谈谈对于微分符号 df 的理解
(2009-08-06 14:33:11)
这两天，不断有人问起这个问题，倒值得认真讨论一下。记得别人回忆陈省身先生的文章里也提到，五十年代时，研究生们看到他在黑板上随意写下外微分表达式
dx，还会觉得惊讶和迷惘。我在这里重新整理了一下自己以往的认识。这里写下来，就正于大家，也许对学习微分流形的朋友会有帮助。
问题的确切表述，应该是这样：
给定微分流形 M 上的可微函数
f，问表达式 df = f_i * dx^i的确切含义是什么？
这里 x^i 表示一个局部坐标系的坐标分量，f_i
表示 f对 x^i 的偏导数。
这个表达式，其实在多元微积分里已经出现了。估计最初大家都跟我一样，把它当作是一个方便的形式记号。在当时的条件下，df
可以理解为 n元函数f 的 Jacobian 的另一种表达方法。注意这时的 Jacobian 应该是一个 n元向量，则 f_i 表示的是此向量的各个分量，而
dx^i 意味着此分量表达是相对于坐标 x^i 而确定的。
从微分流形的观点而言，我们可以有更好、更深入的看法。我们不妨设想自己处于这个理论创立者的地位上，那么很自然地要考虑：给定微分流形
M，上面有什么自然的构造？
显然，如果光有 M
本身，可做的事情少得可怜。这时，一个有意义的想法，就是考虑某些典则/典型(canonical/model)的流形，然后考虑 M
与此流形的关系，利用这种关系来刻划 M 本身的结构和性质。
要找这样的模板，最自然的选择莫过于欧氏空间(须知流形本来就是局部以欧氏空间为模板而“搭”起来的)，而对高维欧氏空间的研究，无外乎是多元微积分，结果最后还要归结到一元函数论。因此，最基本的选择，就是取实数集
R(视为一维流形)来作模板。
取定 M 和
R，我们该考察它们间的什么关系呢？有一定见识的同学，自然会认识到，在一个给定范畴中，定义好基本概念和对象后，紧接着该考虑的就是这些对象间的映射关系。所以，我们现在有两类最基本的研究材料：一类是R
到 M 的可微映射，一类是 M 到 R 的可微映射；前者就是 M 上的曲线，后者就是 M 上的函数。
再接下来，我们决定，先研究相关的局部性质，因为这显然最容易着手，也是最基本的。从微积分的经验，我们可以预想到应当引入对曲线和函数的线性逼近，这对应于微分运算，而这也正是我们该做的事情。(须知流形本来就是为了推广微积分理论而发明的最一般的框架。)
现在我们限于 M 上一点 p 附近来做，则上述一阶逼近的考虑，会引导出两类东西。一类，是过 p 点的曲线在 p
点的微分，它可以描述为一个等价类，其中等价的对象是在 p
点彼此相切的曲线，它们并且有相同的“瞬时速度”(注意我们用到的不仅是曲线，而且还包括其参数化，即具体的从 R
出发的映射)。我必须马上指出，“相切”这个概念是有意义的，因为我们可以利用局部坐标系转化到欧氏空间里考虑，而“相切”的性质与坐标选取无关。另外还请注意，这个看法，既是直观的(借助了几何图象)，同时又是抽象的(采用了等价类的代数描述)。好了，我们再来看第二类对象，它们是任意函数在
p 点处的微分，它们同样可以描述为一些等价类，其中每一类里包含的是一些在 p
点邻域上取值的函数，它们沿任意方向的方向导数相同。同样我要在这里提醒大家注意，这里沿某方向的方向导数是良定的(well-defined)。(如果有人担心这里的“方向”和“方向导数”概念还没有建立起来，那我可以修改为“沿过
p 点的任意可微曲线，此函数在 p 点的导数”。)
这两类东西，作为对应映射在一点的线性化，本身就自然带有线性结构。第一类对象，构成了 p
点的切空间；第二类对象全体，恰好构成前者的对偶空间，即余切空间。把各点处对应的这些空间联系起来看，就给出了切丛和余切丛。
回头来看开头的表达式，则左边的 df，其实就是由 f
决定的一个“余切元素”(记住，它代表一个等价类)。右边呢，x^i 作为给定的局部坐标，也就自然给定了 n 个坐标函数，这些函数分别决定了 n 个余切元素，且构成
p 点处余切空间的一个基底，它们就是 dx^i，而 df 就可以由它们线性表示。巧得很，这样表达出来的坐标分量，正好是 f 沿对应方向的偏导数。
话说到这里可以结束了，但我想把有关的东西进一步解释清楚点。接着原式，如果我们把 f“遮”起来不看，则左边的 d
表示一个全微分记号，而右边表示的则是一个求和，其中每一项里都包括一个切向量(d/dx^i)和一个余切元素(dx^i)。这样一个抽象的表达式，恐怕更让人困惑，因为看起来每一项中对应的切向量和余切元素是彼此对偶的，为什么没有消去，却可以这样分开来写呢？
反思一下切元素跟余切元素的对偶关系，其实从前头“两类映射的方向相反”就可以看出苗头。为了说清问题，不妨回归到最原始的情形：R-->R
的映射。设自变量和因变量分别是 x 和 y，映射为 f，我们有熟知的表达式
dy = f'(x)dx。
再简化一点，即
d = (d/dx)*dx。
我们也一直把这种表达方法当作一个形式记号，简单理解为右边的分子分母可以“相消”。这种说法当然是糊涂的，但一直都很难澄清。而我要指出，这个表达式可以理解为对前述对偶关系的一个说明。
从代数眼光来看，要在空间 X 和 Y 之间建立对偶关系，等于指定一个双线性的赋值函数 F：X*Y -->
R，X*Y 表示 Descartes 积。现在，我们指定 X 为R 在一点的切空间，Y 为对应的余切空间，取前者的一个元素为 d/dt(它可以由一个从 R 到
R 的映射 L 来代表，L(t)=x)，后者的一个元素为 df(它可以用一个 R 到 R 的映射 f 来代表)，则有一个自然的二元赋值< ,
>,定义为
<d/dt, df> = df/dt，
后者理解为函数 f 对参数 t 求导，并且在 p 点取值，得到的就是一个导数。注意它与代表元的选取无关。
与此同时，我们其实还有另一种赋值的方法。注意我们已经取定 R 的一个坐标x，并且得到了切空间的基底 d/dx 和
余切空间的基底 dx。利用它们以及前面定义的< ，>，我们定义二元赋值 { ，} 为
{ _ , _ } = < _ ,dx> * <d/dx, _ >
于是立即有
{d/dt, df} = <d/dt，dx> * <d/dx, df> =
(dx/dt)*(df/dx)
= df/dt = <d/dt, df> ！
我这里故意给同一个二元赋值写出两种表达方式，并非无聊，而是这里涉及到了微分的一个最基本的性质：微分形式的不变性(求导的链式法则)。根据它，我们看到，{ ，}
的定义式中利用哪个局部坐标 x 并不重要；换句话说，用任何一个局部坐标都可以。于是，我们可以把 d = (d/dx)*dx 这个式子的左边理解为<
，>，也就是直接把切元素和余切元素相配合(求导)，而把这个式子的右边理解为 { ，}。换句话说，d = (d/dx)*dx
可以理解为一个断言，说明同一个二元赋值的内蕴表达和相对于某个坐标(基底)的参数表达是“同一”的。
这样解释过后，我们可以看到，微分 df，实质上对应于 < _
,df>，它是切空间上的一个线性泛函，从而是切空间的对偶空间里的元素。如果进一步与切向量作配对，就得到导数。这就阐明了“导数”和“微分”不是一回事，“导数”乃是“微分”与“切向量”之间配合而得到的二元赋值。再看开头的表达式
df = \sum (df/dx^i)*(dx^i)
和
d = \sum (d/dx^i)*(dx^i)，都可以作类似的解释。
现在再来看看通常对切向量和微分的各种理解。一种观点是直接看一个流形浸入到欧氏空间后所得到的图形，把切空间与具体的切线、切平面相联系。这种看法非常有用。但是从理论上来说，它只是说明了抽象的切空间如何借助一个到其它流形的浸入而得到几何上的“实现”，从而不是对切空间的“内蕴刻划”。而我前半部分花那么大力气来解释一番，其目的就是强调这个内蕴观点(不过这个讲法得自于陈省身先生的<微分几何讲义>)----注意，我当然还是利用了某种外在的东西，也就是
M 与 R 之间的映射。这种想法，类似于研究群在集合上的作用(特别是线性表示)以得到群的内在性质和信息的思路。这个不多说了。再看有人
把 dx
解释为一种测度，这当然也有道理，因为几何测度论里的确是采用这种观点的。但我们仔细琢磨一下，尤其是回归到最基本的 R-->R
的映射来看，就可以认识到，这不过是利用了可微映射，把
R(和一般的欧氏空间)上的测度拉到了流形上。这样讨论测度，固然间接反映了流形的微分结构，但还是一种“外在”
的观点，对研究几何、拓扑的观点来说失去了许多结构，不值得向大家推荐。
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昨天还想补充一点内容的，不过系统忽然连不上，只好补在这里。
hibernating 在前面的 re
文中还说了“函数芽”的理解。不过以我的观点来看，那种说法未免太代数化了，恐怕是学交换代数的人弄出来的。在同调代数和代数几何里面，的确可能需要采用这种观点来研究，不然也不会有什么“层论”。但在初学阶段，我以为重要的在于培养基本的几何直观，这样“函数芽”的有关讲法就不适当了。(我相信大部分初学者看了那个解释还是会一头雾水，不知所云。)另外，考虑函数的高阶逼近，同样可以得到一堆等价类，相应也会得到流形上的一些丛构造，似乎就是称为
jet 的对象，据说是 Darboux
最早提出的。尽管一般的教材里不谈它，但我发现它是一个有用的观念，在研究流形的某些结构时必然会用到它，甚至可以建立某些很漂亮的代数和分析结果。(它跟函数芽的概念有些接近，但我不是很清楚其间的关联。)
另外，直接把 df
理解为全微分，也是省事的办法，但并没有解释清楚这套形式符号背后的实质内容。还有，要说清这个东西，也没必要谈“外微分”，因为外微分本身是余切丛及其张量丛上的一个算子，“余切元素”应该理解为它的出发点；倒过来解释的话，其实什么都解释不了。
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