。在波动光学实验中总是有大量光子同时到达分束器，每个光子的透射和反射的几率均由分束器性质确定，按统计平均的结果，就形成了由方程（15）所确定的反射和透射光强。

2   干涉和衍射

干涉和衍射是光波动性的特征现象，引入几率幅的概念可以用局域性几率定则解释单光子的干涉和衍射，其规律与从波动理论得出的规律一致且能很好地与实验现象吻合。在方程（14）中为空间位置的复函数，称为几率幅，实数部分决定光子到达该点的几率，而虚数部分则与相位有关。对经典粒子而言，相位不具有任何物理意义，但是对量子化电磁场中的光子，相位却反映了某一时刻在空间某处光子的“振动”状态，它与光子所对应的电磁波模的位相具有相同的物理含义，这也正是微观粒子波粒二象性的表征。

假定在某一设定的空间中，一个光子可经由几率不同的路径到达点，各条路径的几率分别为 ， ， ，总几率幅为所有可能的几率幅之和

        =++                  （16）

光子在处出现的几率为

        =|++          （17）

当然，如果对光子可能到达的整个空间体积V求积分，应该是归一的，即=1。现在以杨氏双孔干涉实验为例，说明光子的干涉。在这一特殊实验装置下，由于光屏的不透明部分阻挡光子到达屏后的空间，光子到达屏后点只有通过由屏上两个小孔限定的两条路径，其几率为与，于是总几率

        =|+|                              （18）

几率幅与的位相依赖于沿每条路径所走过的路径长度，当它们在点的位相差为的奇数倍时，到达该点的几率最小：

                =（||-||）               （19）

当它们同位相时，光子到达的几率最大：

                =（||+||）         （20）

当位相差在0—之间时，光子出现的几率介于极大与极小之间。设为与之间的位相差，则

=||+||+2（||||） （21）

从形式上看，（21）式等价于两列波的干涉结果，然而却有不同的物理内涵。从波动的观点，电磁波连续地“弥散”于整个空间，干涉是两列波相干叠加的结果。从量子力学观点，光的波动性不能归因于光束整体，每个光子都具有各自独立的波动本性，这种波动性反映于光子的几率分布。在杨氏实验中，每一个光子都以某种方式同时和两个孔相互作用，这种作用的结果形成了光子在阻挡屏后面的空间几率分布具有方程（21）式表示的形式，随便关闭一个小孔，或改变小孔的位置，几率分布就会改变，干涉条纹也会改变，即是说每一个光子实际上只与自己发生“干涉”。这一观点已在弱光流干涉实验中得到证实。如果入射光的通量密度减小至某一时刻仅有一个光子到达双孔，经过足够长的曝光时间之后，我们在屏上的空间会记录到与强光束一次曝光完全相同的双孔干涉图案，甚至清晰度与条纹对比度都丝毫不减。

在衍射实验中，不同的衍射屏（或障碍物），对光子产生不同的作用，使光子通过障碍物到达空间各点的几率分布发生变化，按照局域几率分布定则，光子衍射的几率分布与光波的衍射强度分布一致。与干涉实验一样，弱光流的衍射实验也证实了量子理论的几率分布论断。

众所周知，除光子之外，其它微观粒子也都具有波粒二象性，都服从几率分布定则。电子干涉和衍射实验使我们认识到静止质量不为零的实物粒子的波粒二象性。

 

3   费马原理

费马原理指出：光在介质中从S点P点传播所经历的光程相对于路径的变分必须是平稳的，即是说，实际轨道的光程在一级近似下应该和最近邻它的那些路程的光程相等。几何光学中光的传播和成像规律，均可由费马原理概括。从量子化光场的观点，在光传播的可能路径中，只有对应于平稳路径附近的光子传播所经过的光程才近似相等，也就是说经过平稳路径到达终点的光子的几率幅才具有近似相等的相位，按照上述几率幅相加的原理，各几率幅产生相长干涉，因而P点到达光子的几率最大。离平稳路径很远的那些路径光子几率幅相互间相位差很大，产生相消干涉，对光子的总几率几乎没有贡献。这就是费马原理的量子力学基础。

 

4    偏振

在量子化光场中，光子的特性对应于相应光模的特征，光子的偏振即是它所对应的模的偏振。同一光场可以分解为多种不同形式的模系组合，因此模系的选择不是唯一的，对光子的同一偏振状态也可以用不同方式表示。对应于光子的自旋，我们可以将任意电磁场模的偏振表示为左旋与右旋圆偏振光的组合

                    （22）

其中 ， 为右旋和左旋圆偏振光的单位方向矢， 和  为相应的复振幅， 和  为偏振平面中笛卡儿坐标x和y轴方向的单位矢。按几率定则，某一光子处于某一偏振状态的几率比例于 || 和 || 。 当 和  时，光子具有线偏振状态，偏振方向与x轴夹角为 ，此时光子处于左旋和右旋圆偏振状态的几率相等，即|| =  || =  。不同几率幅 和 对应于光子处于右旋和左旋两种本征偏振态的几率及两种偏振态的位相差，通过不同的几率组合光子可能处于各种不同的偏振状态。当然，除了圆偏振光作为本征偏振态外，我们也可以用线偏振光作为基本偏振模式，表示光子的偏振状态。沿z轴方向的平面波的偏振模可以用沿x轴和y轴方向的线偏振模的组合表示

                     （23）

其中， 和  表示光子沿x轴和y轴方向线偏振的几率幅，当 和  取不同值时，光子处于 和 两个方向线偏振的几率幅不同，几率幅的绝对值 和  和相位差（）决定光子所处的偏振状态。例如当 ， 时探测到沿x轴方向线偏振光子的几率为百分之百，而沿y轴线偏振的几率为零； ， 和 ， 分别表示光子处于右旋圆和左旋圆偏振状态； ， ，代表光子处于线偏振状态，偏振方向与x轴夹角为 ，即是说只有沿方向偏振的线偏振器探测时光子被探测的几率才是百分之百，而对沿x和y方向的偏振器，光透过的几率只有和 。

四  结束语

   在基础光学教学中，为了避免学生对光的波动性与量子性的片面和割离认识，我们建议通过简单的单模场量子化概念，引入光的量子性，并以此为基础讲述光子的特性，从量子几率定则出发用量子理论的观点分析干涉、衍射、光传播及偏振等波动光学现象，意欲使学生认识到光的量子理论可以概括经典波动光学的所有内容，同时又解释了经典理论所无法解释的光学效应。这种讲述方法一方面能避免学生对光波动与粒子性的割裂认识，另一方面也注入了现代光学基本观点，同时，也符合玻尔提出的经典物理与量子物理之间的对应原理：“任何一个新理论在取代经典理论时，在已知后者有效的领域内，这个新理论必须符合经典理论的结果。”因此有助于培养学生正确的科学思维方法。随着科学技术的进步，人类对物质世界的认识越来越深入。今天，量子光学的发展已对许多学科产生了深刻的影响。我们认为在大学基础光学教学中，应在讲述光的波动性的基础上同时强调光的量子性，能使学生对光的波动性的认识自然地过渡到对光的量子性的理解，从而能对光的本性有个较全面的认知。

 

 

An idea about introducing the fundamental concept of

quantized light field in the course of basic optics

 

Li  YuHong*

（Department of Modern Physics ，Lanzhou University，Lanzhou，730000，P.R.China）

Xie  ChangDe

(Institute of Opto-Electronics, Shanxi Unversity, Taiyuan, 030006, P.R.China)

 

Abstract     in this paper ,We proposed an ideal about introducing the fundamental concept of quantized light field in the course of basic optics. The familiar optical phenomena are analyzed with the view of quantized light field to deepen the cognition for the wave-particle duality of photon.

Key words     quantized field       wave optics       probability amplitude

 

参考文献

  [1]  Bahha E.M.Saleh, Malvin Carl Teich, Fundamentals of photonics. Canada: John Weiley &Sons.Inc,1991

  [2]  Hecht, E. and Zajac,A. Optics .Addison-Wesley, Massachusetts, 1974

  [3] 母国光，战元令编《光学》， 人民教育出版社1979年。

 

 

 

 

 

 

 

 

*通讯联系人，E-mail: liyuhong@lzu.edu.cn