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历史的讲，黎曼几何是三维空间中曲线和曲面微分几何的自然演进。给定三维空间中的一张曲面S，我们有一个很自然地方式来给定其上切矢量的长度。只需把任意一点p处的向量内积简单等同于三维空间中的标准内积，从而曲面上的（诱导）度量，长度概念也就有了。接下来，曲线长度的计算归结于速度矢量长度对参数的积分。事实上，有了度量概念，我们不但可以计算曲线长度，与此同时，曲线夹角、局部区域的面积计算等也都是水到渠成的事。总之，通常几何上的一切与测度概念都可以在曲面上展开。进一步，长度的概念还导致了一批特殊的曲线，即所谓的测地线，具有特殊的涵义：任给测地线上的两点p、q（严格的说，两点间不存在共轭点对儿），则p、q间的测地线距离小于等于任意连接这两点的曲线距离。想起初中平面几何课堂上一再重复的“两点间直线段最短”，我们有理由猜想测地线可以扮演“曲面上的直线”的角色。确实，测地线在一定意义上，被看作弯曲空间里的直线，这也是它们受到广泛重视的原因之一。
注意到，解析的讲，曲面上的度量概念，等价于在每一点定义一个正定的二次型（二次型系数都是曲线上的可微函数），亦称为曲面的第一标准形式。自高斯以来，第一标准形式的几何学几乎一直占据着微分几何的中心位置。
微分几何学发展史上极其浓墨重彩的一笔，或者说现代微分几何学的开山之作，是Gauss在1827年所发表的《关于曲面的一般研究》（一个英译版本可见Gauss，K.F., General Investigation of Curved Surfaces, Raven Press, New York, 1965）在这项工作中，Gauss在曲面上定义了一个所谓的曲率概念，来度量任意曲面在一点p附近，偏离切平面的程度。用现代的观点来看（事后诸葛亮地看）Gauss的核心想法是在曲面每一点处定义一个单位法向量，从而给出了从曲面到三维空间中单位球面的一个可微映射（如今这就称为高斯映射）。如果曲面S是可定向的，高斯映射是整体Well-Defined。在高斯时期，定向的概念还没有得到很好的关注。事实上，直到1865年，Mobius才在他提交的论文中给出了第一个不可定向的例子，即著名的Mobius带。现在定向是微分拓扑里的首要问题了，顺便提一下，按菲尔兹奖获得者Thom的观点，人们至今还没有完全挖掘出定向概念的真正内涵。
言归正传。高斯时期并没有整体的定向概念，所以他的“高斯映射”只是局部的定义在曲面片上（同样的原因，如今本科阶段的微分几何也只是讨论曲面片的微分几何）。不过，不管是整体的还是局部的，高斯建立了从任意曲面（片）到单位球面的高斯写像，这是一个可微映射，从而我们可以谈及其微分（众所周知，微积分的一半任务就是对可微映射取微分，直觉地讲，微分就是可微映射的局部一阶线性逼近，这是数学里惯用的把戏，因为线性映射是我们最得心应手的工具），从而诱导出从曲面切平面到单位球切平面的一个线性变换。Gauss把他的曲率定义成这个切映射的行列式，行列式越大弯曲程度越厉害，行列式为零正好对应着曲面上的平坦点域，这和我们的直觉是一样的。同样的论文里，Gauss还指出了，他的曲率正好与早些年间（1760年）Euler在曲面上任意点处所定义的两个主曲率的乘积相吻合，不同的是这个量后来被称为Gauss曲率，而不是Gauss-Euler曲率。
还是提一下Euler的主曲率概念吧（尽管其已黯然失神于高斯伟大贡献的光环之下）。早些年间，Euler用垂直于曲面的平面去截曲面，得到平面切痕曲线，自然可以定义其曲率，称方向曲率，旋转垂直平面的方向，得到一族方向曲率，所谓的欧拉主曲率，就是这一组曲率中最大的和最小的那两个。在欧拉时代，人们并不清楚一个关于主曲率的函数就可以完全地刻画曲面的弯曲程度，高斯的研究表明，两个主曲率的乘积就够了。
人们常说，曲率是现代黎曼几何的核心概念，这是指黎曼曲率张量。但要说明白曲率为何重要却不是件容易的事情，一个原因在于这不是仅凭直观的生活经验或直觉就能领略到的，必须借助一些严谨的数学演绎，总之必要的抽象是需要的，这也是至今“弯曲的时空”“时空扭曲”“内蕴弯曲”等概念一直让人费解的原因。很多科普书声称他用很生活化的语言，画几个图解释清了什么叫高维空间的曲率，其实他所写的东西往往与声称要解释的东西完全两码事。从分析的角度看，曲率张量刻画了矢量二阶协变导数的不可交换性，这确实与欧式空间的情况不同，因为我们明白通常的二阶偏导数可交换。而要从几何角度（真正地）理解曲率，要引入Jacobi场（广义相对论里叫测地偏离方程）概念，这应是另一篇博文的主题。
继续关注伟大的Gauss。高斯于1827年的文章中，有两个重要的创举：第一，高斯曲率仅仅依赖于曲面的度量，或者曲面的第一基本形式（称为高斯绝妙定理）；第二，测地线所围成的三角形(测地三角形)内角和不一定等于180°，但它仅依赖于三角形区域的曲率积分。前者是内蕴几何学的开端，后者则与几何学上的“千年悬案”第五公设问题密切相关。
种种迹象表明，Gauss很清楚自己研究成果的深远意义。事实上，高斯时期的一个世纪难题是：判断欧几里得几何第五公设（初中几何第一课学过：过直线外一点有且只有一条直线与之平行）是否独立于另外几条公设。早些时候，第五公设等价于三角形内角和是180°，这是勒让德的工作（又一个生不逢时，不幸埋没于高斯光环下的伟大数学家。他与高斯的另一件“悲惨遭遇”是勒让德分布，被后人叫成高斯分布）。高斯的第二个发现表明，至少在二维情况下，可以构想一个几何体系，其性质完全依赖于其上的第一标准形式（而完全不依赖于外围空间）。在这种几何里，测地三角形（代替通常的平面三角形）的内角和依赖于曲率。事实上，Gauss确实验证了，它与180°的差量正好等于三角形区域上的曲率积分。这种几何体系不满足第五公设，但满足所有其它公设。然而，高斯当时并不具备足够的数学工具来发展他的几何构想（事实上，他缺少一个完备流形的概念，而这要等到二十世纪才由H.Weyl来给出）。另外，他也不愿意公开讨论这个备受争议的话题(我们知道高斯的谨小慎微是出了名的)。事实上，非欧几何学的诞生最后被正确的归功于俄国的Lobatchevski(1829)和Bolyai(1831)，可想而知，这两位的理论都经历了相当长的争议期，后者甚至为此精神失常。注意到，他们的非欧几何学都不是从时髦的微积分入手的，如今它们只是数学博物馆里的精品。现代非欧几何的教材往往用微分几何的方式展开。
这里有必要说一下，提到Gauss，很难不让人产生一种天才情愫。各种描写高斯的史料里都渲染了一种个人英雄主义传奇色彩。一般来说，一个数学家一生中能产生三五个真正奇妙的想法就很满意了，而高斯一生中的灵感，可以说是雨后春笋般源源不断，真是让人没办法。读Gauss，伤不起啊伤不起…
回到正题。高斯的微分几何思想后来在1854年，被Riemann重新拾起（Riemann，B., On the hypotheses which lies at the foundation geometry一个英文版本可见Spivak的书）。尽管黎曼当年并没有一个恰当的微分流形概念，他不加证明的用直觉性的语言描述了我们今天所说的n维流形概念。循着高斯的心路历程，他在微分流形的每一点赋予一个正定二次型（如今称为Riemann度量），借助Gauss的内蕴曲率给出相应的Riemann截面曲率概念。进一步，黎曼陈述了一系列曲率与度量的关系。在接下来的几十年里，这些都被一一证明了。黎曼当年的就职演讲，使人相信，他的工作受当年几何学中的另一个问题的启发，即我们生存于其中的物理空间与几何学的关系。事实上，当时非欧几何学的诞生，已经使人们怀疑三维空间欧式几何的先验性。例如，当时Lobacheviski就曾设想宇宙空间应由他的双曲几何来描述，后因与天文观测不符而作罢。黎曼在当年的就职演讲里，已经提到这样的想法：物理空间到底应该由哪种几何来描述当由物理观测来判定；物质的存在可能使空间发生内蕴弯曲。注意到当时黎曼并没有四维时空（准确的说，叫Minkovski空间）的概念，因而，毫无疑问，广义相对论的创立要等到20世纪初期。当Einstein为他的引力理论缺少合适的数学而抓狂不已时，一位数学家好友（大学考试前时常借给他作业本）向他介绍了意大利学派Ricci，Levi Civita等他人正在研究的张量分析和黎曼几何。
就是Einstein也表示难以相信，半个世纪以前，即有人在数学上为广义相对论的萌芽奠定了基础。
毫无疑问，仅仅这篇就职演说，就可以让黎曼名垂青史，然而，在他短短的40年生命里，还有那么多令人惊叹的创见。值得一提的是，伟大如黎曼，其一生却未获得过任何奖项，仅有的几次报奖也因过于简短，证据不足而退回。真是冤哉枉也！
如今，当我们津津乐道以其名字命名的Riemann积分，Riemann假设，Riemann引理等概念时，是否想到过黎曼穷困潦倒，如流星般匆匆闪过历史苍穹的一生！也许，有这么多美妙的理论与之作伴，Riemann在天堂里的生活也不寂寞了。
谨以此篇，献给那些为追求真理，不慕容利默默奋斗的数学英雄们（00：26）
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新浪网友2013-03-23 06:38:35 [举报]
thisis one of the best pieces about the concept of 曲率张量, thanks
"从分析的角度看，曲率张量刻画了矢量二阶协变导数的不可交换性，这确实与欧式空间的情况不同，因为我们明白通常的二阶偏导数可交换。而要从几何角度（真正地）理解曲率，要引入Jacobi场（广义相对论里叫测地偏离方程）概念，这应是另一篇博文的主题"
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