们看成“无穷大”往往更合乎实际一些。统计物理中常令粒子数
和系统的体积趋向无穷大,但保持单位体积内的粒子数有限,这
叫热力学极限。只有取了热力学极限之后,许多数量关系才得
以简化,物理图像也更为清楚。
图1 粒子随机跳跃模型
为了得到一些启示,设想一个粒
子在三角形三个顶点之间随机跳跃
(图1)。三种可能的初始状态,即粒子
处于第1、2或3点上,可以用三个矢
量
1
0
烄
烆
烌
0烎
、
0
1
烄
烆
烌
0烎
、
0
0
烄
烆
烌
1烎
代表。如果粒子现在
处于某点,则一次跳跃后它必定离开
此点,以各为1/2的概率达到另外两点之一。新的状态可以
用一个方阵(“转移矩阵”)乘代表初始状态的矢量来得到。
例如
1/2
0
1/
烄
烆
烌
2烎
=
0 1/2 1/2
1/2 0 1/2
1/2 1/2
烄
烆
烌
0 烎
0
1
烄
烆
烌
0烎
从任何给定的状态出发,经过N 次跳跃后达到各点的概率,都
可以用转移矩阵乘N 次求得。计算虽不难,但每种具体条件都
有其特殊的答案。然而有一种情形却很简单,那就是不论从什
么状态出发,经过无穷多次跳跃后,粒子达到每个点的概率都是
99!"#$%:;<=>?
15
1/3。事实上也很容易证明,转移矩阵的无穷次方是
0 1/2 0
1/2 0 1/2
1/2 1/
烄
烆
烌
2 0 烎
N
N→∞→
1/3 1/3 1/3
1/3 1/3 1/3
1/3 1/3 1/
烄
烆
烌
3烎
统计物理学中的热力学极限当然更为复杂。然而这个随机
过程的简例,反映了统计物理的一种基本精神:研究那些不受具
体初始条件影响的普遍性质。“大量”这个背景,使我们从微观
物理出发研究宏观系统的性质时引用概率统计方法,如同力学
中使用微分方程一样地自然和精确。统计物理学的名称也就由
此而来。它并不是一门新学科,19世纪麦克斯韦(J.K.Max
well)和玻耳兹曼(L.E.Boltzmann)研究气体分子运动论是它
的诞生,本世纪初在吉布斯(J.V.Gibbs)和爱因斯坦的工作中
已经形成它的理论体系。它作为无穷多自由度系统理论的威
力,则是近二十多年来在与量子场论的互相影响中逐步显现
出来。
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