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3.1.4路径积分量子化
量子化是微观客体的特性，如何正确地构造量子理论始终是一个重要问题。一般而言，从经典理论得到相应的量子理论可以按照正则量子化的标准方法进行。但正则对易关系只对独立的共轭正则变量才成立。如果系统存在约束，那末首先应从约束方程中解得独立的变量，然后再进行量子化。规范场理论的量子化就属于这种情况。
电磁场的作用量在规范变换下保持不变，它表明并非电磁势的四个分量都是独立的场变量。物理的场满足一定的规范条件，它对电磁势的独立分量加了很强的限制。这时如果简单地将四个分量同时做为独立变量进行正则量子化，将会因无视它所满足的规范条件而得到矛盾的结果。从规范条件中解出独立的变量然后再进行量子化可以避免上述困难。但是，直接这样做并不方便，而且会牺牲整个理论的明显洛伦兹协变性，特别是对于非阿贝尔规范场的情形，规范场方程的非线性将导致实际求解的巨大困难。
对非阿贝尔规范场的量子化最先是1967年由前苏联学者法捷耶夫(L.Faddeev)和波波夫(V．Popov)用路径积分的办法实现的。路径积分量子化的最初想法来自狄拉克。他在寻找一种能够平等对待时间和空间的量子力学表述方式时发现，在经典理论的两种表达方式中，哈密顿形式的时间具有特别的地位，而拉格朗日最小作用量原理的时间和空间地位是平等的。他相信拉格朗日作用量也一定会在量子理论的表述中发挥作用。费曼接受并发展了这种想法，得到了路径积分量子化方法。
作为量子力学的基本原理之一的测不准原理表明，由于位置和速度这对相互共轭的量不能同时测准，所以经典的轨道概念在微观领域没有意义。但费曼认为，在量子力学中可以保留轨道概念，只不过一个微观粒子从初始时刻的位置到终了时刻的位置之间的所有轨道都是可能的，粒子沿哪条轨道走并不确定，每一轨道都有一定的几率幅。量子力学的特征正反映在轨道的不确定性上。这与经典力学的情况相反。在经典力学中粒子是按确定的轨道运动的，这个轨道称为经典轨道，它是使作用量S为最小的那条轨道。在量子力学中，费曼假定每个轨道对总几率幅贡献的大小相等，相角不同，即等于eiS(a,b)/h，其中S(a，b)是该路径的作用量值。总的几率幅为
这种路径积分量子化的特点是，它的表达式中所用到的量都是经典的而不是算符，但是由它所表达的却是量子力学的几率幅。
既然所有的路径都有同样大小的贡献，只是相角有所变化，那末在经典极限下某个特定的路径是怎样变成最重要的路径的呢？经典近似相应于尺寸、质量、时间等都很大，以致S与h相比是巨大的，所贡献的相角S/h是个很大的值。对一般的情况，路径的微小改变会造成相角的巨大改变，它们的贡献由于振荡而相互抵消。但对于S为极值的特殊路径，它的微小变化不会使S发生变化。所以，这个区域内各路径的贡献几乎都是同相的，不会相互抵消。于是当所讨论的尺度远大于h时，这种表达形式自动地挑出了满足最小作用量原理的经典轨道。
路径积分量子化方法在概念上是简单的。但是对这样的求和给出更精确的数学上的定义是相当复杂的。这种求和的极限自然地应该表达成积分，由于这时的积分变量—路径—本身是时空的函数，所以它是推广了的黎曼积分，即所谓的泛函积分。关于泛函积分的存在性在数学上仍是尚未完全解决的问题，好在对于一类特殊的称为高斯型的泛函积分其存在性是得到严格证明的。而常见的几种场，如标量场、旋量场和规范场，它们的自由场拉氏作用量的路径积分都是属于高斯型的。
当考虑了场的相互作用后，拉氏量中往往包含场的三次或更高次幂的单项式。它们不属于高斯型积分，在具体计算中不得不借助于微扰展开。由此发展起来的理论与正则量子化的微扰论异曲同工。路径积分量子化方法有许多优越的地方。例如，由它可以发展一些形式场论的方法，对作用量的具体表达式尚不清楚的情况尤为有用；路径积分形式有利于做半经典近似；它的表达式与统计物理中配分函数的相似导致了有限温度场理论的产生和发展等。特别是由于规范对称性使规范场的自由度多于真实的物理自由度，即规范场是一个约束系统，而量子化是对于真实的物理自由度进行的，这在操作上给正则量子化带来困难，但在路径积分量子化方案中比较容易处理。
规范对称性意味着作用量在规范变换下不变，由规范变换所联系起来的场称为规范等价，它们的集合称为一个规范等价类(或规范轨道)。不加区分地对所有的场位形(路径在场论中的推广)进行积分将会导致对于规范等价的场位形重复积分。由于场是无穷多维的系统，所以这种的重复积分的结果是无穷大。费曼路径积分应该只对于那些不在一个规范等价类的真正物理自由度进行积分。路径积分形式通过适当地修改积分的测度定义使积分只沿与规范轨道相交且仅交一次的路径进行，从而做到这一点。
这种办法是由法捷耶夫和波波夫首先得到的，他们对测度的修改通过引进辅助的场量完成的。这些辅助场在时空变换下表现得象个标量但却满足反对易的交换关系，由于这种奇特的性质，它被称为鬼场。它们只出现在费曼图的内线，从而保证了S矩阵的幺正性。使积分路径只与规范轨道相交一次且仅相交一次是通过选取规范条件来实现的，如洛伦兹规范条件在场的位形空间就是给出这样的积分路径所满足的方程。格瑞伯夫(Gribov)发现，由于位形空间的拓扑性质，并不是总可以找到上述的积分路径，这种情况称为存在格瑞伯夫不定性。一般说来，非阿贝尔规范场的库仑规范条件就存在格瑞伯夫不定性，所以库仑规范不是一个好的规范条件。现在人们通过研究相信，格瑞伯夫不定性可能是非阿贝尔规范场的普遍性质，与其拓扑性质密切相关。格瑞伯夫不定性表现在规范条件确定的积分路径与规范轨道相交不只一次。不过这种重复相交一般发生在场量较大的位形，它并不影响微扰论计算。
路径积分量子化方案对于旋量场存在一定的困难。前面说过，路径积分的表达式中所用的量都是些经典的量，由普通的复数表示。但是，满足反对易关系的旋量场并没有经典的对应，换句话说，没有满足反对易乘法的数。所以要处理旋量场的量子化就必须推广关于数的定义。满足反对易乘法的“数”称为格拉斯曼数(Grassman数)。Brezin讨论了对于格拉斯曼数的函数进行微分和积分的问题。最近关于量子群在场论中的应用，特别是非对易几何的研究再次引起人们对于这些形式讨论的兴趣。
量子场论的路径积分形式由于前面提到的一些特点使得它成为现代量子场论的主要理论构架。量子场论的很多丰富内涵都通过路径积分测度的定义得到反映，鬼粒子就是一个著名例子。80年代初，利用路径积分形式对于量子场论中的反常现象的研究表明反常与场在大范围的拓扑性质密切相关。
费曼路径积分为什么在数学上不严格 |
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