转移矩阵:从任何给定的状态出发，经过Ｎ 次跳跃后达到各点的概率，都可以用转移矩阵乘Ｎ 次求得

们看成“无穷大”往往更合乎实际一些。统计物理中常令粒子数

和系统的体积趋向无穷大，但保持单位体积内的粒子数有限，这

叫热力学极限。只有取了热力学极限之后，许多数量关系才得

以简化，物理图像也更为清楚。

图１　粒子随机跳跃模型　

为了得到一些启示，设想一个粒

子在三角形三个顶点之间随机跳跃

（图１）。三种可能的初始状态，即粒子

处于第１、２或３点上，可以用三个矢

量

１

０

烄

烆

烌

０烎

、

０

１

烄

烆

烌

０烎

、

０

０

烄

烆

烌

１烎

代表。如果粒子现在

处于某点，则一次跳跃后它必定离开

此点，以各为１／２的概率达到另外两点之一。新的状态可以

用一个方阵（“转移矩阵”）乘代表初始状态的矢量来得到。

例如

１／２

０

１／

烄

烆

烌

２烎

＝

０ １／２ １／２

１／２ ０ １／２

１／２ １／２

烄

烆

烌

０ 烎

０

１

烄

烆

烌

０烎

从任何给定的状态出发，经过Ｎ 次跳跃后达到各点的概率，都

可以用转移矩阵乘Ｎ 次求得。计算虽不难，但每种具体条件都

有其特殊的答案。然而有一种情形却很简单，那就是不论从什

么状态出发，经过无穷多次跳跃后，粒子达到每个点的概率都是

99!"#$%:;<=>?

　１５

１／３。事实上也很容易证明，转移矩阵的无穷次方是

０ １／２ ０

１／２ ０ １／２

１／２ １／

烄

烆

烌

２ ０ 烎

Ｎ

Ｎ→∞→

１／３ １／３ １／３

１／３ １／３ １／３

１／３ １／３ １／

烄

烆

烌

３烎

统计物理学中的热力学极限当然更为复杂。然而这个随机

过程的简例，反映了统计物理的一种基本精神：研究那些不受具

体初始条件影响的普遍性质。“大量”这个背景，使我们从微观

物理出发研究宏观系统的性质时引用概率统计方法，如同力学

中使用微分方程一样地自然和精确。统计物理学的名称也就由

此而来。它并不是一门新学科，１９世纪麦克斯韦（Ｊ．Ｋ．Ｍａｘ

ｗｅｌｌ）和玻耳兹曼（Ｌ．Ｅ．Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ）研究气体分子运动论是它

的诞生，本世纪初在吉布斯（Ｊ．Ｖ．Ｇｉｂｂｓ）和爱因斯坦的工作中

已经形成它的理论体系。它作为无穷多自由度系统理论的威

力，则是近二十多年来在与量子场论的互相影响中逐步显现

出来。