Friday, March 22, 2013

diffgeom01 由于切向量和上的光滑函数无关，所以可以改写成算子的形式

由于切向量和上的光滑函数无关，所以可以改写成算子的形式


首页 > 读书笔记 > 微分流形笔记-2.切空间 余切空间

微分流形笔记-2.切空间 余切空间

2012年10月21日 混沌 发表评论 阅读评论
【切空间 余切空间】
      约定：今后为了技术上的方便，如果没有特别说明，都只讨论光滑流形（微分流形，或直接简称为流形），光滑曲线，光滑函数。

概述

切向量由流形中的光滑曲线唯一确定；余切向量则由流形上的光滑函数唯一确定。切向量可定义成“作用在光滑函数上的线性微分算子”；余切向量则可定义成“切空间上的线性函数”。切空间和余切空间相互对偶空间。 在具体坐标系中，切向量的分量实际上某个光滑曲线上的方向导数；余切向量的分量则实际上是某个光滑函数的梯度。

线性空间中的向量


     在线性空间中，向量的定义很简单—-连接空间两点间有向直线。
     线性空间中向量有如下特点：
1）任意向量所在直线上的任意点都是线性空间中的点。
2）任意点的向量总能是过该点某个可微曲线的切向量。
3）如果将过某点任意可微曲线的切向量的集合定义为该点的切空间，那么：线性空间任意点的切空间都与自身重合。
    这说明：线性空间向量和切向量是同一回事，并且可以将(切)向量定义成过特定点的光滑曲线等价类。这个定义和直线无关，甚至坐标无关。

切向量 余切向量


      微分流形image002在点image004邻域上的光滑函数image006：
image008
image010
其中，image012是微分流形image002[1]在点image004[1]邻域上的光滑函数集合。
     微分流形image002[2]在点image004[2]邻域上的带参数光滑曲线image014：
image016
image018
*注意：上面的光滑函数和光滑曲线的定义都和坐标系的选取无关。
       每一条过点image004[3]的光滑曲线image020唯一确定image004[4]点的一个切向量，如果将参数image022看成时间的话，该切向量就是速度矢量：
image024
       点image004[5]邻域上的一个非平稳光滑函数image026唯一确定image004[6]点的一个余切向量—梯度矢量：
image028
*注意：上面关于切向量和余切向量的定义是坐标相关的。
      首先注意到微分关系：
image030
由于切向量和上的光滑函数无关，所以可以改写成算子的形式：
image032
*注意：从现在开始，采用了指标缩减的爱因斯坦约定。
      事实上，我们知道算符image034：
image036
image038
和image040有一一对应的关系，所以我们可以将算符image034[1]作为切向量的坐标无关表示，同时，image042也是一个算符—沿坐标线的切向量：
image044
     容易证明：
1）image034[2]是满足Leibniz微分法则的线性算子——线性微分算子
2）image046是线性独立的。
3）任何可作用在image012[1]上的线性微分算子，都可以表示成image046[1]的线性组合，即image046[2]是完备的。
进而，这意味这：
1）可将作用image012[2]在上的线性微分算子image034[3]来定义流形image048上点image050的切向量。
2）流形image002[3]上点image004[7]的切空间image052——切向量集合,是与image002[4]同维度的线性空间。
      然后，再考虑微分关系：
image054
这时，我们可以将全微分image056看成一个自变量是光滑曲线image020[1]的函数，进而也可看成是线性微分算子image034[4]的函数：
image058
image060
引入符号定义：
image062
image064
这里，image066是选择image068的全微分，有：
image070
    容易证明：
1）image072是线性函数；
2）image074是线性独立的。
3）image076的任意线性函数，都可以表示成image074[1]的线性组合，即image074[2]是完备的。
    进而，这意味这：
1）image076[1]的任意线性函数就是流形image048[1]上点image050[1]的余切向量。
2）流形image002[5]上点image004[8]的余切空间image078——余切向量集合,是image080的对偶空间，也是与image002[6]同维度的线性空间。
      image082维流形image002[7]上所有各点切空间的并集
image084
称为流形image002[8]的切丛image086。切丛image088是image090维流形，局域是直积流形，但整体不一定是。在同一点的切向量可相加，但不同点的切向量无关系。切从可用下图表示:
image092
     image082[1]维流形image002[9]上所有各点余切空间的并集
image094
称为流形image002[10]的余切丛image096。余切丛image098是image090[1]维流形。

向量场(切场) 余切场


        正如前面：将作用image012[3]在上的线性微分算子image034[5]定义过image004[9]点的向量，那么自然可将作用image100在上的线性微分算子image102定义为向量场。
        向量场image104又称为切丛image088[1]的一个截面(section),是流形image002[11]上每个点image004[10]选出一个切向量image106，当选定局部坐标系后，向量场image108可表示为：
image110
如果image112是连续，可微，则称向量场image108[1]连续，可微。
       余切场image114为余切丛image098[1]上的截面，即按一定的规则在每个点image004[11]给出一个余切向量image116，当选定局部坐标系后，余切场image118可表示为：
image120
所以可微余切场image118[1]又被称为线性微分形式，它与向量场image108[2]对偶，即它将任意向量场image108[3]映射到image122：
image124
      今后，将更强调分析流形上切场与余切场间的image126对偶关系。此外，流形image128及其上光滑函数集image130也存在对偶关系。

向量场集合 余切场集合


     考虑image002[12]上所有可微向量场集image132，即切丛截面集合，进一步：
1）定义向量场间加法（如选定局部坐标系，对应系数相加），满足Abel群，定义向量场与数乘法（对应系数与数乘），满足结合律与分配律，于是image132[1]构成无穷维向量空间。
2）定义李括号运算image134:
image136
这意味着image138对李括号运算是封闭的。
3）可以验证：李括号运算的Jacobi等式成立：
image140
上面三点意味着：image132[2]形成无穷维李代数。
      切场集image142形成image144秩image126[1]模（module）。
      考虑image002[13]上所有余切场集image146，即余切丛截面集合，对应也构成构成无穷维向量空间， 余切场集image148依然形成image144[1]秩image126[2]模（module）。

坐标变换时切场与余切场的变换规律


      流形上的切向量场(切场)与余切向量场(余切场)都是流形上的几何量，都是坐标变换下不变的，但是其表达形式，即当选定局域坐标系是，相应的分量，将随坐标系的变换而按一定的规律进行变换。
      作一般坐标变换：
image150
要求是微分同胚变换，其Jacobi行列式不等于0：
image152
于是，在不同的局域坐标系中，切场image108[4]与余切场image118[2]可分别表示为：
image154
image156
     考虑坐标基矢image158和image160的变换：
image162
image164
代入即获得：切场分量image166与余切场分量image168的变换规律：
image170
image172
基矢image158[1]和image160[1]称为自然标架，有时采用活动标架image158[2]和image160[2]会更方便：
image174
image176
image178
自然，即是采用活动标架，也应该保持如下关系：
image180
image182
于是可获得：切场分量image166[1]和余切场分量image168[1]从自然标架到活动标架的变换关系：
image184
image186
令活动标架的变换矩阵image188满足：
image190
image192
image194
使得变换后的活动标架依然保持对偶关系：
image196
于是：切场分量image198和余切场分量image200在活动标架下的变换关系：
image202
image204
© 2012, 無處不在. 版权所有.
0
您可能也喜欢：
微分流形笔记-1.流形
微分流形笔记-3.张量
微分流形笔记-6.积分曲线 积分子流形
微分流形笔记-5.浸入与嵌入
微分流形笔记-4.外微分 流形的定向 流形上的积分
分类: 读书笔记 标签: , , , , ,
  1. 本文目前尚无任何评论.
  1. 本文目前尚无任何 trackbacks 和 pingbacks.


无觅相关文章插件，快速提升流量
Posted by at

No comments:

Post a Comment

Subscribe to: Post Comments (Atom)