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献给我亲爱的Honey这学期做本科生拓扑助教,有机会重新学一遍初等拓扑.
Question：证明球面到环面的可微映射(S^2到T^2的映射)只有一个同伦类,即都同伦于常值映射(也叫都零伦).
一个证法是借助复迭空间概念,另一个方法是直接用环面T^2的二阶同伦群平凡直接得到结论.
反过来，很自然地想到环面到球面可微映射的同伦分类问题。
最简单的一种情形是非满射情形.因为拓扑空间到球面空间的非满连续映射都是零伦的(这是尤承业老师拓扑书上4.1节的一道习题)。
我最开始想的是所有映射都是零伦的,理由大致是在环面和球面上赋予适当的黎曼度量,使得原来的映射等价于某个三维欧氏空间中浸入环面的高斯映射,将单位球面上的归一化体积形式pull back到环面上,得到环面上的Gauss Bonnet积分,积分值自然等于环面欧拉数倍数零.由映射度的积分定义，这个映射的映射度亦为零.再由Hopf有名的定理,定向闭曲面到二维球面的同伦类由映射度唯一确定（这里只是用Hopf定理特殊情形，Hopf的定理对n维定向闭流形到球面空间的同伦类分类都有效）得到环面到球面可微映射都是零伦的.
当然以上一段说的是错误的。
早上去博士生办公室问了一下师兄，他感觉不对，理由是环面到球面的映射一般地不能用三维欧氏空间中环面的高斯映射实现。不过一时也没找到很好的反例。
下午又去找师兄，他帮忙查了下代数拓扑的书，用Hopf isomorphic算出这个同伦类共有Z个（或者说跟整数个数一样多），偶只得妥协，试着用球面坐标构造了一下，果然找到从环面T^2到球面S^2任意映射度的映射，郁闷的是构造具体形式写出来后其实非常的简单…（路过的童鞋不妨试一下，先构造个映射度为1的）
不过更郁闷的是，过了一会儿师兄又把我叫回去，提到我们两周前讨论的三维空间中两条闭曲线linking number环绕数的问题，记得当时我们还讨论，这个环绕数归结到环面S^1XS^1到球面S^2的映射度计算…所要映射度正是由环绕数决定嘛，后者要直观得多啊，不想十来天之前考虑的的东西被我忘得一干二净。
事实上，这大概是这类映射度最直观的构造方式了吧
当真踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫
真的要感谢钱超师兄
以下是我从wikipedia里copy过来的，想看具体点介绍的童鞋不妨去wiki一下“linking number”
Given two non-intersecting differentiable curves , define the Gauss map from the torus to the sphere by
This formulation of the linking number of
γ1 and γ2 enables an explicit formula as
a double line integral, the Gauss
linking integral:
This integral computes the total signed area of the image
of the Gauss map and then divides by the area of the sphere (which is
4π).
同时容易从表达式看出，这个linking数正是二维环面T^2=S^1XS^1到球面S^2间映射的映射度（回忆映射度的积分形式定义是怎么一回事的）。两个绳套之间的环绕数自然可以是任意的整数（可正可负亦可零，由环绕方向决定）…
以上是两个闭绳套间环绕数为+1,2,3…的例子。
记得杨振宁先生有一次说过，做学问就好比玩儿拼图，有一块暂时不知放哪，可能过几天就找到适当的位置了。惜我当时直接把那块没用的给扔在脑后了...学数学有时还真要有点集邮的精神。
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