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标 题: 谈谈对于微分符号 df 的理解(zz)
发信站: 牡丹园新站 (2003年05月30日11:01:25 星期五), 站内信件
发信人: symplectic (身无彩凤双飞翼), 信区: Mathematics
标 题: 谈谈对于微分符号 df 的理解
发信站: 北大未名站 (2003年05月28日07:29:07 星期三) , 站内信件
这两天，不断有人问起这个问题，倒值得认真讨论一下。记得别人回忆
陈省身先生的文章里也提到，五十年代时，研究生们看到他在黑板上随意
写下外微分表达式 dx，还会觉得惊讶和迷惘。我在这里重新整理了一下
自己以往的认识。这里写下来，就正于大家，也许对学习微分流形的朋友
会有帮助。
问题的确切表述，应该是这样：
给定微分流形 M 上的可微函数 f，问表达式 df = f_i * dx^i
的确切含义是什么？
这里 x^i 表示一个局部坐标系的坐标分量，f_i 表示 f对 x^i 的偏导数。
这个表达式，其实在多元微积分里已经出现了。估计最初大家都跟我一样，
把它当作是一个方便的形式记号。在当时的条件下，df 可以理解为 n元函数
f 的 Jacobian 的另一种表达方法。注意这时的 Jacobian 应该是一个 n
元向量，则 f_i 表示的是此向量的各个分量，而 dx^i 意味着此分量表达
是相对于坐标 x^i 而确定的。
从微分流形的观点而言，我们可以有更好、更深入的看法。我们不妨设想自己
处于这个理论创立者的地位上，那么很自然地要考虑：给定微分流形 M，上面
有什么自然的构造？
显然，如果光有 M 本身，可做的事情少得可怜。这时，一个有意义的想法，
就是考虑某些典则/典型(canonical/model)的流形，然后考虑 M 与此流形
的关系，利用这种关系来刻划 M 本身的结构和性质。
要找这样的模板，最自然的选择莫过于欧氏空间(须知流形本来就是局部以欧氏
空间为模板而“搭”起来的)，而对高维欧氏空间的研究，无外乎是多元微积分，
结果最后还要归结到一元函数论。因此，最基本的选择，就是取实数集 R(视为
一维流形)来作模板。
取定 M 和 R，我们该考察它们间的什么关系呢？有一定见识的同学，自然会
认识到，在一个给定范畴中，定义好基本概念和对象后，紧接着该考虑的就是
这些对象间的映射关系。所以，我们现在有两类最基本的研究材料：一类是
R 到 M 的可微映射，一类是 M 到 R 的可微映射；前者就是 M 上的曲线，
后者就是 M 上的函数。
再接下来，我们决定，先研究相关的局部性质，因为这显然最容易着手，也是
最基本的。从微积分的经验，我们可以预想到应当引入对曲线和函数的线性逼
近，这对应于微分运算，而这也正是我们该做的事情。(须知流形本来就是为了
推广微积分理论而发明的最一般的框架。)
现在我们限于 M 上一点 p 附近来做，则上述一阶逼近的考虑，会引导出两类
东西。一类，是过 p 点的曲线在 p 点的微分，它可以描述为一个等价类，其
中等价的对象是在 p 点彼此相切的曲线，它们并且有相同的“瞬时速度”(注
意我们用到的不仅是曲线，而且还包括其参数化，即具体的从 R 出发的映射)。
我必须马上指出，“相切”这个概念是有意义的，因为我们可以利用局部坐标
系转化到欧氏空间里考虑，而“相切”的性质与坐标选取无关。另外还请注意，
这个看法，既是直观的(借助了几何图象)，同时又是抽象的(采用了等价类的
代数描述)。好了，我们再来看第二类对象，它们是任意函数在 p 点处的微分，
它们同样可以描述为一些等价类，其中每一类里包含的是一些在 p 点邻域上
取值的函数，它们沿任意方向的方向导数相同。同样我要在这里提醒大家注意，
这里沿某方向的方向导数是良定的(well-defined)。(如果有人担心这里的
“方向”和“方向导数”概念还没有建立起来，那我可以修改为“沿过 p 点的
任意可微曲线，此函数在 p 点的导数”。)
这两类东西，作为对应映射在一点的线性化，本身就自然带有线性结构。第一
类对象，构成了 p 点的切空间；第二类对象全体，恰好构成前者的对偶空间，
即余切空间。把各点处对应的这些空间联系起来看，就给出了切丛和余切丛。
回头来看开头的表达式，则左边的 df，其实就是由 f 决定的一个“余切元素”
(记住，它代表一个等价类)。右边呢，x^i 作为给定的局部坐标，也就自然
给定了 n 个坐标函数，这些函数分别决定了 n 个余切元素，且构成 p 点处
余切空间的一个基底，它们就是 dx^i，而 df 就可以由它们线性表示。巧得
很，这样表达出来的坐标分量，正好是 f 沿对应方向的偏导数。
话说到这里可以结束了，但我想把有关的东西进一步解释清楚点。接着原式，
如果我们把 f“遮”起来不看，则左边的 d 表示一个全微分记号，而右边
表示的则是一个求和，其中每一项里都包括一个切向量(d/dx^i)和一个余切
元素(dx^i)。这样一个抽象的表达式，恐怕更让人困惑，因为看起来每一项
中对应的切向量和余切元素是彼此对偶的，为什么没有消去，却可以这样分开
来写呢？
反思一下切元素跟余切元素的对偶关系，其实从前头“两类映射的方向相反”
就可以看出苗头。为了说清问题，不妨回归到最原始的情形：R-->R 的映射。
设自变量和因变量分别是 x 和 y，映射为 f，我们有熟知的表达式
dy = f (x)dx。
再简化一点，即
d = (d/dx)*dx。
我们也一直把这种表达方法当作一个形式记号，简单理解为右边的分子分母
可以“相消”。这种说法当然是糊涂的，但一直都很难澄清。而我要指出，
这个表达式可以理解为对前述对偶关系的一个说明。
从代数眼光来看，要在空间 X 和 Y 之间建立对偶关系，等于指定一个双线性
的赋值函数 F：X*Y --> R，X*Y 表示 Descartes 积。现在，我们指定 X 为
R 在一点的切空间，Y 为对应的余切空间，取前者的一个元素为 d/dt(它可以
由一个从 R 到 R 的映射 L 来代表，L(t)=x)，后者的一个元素为 df
(它可以用一个 R 到 R 的映射 f 来代表)，则有一个自然的二元赋值< , >,
定义为
<d/dt, df> = df/dt，
后者理解为函数 f 对参数 t 求导，并且在 p 点取值，得到的就是一个导数。
注意它与代表元的选取无关。
与此同时，我们其实还有另一种赋值的方法。注意我们已经取定 R 的一个坐标
x，并且得到了切空间的基底 d/dx 和 余切空间的基底 dx。利用它们以及前面
定义的< ，>，我们定义二元赋值 { ，} 为
{ _ , _ } = < _ ,dx> * <d/dx, _ >
于是立即有
{d/dt, df} = <d/dt，dx> * <d/dx, df> = (dx/dt)*(df/dx)
= df/dt = <d/dt, df> ！
我这里故意给同一个二元赋值写出两种表达方式，并非无聊，而是这里涉及到了
微分的一个最基本的性质：微分形式的不变性(求导的链式法则)。根据它，我们
看到，{ ，} 的定义式中利用哪个局部坐标 x 并不重要；换句话说，用任何一个
局部坐标都可以。于是，我们可以把 d = (d/dx)*dx 这个式子的左边理解为
< ，>，也就是直接把切元素和余切元素相配合(求导)，而把这个式子的右边理解
为 { ，}。换句话说，d = (d/dx)*dx 可以理解为一个断言，说明同一个二元
赋值的内蕴表达和相对于某个坐标(基底)的参数表达是“同一”的。
这样解释过后，我们可以看到，微分 df，实质上对应于 < _ ,df>，它是切空
间上的一个线性泛函，从而是切空间的对偶空间里的元素。如果进一步与切向量
作配对，就得到导数。这就阐明了“导数”和“微分”不是一回事，“导数”乃
是“微分”与“切向量”之间配合而得到的二元赋值。再看开头的表达式
df = \sum (df/dx^i)*(dx^i)
和
d = \sum (d/dx^i)*(dx^i)，
都可以作类似的解释。
现在再来看看通常对切向量和微分的各种理解。一种观点是直接看一个流形浸入
到欧氏空间后所得到的图形，把切空间与具体的切线、切平面相联系。这种看法
非常有用。但是从理论上来说，它只是说明了抽象的切空间如何借助一个到其它
流形的浸入而得到几何上的“实现”，从而不是对切空间的“内蕴刻划”。而我
前半部分花那么大力气来解释一番，其目的就是强调这个内蕴观点(不过这个讲法
得自于陈省身先生的<微分几何讲义>)----注意，我当然还是利用了某种外在的
东西，也就是 M 与 R 之间的映射。这种想法，类似于研究群在集合上的作用
(特别是线性表示)以得到群的内在性质和信息的思路。这个不多说了。再看有人
把 dx 解释为一种测度，这当然也有道理，因为几何测度论里的确是采用这种观
点的。但我们仔细琢磨一下，尤其是回归到最基本的 R-->R 的映射来看，就可
以认识到，这不过是利用了可微映射，把 R(和一般的欧氏空间)上的测度拉到了
流形上。这样讨论测度，固然间接反映了流形的微分结构，但还是一种“外在”
的观点，对研究几何、拓扑的观点来说失去了许多结构，不值得向大家推荐。
--
我是一条Z，Z有很多的理想，其中{0}称为零理想（没理想），零理想和Z本身称为
平凡
理想（老老事实过日子吧），其他的理想都是非平凡理想（谁不想干一番事业）。
(a)称为一
个主理想（理想很多，得有主有次），其实Z的全部理想都是主理想（我没有次的
理想）。
非平凡主理想里，还包括(p)这样的素理想（我有朴素的理想），我真是一条有理
想的Z呀!
※ 来源:·日月光华 bbs.fudan.edu.cn·HTTP [FROM: 162.105.108.152]
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发信人: hertz (我切，我切，我切切切！), 信区: Mathematics
标 题: Re: 谈谈对于微分符号 df 的理解(zz)
发信站: 日月光华 (2003年05月29日15:06:51 星期四)
发信人: symplectic (身无彩凤双飞翼), 信区: Mathematics
标 题: Re: 谈谈对于微分符号 df 的理解
发信站: 北大未名站 (2003年05月28日17:32:20 星期三) , 站内信件
昨天还想补充一点内容的，不过系统忽然连不上，只好补在这里。
hibernating 在前面的 re 文中还说了“函数芽”的理解。不过以我的观点来看，
那种说法未免太代数化了，恐怕是学交换代数的人弄出来的。在同调代数和代数
几何里面，的确可能需要采用这种观点来研究，不然也不会有什么“层论”。但
在初学阶段，我以为重要的在于培养基本的几何直观，这样“函数芽”的有关讲法
就不适当了。(我相信大部分初学者看了那个解释还是会一头雾水，不知所云。)
另外，考虑函数的高阶逼近，同样可以得到一堆等价类，相应也会得到流形上的
一些丛构造，似乎就是称为 jet 的对象，据说是 Darboux 最早提出的。尽管
一般的教材里不谈它，但我发现它是一个有用的观念，在研究流形的某些结构时
必然会用到它，甚至可以建立某些很漂亮的代数和分析结果。(它跟函数芽的概念
有些接近，但我不是很清楚其间的关联。)
另外，直接把 df 理解为全微分，也是省事的办法，但并没有解释清楚这套形式
符号背后的实质内容。还有，要说清这个东西，也没必要谈“外微分”，因为外
微分本身是余切丛及其张量丛上的一个算子，“余切元素”应该理解为它的出发
点；倒过来解释的话，其实什么都解释不了。
--
别看他人很瘦 但是样子很酷 心里装着五千年来压抑的愤怒 总是昂着头啊 默默的走路 有时嘴里骂着人他踢着身边大树 独自走在街上 满脸的麻木
别人好像不明白他思考的深度 就算前方黑暗 没有什么出路 他也不会转来转去回到原处
他也有泪呀 但渐渐在干涸 因为他的心里都是黑色的世故 最后几滴泪呀 为了爱情保留 因为好像女人能够让人变的温柔 瘦削的身体能够承受多少压力 瘦削的身体在风中叹息
别再那么孤独 我不再那么痛苦 坚持就是胜利 这就是真理
※ 来源:·牡丹园新站 bbs.jlu.edu.cn·[FROM: 202.198.67.*]
历史的讲，黎曼几何是三维空间中曲线和曲面微分几何的自然演进。给定三维空间中的一张曲面S，我们有一个很自然地方式来给定其上切矢量的长度。只需把任意一点p处的向量内积简单等同于三维空间中的标准内积，从而曲面上的（诱导）度量，长度概念也就有了。接下来，曲线长度的计算归结于速度矢量长度对参数的积分。事实上，有了度量概念，我们不但可以计算曲线长度，与此同时，曲线夹角、局部区域的面积计算等也都是水到渠成的事。总之，通常几何上的一切与测度概念都可以在曲面上展开。进一步，长度的概念还导致了一批特殊的曲线，即所谓的测地线，具有特殊的涵义：任给测地线上的两点p、q（严格的说，两点间不存在共轭点对儿），则p、q间的测地线距离小于等于任意连接这两点的曲线距离。想起初中平面几何课堂上一再重复的“两点间直线段最短”，我们有理由猜想测地线可以扮演“曲面上的直线”的角色。确实，测地线在一定意义上，被看作弯曲空间里的直线，这也是它们受到广泛重视的原因之一。 注意到，解析的讲，曲面上的度量概念，等价于在每一点定义一个正定的二次型（二次型系数都是曲线上的可微函数），亦称为曲面的第一标准形式。自高斯以来，第一标准形式的几何学几乎一直占据着微分几何的中心位置。 微分几何学发展史上极其浓墨重彩的一笔，或者说现代微分几何学的开山之作，是Gauss在1827年所发表的《关于曲面的一般研究》（一个英译版本可见Gauss，K.F., General Investigation of Curved Surfaces, Raven Press, New York, 1965）在这项工作中，Gauss在曲面上定义了一个所谓的曲率概念，来度量任意曲面在一点p附近，偏离切平面的程度。用现代的观点来看（事后诸葛亮地看）Gauss的核心想法是在曲面每一点处定义一个单位法向量，从而给出了从曲面到三维空间中单位球面的一个可微映射（如今这就称为高斯映射）。如果曲面S是可定向的，高斯映射是整体Well-Defined。在高斯时期，定向的概念还没有得到很好的关注。事实上，直到1865年，Mobius才在他提交的论文中给出了第一个不可定向的例子，即著名的Mobius带。现在定向是微分拓扑里的首要问题了，顺便提一下，按菲尔兹奖获得者Thom的观点，人们至今还没有完全挖掘出定向概念的真正内涵。 言归正传。高斯时期并没有整体的定向概念，所以他的“高斯映射”只是局部的定义在曲面片上（同样的原因，如今本科阶段的微分几何也只是讨论曲面片的微分几何）。不过，不管是整体的还是局部的，高斯建立了从任意曲面（片）到单位球面的高斯写像，这是一个可微映射，从而我们可以谈及其微分（众所周知，微积分的一半任务就是对可微映射取微分，直觉地讲，微分就是可微映射的局部一阶线性逼近，这是数学里惯用的把戏，因为线性映射是我们最得心应手的工具），从而诱导出从曲面切平面到单位球切平面的一个线性变换。Gauss把他的曲率定义成这个切映射的行列式，行列式越大弯曲程度越厉害，行列式为零正好对应着曲面上的平坦点域，这和我们的直觉是一样的。同样的论文里，Gauss还指出了，他的曲率正好与早些年间（1760年）Euler在曲面上任意点处所定义的两个主曲率的乘积相吻合，不同的是这个量后来被称为Gauss曲率，而不是Gauss-Euler曲率。 还是提一下Euler的主曲率概念吧（尽管其已黯然失神于高斯伟大贡献的光环之下）。早些年间，Euler用垂直于曲面的平面去截曲面，得到平面切痕曲线，自然可以定义其曲率，称方向曲率，旋转垂直平面的方向，得到一族方向曲率，所谓的欧拉主曲率，就是这一组曲率中最大的和最小的那两个。在欧拉时代，人们并不清楚一个关于主曲率的函数就可以完全地刻画曲面的弯曲程度，高斯的研究表明，两个主曲率的乘积就够了。 人们常说，曲率是现代黎曼几何的核心概念，这是指黎曼曲率张量。但要说明白曲率为何重要却不是件容易的事情，一个原因在于这不是仅凭直观的生活经验或直觉就能领略到的，必须借助一些严谨的数学演绎，总之必要的抽象是需要的，这也是至今“弯曲的时空”“时空扭曲”“内蕴弯曲”等概念一直让人费解的原因。很多科普书声称他用很生活化的语言，画几个图解释清了什么叫高维空间的曲率，其实他所写的东西往往与声称要解释的东西完全两码事。从分析的角度看，曲率张量刻画了矢量二阶协变导数的不可交换性，这确实与欧式空间的情况不同，因为我们明白通常的二阶偏导数可交换。而要从几何角度（真正地）理解曲率，要引入Jacobi场（广义相对论里叫测地偏离方程）概念，这应是另一篇博文的主题。 继续关注伟大的Gauss。高斯于1827年的文章中，有两个重要的创举：第一，高斯曲率仅仅依赖于曲面的度量，或者曲面的第一基本形式（称为高斯绝妙定理）；第二，测地线所围成的三角形(测地三角形)内角和不一定等于180°，但它仅依赖于三角形区域的曲率积分。前者是内蕴几何学的开端，后者则与几何学上的“千年悬案”第五公设问题密切相关。 种种迹象表明，Gauss很清楚自己研究成果的深远意义。事实上，高斯时期的一个世纪难题是：判断欧几里得几何第五公设（初中几何第一课学过：过直线外一点有且只有一条直线与之平行）是否独立于另外几条公设。早些时候，第五公设等价于三角形内角和是180°，这是勒让德的工作（又一个生不逢时，不幸埋没于高斯光环下的伟大数学家。他与高斯的另一件“悲惨遭遇”是勒让德分布，被后人叫成高斯分布）。高斯的第二个发现表明，至少在二维情况下，可以构想一个几何体系，其性质完全依赖于其上的第一标准形式（而完全不依赖于外围空间）。在这种几何里，测地三角形（代替通常的平面三角形）的内角和依赖于曲率。事实上，Gauss确实验证了，它与180°的差量正好等于三角形区域上的曲率积分。这种几何体系不满足第五公设，但满足所有其它公设。然而，高斯当时并不具备足够的数学工具来发展他的几何构想（事实上，他缺少一个完备流形的概念，而这要等到二十世纪才由H.Weyl来给出）。另外，他也不愿意公开讨论这个备受争议的话题(我们知道高斯的谨小慎微是出了名的)。事实上，非欧几何学的诞生最后被正确的归功于俄国的Lobatchevski(1829)和Bolyai(1831)，可想而知，这两位的理论都经历了相当长的争议期，后者甚至为此精神失常。注意到，他们的非欧几何学都不是从时髦的微积分入手的，如今它们只是数学博物馆里的精品。现代非欧几何的教材往往用微分几何的方式展开。 这里有必要说一下，提到Gauss，很难不让人产生一种天才情愫。各种描写高斯的史料里都渲染了一种个人英雄主义传奇色彩。一般来说，一个数学家一生中能产生三五个真正奇妙的想法就很满意了，而高斯一生中的灵感，可以说是雨后春笋般源源不断，真是让人没办法。读Gauss，伤不起啊伤不起… 回到正题。高斯的微分几何思想后来在1854年，被Riemann重新拾起（Riemann，B., On the hypotheses which lies at the foundation geometry一个英文版本可见Spivak的书）。尽管黎曼当年并没有一个恰当的微分流形概念，他不加证明的用直觉性的语言描述了我们今天所说的n维流形概念。循着高斯的心路历程，他在微分流形的每一点赋予一个正定二次型（如今称为Riemann度量），借助Gauss的内蕴曲率给出相应的Riemann截面曲率概念。进一步，黎曼陈述了一系列曲率与度量的关系。在接下来的几十年里，这些都被一一证明了。黎曼当年的就职演讲，使人相信，他的工作受当年几何学中的另一个问题的启发，即我们生存于其中的物理空间与几何学的关系。事实上，当时非欧几何学的诞生，已经使人们怀疑三维空间欧式几何的先验性。例如，当时Lobacheviski就曾设想宇宙空间应由他的双曲几何来描述，后因与天文观测不符而作罢。黎曼在当年的就职演讲里，已经提到这样的想法：物理空间到底应该由哪种几何来描述当由物理观测来判定；物质的存在可能使空间发生内蕴弯曲。注意到当时黎曼并没有四维时空（准确的说，叫Minkovski空间）的概念，因而，毫无疑问，广义相对论的创立要等到20世纪初期。当Einstein为他的引力理论缺少合适的数学而抓狂不已时，一位数学家好友（大学考试前时常借给他作业本）向他介绍了意大利学派Ricci，Levi Civita等他人正在研究的张量分析和黎曼几何。 就是Einstein也表示难以相信，半个世纪以前，即有人在数学上为广义相对论的萌芽奠定了基础。 毫无疑问，仅仅这篇就职演说，就可以让黎曼名垂青史，然而，在他短短的40年生命里，还有那么多令人惊叹的创见。值得一提的是，伟大如黎曼，其一生却未获得过任何奖项，仅有的几次报奖也因过于简短，证据不足而退回。真是冤哉枉也！ 如今，当我们津津乐道以其名字命名的Riemann积分，Riemann假设，Riemann引理等概念时，是否想到过黎曼穷困潦倒，如流星般匆匆闪过历史苍穹的一生！也许，有这么多美妙的理论与之作伴，Riemann在天堂里的生活也不寂寞了。 谨以此篇，献给那些为追求真理，不慕容利默默奋斗的数学英雄们（00：26） |
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