Saturday, March 23, 2013

diffgeom01 从代数眼光来看,要在空间 X 和 Y 之间建立对偶关系,等于指定一个双线性的赋值函数

从代数眼光来看,要在空间 X 和 Y 之间建立对偶关系,等于指定一个双线性
的赋值函数 F:X*Y --> R,X*Y 表示 Descartes 积。现在,我们指定 X 为
R 在一点的切空间,Y 为对应的余切空间,取前者的一个元素为 d/dt(它可以
由一个从 R 到 R 的映射 L 来代表,L(t)=x),后者的一个元素为 df
(它可以用一个 R 到 R 的映射 f 来代表),则有一个自然的二元赋值< , >,
定义为

<d/dt, df> = df/dt,

后者理解为函数 f 对参数 t 求导,并且在 p 点取值,得到的就是一个导数。
注意它与代表元的选取无关

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发信人: qwerty (萨罗), 信区: Mathematics
标  题: 谈谈对于微分符号 df 的理解(zz)
发信站: 牡丹园新站 (2003年05月30日11:01:25 星期五), 站内信件

发信人: symplectic (身无彩凤双飞翼), 信区: Mathematics
标  题: 谈谈对于微分符号 df 的理解
发信站: 北大未名站 (2003年05月28日07:29:07 星期三) , 站内信件

这两天,不断有人问起这个问题,倒值得认真讨论一下。记得别人回忆
陈省身先生的文章里也提到,五十年代时,研究生们看到他在黑板上随意
写下外微分表达式 dx,还会觉得惊讶和迷惘。我在这里重新整理了一下
自己以往的认识。这里写下来,就正于大家,也许对学习微分流形的朋友
会有帮助。

问题的确切表述,应该是这样:
给定微分流形 M 上的可微函数 f,问表达式 df = f_i * dx^i 
的确切含义是什么?
这里 x^i 表示一个局部坐标系的坐标分量,f_i 表示 f对 x^i 的偏导数。

这个表达式,其实在多元微积分里已经出现了。估计最初大家都跟我一样,
把它当作是一个方便的形式记号。在当时的条件下,df 可以理解为 n元函数 
f 的 Jacobian 的另一种表达方法。注意这时的 Jacobian 应该是一个 n
元向量,则 f_i 表示的是此向量的各个分量,而 dx^i 意味着此分量表达
是相对于坐标 x^i 而确定的。

从微分流形的观点而言,我们可以有更好、更深入的看法。我们不妨设想自己
处于这个理论创立者的地位上,那么很自然地要考虑:给定微分流形 M,上面
有什么自然的构造?

显然,如果光有 M 本身,可做的事情少得可怜。这时,一个有意义的想法,
就是考虑某些典则/典型(canonical/model)的流形,然后考虑 M 与此流形
的关系,利用这种关系来刻划 M 本身的结构和性质。

要找这样的模板,最自然的选择莫过于欧氏空间(须知流形本来就是局部以欧氏
空间为模板而“搭”起来的),而对高维欧氏空间的研究,无外乎是多元微积分,

结果最后还要归结到一元函数论。因此,最基本的选择,就是取实数集 R(视为
一维流形)来作模板。

取定 M 和 R,我们该考察它们间的什么关系呢?有一定见识的同学,自然会
认识到,在一个给定范畴中,定义好基本概念和对象后,紧接着该考虑的就是
这些对象间的映射关系。所以,我们现在有两类最基本的研究材料:一类是
R 到 M 的可微映射,一类是 M 到 R 的可微映射;前者就是 M 上的曲线,
后者就是 M 上的函数。

再接下来,我们决定,先研究相关的局部性质,因为这显然最容易着手,也是
最基本的。从微积分的经验,我们可以预想到应当引入对曲线和函数的线性逼
近,这对应于微分运算,而这也正是我们该做的事情。(须知流形本来就是为了
推广微积分理论而发明的最一般的框架。)

现在我们限于 M 上一点 p 附近来做,则上述一阶逼近的考虑,会引导出两类
东西。一类,是过 p 点的曲线在 p 点的微分,它可以描述为一个等价类,其
中等价的对象是在 p 点彼此相切的曲线,它们并且有相同的“瞬时速度”(注
意我们用到的不仅是曲线,而且还包括其参数化,即具体的从 R 出发的映射)。
我必须马上指出,“相切”这个概念是有意义的,因为我们可以利用局部坐标
系转化到欧氏空间里考虑,而“相切”的性质与坐标选取无关。另外还请注意,
这个看法,既是直观的(借助了几何图象),同时又是抽象的(采用了等价类的
代数描述)。好了,我们再来看第二类对象,它们是任意函数在 p 点处的微分,
它们同样可以描述为一些等价类,其中每一类里包含的是一些在 p 点邻域上
取值的函数,它们沿任意方向的方向导数相同。同样我要在这里提醒大家注意,
这里沿某方向的方向导数是良定的(well-defined)。(如果有人担心这里的
“方向”和“方向导数”概念还没有建立起来,那我可以修改为“沿过 p 点的
任意可微曲线,此函数在 p 点的导数”。)

这两类东西,作为对应映射在一点的线性化,本身就自然带有线性结构。第一
类对象,构成了 p 点的切空间;第二类对象全体,恰好构成前者的对偶空间,
即余切空间。把各点处对应的这些空间联系起来看,就给出了切丛和余切丛。

回头来看开头的表达式,则左边的 df,其实就是由 f 决定的一个“余切元素”
(记住,它代表一个等价类)。右边呢,x^i 作为给定的局部坐标,也就自然
给定了 n 个坐标函数,这些函数分别决定了 n 个余切元素,且构成 p 点处
余切空间的一个基底,它们就是 dx^i,而 df 就可以由它们线性表示。巧得
很,这样表达出来的坐标分量,正好是 f 沿对应方向的偏导数。

话说到这里可以结束了,但我想把有关的东西进一步解释清楚点。接着原式,
如果我们把 f“遮”起来不看,则左边的 d 表示一个全微分记号,而右边
表示的则是一个求和,其中每一项里都包括一个切向量(d/dx^i)和一个余切
元素(dx^i)。这样一个抽象的表达式,恐怕更让人困惑,因为看起来每一项
中对应的切向量和余切元素是彼此对偶的,为什么没有消去,却可以这样分开
来写呢?

反思一下切元素跟余切元素的对偶关系,其实从前头“两类映射的方向相反”
就可以看出苗头。为了说清问题,不妨回归到最原始的情形:R-->R 的映射。
设自变量和因变量分别是 x 和 y,映射为 f,我们有熟知的表达式 

dy = f (x)dx。

再简化一点,即

d = (d/dx)*dx。

我们也一直把这种表达方法当作一个形式记号,简单理解为右边的分子分母
可以“相消”。这种说法当然是糊涂的,但一直都很难澄清。而我要指出,
这个表达式可以理解为对前述对偶关系的一个说明。

从代数眼光来看,要在空间 X 和 Y 之间建立对偶关系,等于指定一个双线性
的赋值函数 F:X*Y --> R,X*Y 表示 Descartes 积。现在,我们指定 X 为
R 在一点的切空间,Y 为对应的余切空间,取前者的一个元素为 d/dt(它可以
由一个从 R 到 R 的映射 L 来代表,L(t)=x),后者的一个元素为 df
(它可以用一个 R 到 R 的映射 f 来代表),则有一个自然的二元赋值< , >,
定义为 

<d/dt, df> = df/dt,

后者理解为函数 f 对参数 t 求导,并且在 p 点取值,得到的就是一个导数。
注意它与代表元的选取无关。

与此同时,我们其实还有另一种赋值的方法。注意我们已经取定 R 的一个坐标
x,并且得到了切空间的基底 d/dx 和 余切空间的基底 dx。利用它们以及前面
定义的< ,>,我们定义二元赋值 { ,} 为

{ _ , _ } = < _ ,dx> * <d/dx, _ >

于是立即有

{d/dt, df} = <d/dt,dx> * <d/dx, df> = (dx/dt)*(df/dx)
           = df/dt = <d/dt, df> !

我这里故意给同一个二元赋值写出两种表达方式,并非无聊,而是这里涉及到了
微分的一个最基本的性质:微分形式的不变性(求导的链式法则)。根据它,我们
看到,{ ,} 的定义式中利用哪个局部坐标 x 并不重要;换句话说,用任何一个

局部坐标都可以。于是,我们可以把 d = (d/dx)*dx 这个式子的左边理解为
< ,>,也就是直接把切元素和余切元素相配合(求导),而把这个式子的右边理解

为 { ,}。换句话说,d = (d/dx)*dx 可以理解为一个断言,说明同一个二元
赋值的内蕴表达和相对于某个坐标(基底)的参数表达是“同一”的。

这样解释过后,我们可以看到,微分 df,实质上对应于 < _ ,df>,它是切空
间上的一个线性泛函,从而是切空间的对偶空间里的元素。如果进一步与切向量
作配对,就得到导数。这就阐明了“导数”和“微分”不是一回事,“导数”乃
是“微分”与“切向量”之间配合而得到的二元赋值。再看开头的表达式

df = \sum (df/dx^i)*(dx^i)

和

d = \sum (d/dx^i)*(dx^i),

都可以作类似的解释。

现在再来看看通常对切向量和微分的各种理解。一种观点是直接看一个流形浸入
到欧氏空间后所得到的图形,把切空间与具体的切线、切平面相联系。这种看法
非常有用。但是从理论上来说,它只是说明了抽象的切空间如何借助一个到其它
流形的浸入而得到几何上的“实现”,从而不是对切空间的“内蕴刻划”。而我
前半部分花那么大力气来解释一番,其目的就是强调这个内蕴观点(不过这个讲法

得自于陈省身先生的<微分几何讲义>)----注意,我当然还是利用了某种外在的
东西,也就是 M 与 R 之间的映射。这种想法,类似于研究群在集合上的作用
(特别是线性表示)以得到群的内在性质和信息的思路。这个不多说了。再看有人
把 dx 解释为一种测度,这当然也有道理,因为几何测度论里的确是采用这种观
点的。但我们仔细琢磨一下,尤其是回归到最基本的 R-->R 的映射来看,就可
以认识到,这不过是利用了可微映射,把 R(和一般的欧氏空间)上的测度拉到了
流形上。这样讨论测度,固然间接反映了流形的微分结构,但还是一种“外在”
的观点,对研究几何、拓扑的观点来说失去了许多结构,不值得向大家推荐。


--

我是一条Z,Z有很多的理想,其中{0}称为零理想(没理想),零理想和Z本身称为
平凡
理想(老老事实过日子吧),其他的理想都是非平凡理想(谁不想干一番事业)。
(a)称为一
个主理想(理想很多,得有主有次),其实Z的全部理想都是主理想(我没有次的
理想)。
非平凡主理想里,还包括(p)这样的素理想(我有朴素的理想),我真是一条有理
想的Z呀!


※ 来源:·日月光华 bbs.fudan.edu.cn·HTTP [FROM: 162.105.108.152]

 
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[本篇全文] [回复本文] [本篇作者: hertz ] [本篇人气: 8]
发信人: hertz (我切,我切,我切切切!), 信区: Mathematics
标  题: Re: 谈谈对于微分符号 df 的理解(zz)
发信站: 日月光华 (2003年05月29日15:06:51 星期四)

发信人: symplectic (身无彩凤双飞翼), 信区: Mathematics
标  题: Re: 谈谈对于微分符号 df 的理解
发信站: 北大未名站 (2003年05月28日17:32:20 星期三) , 站内信件

昨天还想补充一点内容的,不过系统忽然连不上,只好补在这里。

hibernating 在前面的 re 文中还说了“函数芽”的理解。不过以我的观点来看,

那种说法未免太代数化了,恐怕是学交换代数的人弄出来的。在同调代数和代数
几何里面,的确可能需要采用这种观点来研究,不然也不会有什么“层论”。但
在初学阶段,我以为重要的在于培养基本的几何直观,这样“函数芽”的有关讲法

就不适当了。(我相信大部分初学者看了那个解释还是会一头雾水,不知所云。)
另外,考虑函数的高阶逼近,同样可以得到一堆等价类,相应也会得到流形上的
一些丛构造,似乎就是称为 jet 的对象,据说是 Darboux 最早提出的。尽管
一般的教材里不谈它,但我发现它是一个有用的观念,在研究流形的某些结构时
必然会用到它,甚至可以建立某些很漂亮的代数和分析结果。(它跟函数芽的概念

有些接近,但我不是很清楚其间的关联。)

另外,直接把 df 理解为全微分,也是省事的办法,但并没有解释清楚这套形式
符号背后的实质内容。还有,要说清这个东西,也没必要谈“外微分”,因为外
微分本身是余切丛及其张量丛上的一个算子,“余切元素”应该理解为它的出发
点;倒过来解释的话,其实什么都解释不了。

 
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别看他人很瘦 但是样子很酷 心里装着五千年来压抑的愤怒 总是昂着头啊  默默的走路  有时嘴里骂着人他踢着身边大树   独自走在街上  满脸的麻木  
别人好像不明白他思考的深度  就算前方黑暗  没有什么出路  他也不会转来转去回到原处
他也有泪呀  但渐渐在干涸 因为他的心里都是黑色的世故  最后几滴泪呀 为了爱情保留 因为好像女人能够让人变的温柔 瘦削的身体能够承受多少压力   瘦削的身体在风中叹息
别再那么孤独  我不再那么痛苦            坚持就是胜利    这就是真理

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