二十年前的小朋友很好哄，一个陀螺就能打发一下午的时间。大江南北，似乎都有这种转啊转的玩具。记得曾在书上读到，东北小朋友在冰上玩的陀螺要用鞭子抽。身处南国的笔者，冰面与鞭子都未曾见过，而见过的陀螺也都是塑料的，用手一拧，在桌上就滴溜溜地转起来，颜色混合而又慢慢分离，变幻摄人眼球。
还记得有一种会倒立的陀螺，一开始大头朝下转着，慢慢地整个陀螺就会翻过来，变成大头朝上。在科普大师马丁·加德纳的书中，也有提到到这种会倒立的陀螺。玩意虽小，也给世界各地的人带来过乐趣。
通俗来说，角动量守恒就是旋转中的物体倾向于绕着相同的旋转轴，以相同方向继续旋转。如果没有外力作用，旋转永不休止。也就是说，旋转本身也有一种惯性。轻轻推一下旋转中的陀螺，它也只会开始摇摇晃晃，而不会立刻倒下来。
地球本身是个更宏观的例子。数十亿年来，地球围绕着太阳公转，围绕着地轴自转，未有一刻歇息。公转而有春夏秋冬，自转而有昼夜晨昏，日常熟悉的这一切变化并非理所当然，它们来自太阳系形成时，星云旋转的角动量。
但在人力所及之处，要归纳出这个看似简单的定理，竟也花了不少时间。究其原因，我们的世界是如此不完美，摩擦力无处不在，不断消磨着各种运动，以至于大贤亚里士多德竟会认为力是维持物体运动的必要条件，并且整个西方世界这样一错就是一千年。
人们第一次窥视到角动量的一鳞半爪，还是在星空中，那里星体的运动没有摩擦力的阻碍。发现者则是一位眼睛不好的天文学家——开普勒。他自己做不了观测，但他的老师第谷留下了需要的所有资料。天行有常，而在纸堆中，他发现了行星的“常”，也就是后人口中的开普勒三定律，阐述了行星围绕太阳旋转的规律。而其中的第二条——无论在轨道何处，行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相同——实际上就是角动量守恒的体现。
之后的牛顿更是将开普勒的工作发扬光大。他的力学三定律以及万有引力，用可以计算的公式诠释了开普勒的发现。而在牛顿力学中，人类终于完全抓住了旋转的规律，可以随意计算有关旋转的一切，而角动量守恒也成为了理所当然的推论。
对于客观规律，感性认识只是不甚可靠的第一步，可以量化并计算的理论却有着实实在在的用处。发电机和电动机利用旋转的力量，转化着不同形式的能量，构成了现代文明的基石。而在设计中，对旋转的计算直接关系到机械的安全和性能。
陀螺仪则是对于角动量守恒最为直接的应用。强有力的转动使它指向固定的方向，无论是大风大浪还是火箭发射，都不能使它的指向偏离一分半毫。也唯有如此，它才能指引船只、飞机甚至宇宙探测器沿着指定的方向航行，到达最终的目的地。
角动量守恒是如此自然，人们理所当然地接受了它。
但有一位数学家并不接受这种理所当然，她叫埃米·诺特。
即使获得了博士学位，即使指导者是当时有着“不变量之王”美称的大数学家戈尔丹，即使工作受到了广泛的肯定，在毕业后最初的七年，诺特的收入仅仅来自家人的接济。她工作的机构，埃朗根数学研究所，从未向她支付过工资。
一分钱都没有。
在1915年，事情似乎有了转机：两位数学巨擘，希尔伯特与克莱因，邀请诺特到当时数学界的中心——哥廷根大学——工作，研究广义相对论的数学。当时爱因斯坦还在摆弄他的场方程，苦恼于其中的一些异常之处，而希尔伯特也在摆弄相似的场方程。他们希望诺特在不变量理论方面的造诣，能帮助厘清广义相对论中的数学。
这无疑是对诺特才华的肯定。
但当时的哥廷根更关注诺特的性别。希尔伯特希望为诺特谋得一个私人讲师的职位，但哥廷根的教授们显然不希望有女人进入他们“神圣”的大学。他们的借口之一是“不希望我们的士兵回归大学后，发现竟要向女性求学”。向来沉稳的希尔伯特也不禁大动肝火，并说出了那句著名台词：“我不明白候选人性别与私人讲师资格有何相干，毕竟这里是大学，不是澡堂！”但要改变那帮老顽固，一年半载是不可能的。诺特的课程只能挂上希尔伯特的名义才能开讲。她仍然没有职位，仍然没有收入，仍然需要家人接济。
然而希尔伯特毕竟是伯乐，诺特甫一开始在哥廷根的工作，就在数学物理方面崭露头角。
也许这种问题正适合诺特来回答。毕竟，她仅仅是踏在科研路上这个事实，就已经冲击了当时多少人心中那陈腐的“理所当然”。
而诺特的回答优美得令人震惊。她发现，守恒量的存在并非理所当然，而是宇宙规律对称性的体现。无论任何物理理论，只要符合某种对称性，那么这个理论中一定有一个对应的守恒量，这个量不会随着系统的演化而变化。如果物理定律在时间长河中的每一个时刻都相同，它就有着所谓的“时间平移不变性”，对应着的守恒量就是能量。如果绕着茫茫宇宙任何一个方向旋转，物理定律仍然不变，那么它就有着“旋转不变性”，对应着的守恒量就是旋转的角动量。
无论什么宇宙，无论什么规律，有一个对称性，就有一个守恒量。而角动量，不过是旋转不变性所对应守恒量的名字而已。这就是诺特定理。
希尔伯特的场方程，仍然保有经典物理的对称性，但因为方程本身已改头换面，对称性所对应的守恒量也变得面目全非。经典物理中的守恒量不再守恒，这仅仅因为我们有新的守恒量，而并不构成新物理的障碍。
这就是诺特的答案，一个连爱因斯坦也大加溢美之辞的答案。
诺特定理为现代物理学打开了一扇新的大门。有了诺特定理，物理学家开始学会通过宇宙本身的对称性推测物理定律的性质。人们认识到，对称性是探究物理的指路明灯。
除了时空本身宏观的对称性以外，物理学家还开始探索各种局部的对称性。在量子场论中，人们发现除了时间和空间以外，物理定律在局部还依赖额外的量，有着额外的对称性。这些被称为“规范对称”的对称性，实际上可以看作更为抽象的数学空间中的旋转对称性，而它们也有着相应的守恒量。基于这些新的对称性，人们建立了一整套物理理论，被称为“规范场论”。
这套依赖对称性的物理方法，获得了前所未有的成功。四种基本力中的三种，都能用规范场论来解释，合起来就是目前最为成功的粒子物理理论——标准模型。正因为规范场论如此成功，一些物理学家认为能描述一切的终极理论应该也是一个规范场论，一个比标准模型有着更高对称性、更多对称美的规范场论模型。
没有人知道终极理论会是什么，但每个人都认为它一定拥有高度的对称美。而陀螺转而不倒，只是这种美的一个小小体现而已。
（本文发表于《艺术世界》2013年6月号）
还记得有一种会倒立的陀螺，一开始大头朝下转着，慢慢地整个陀螺就会翻过来，变成大头朝上。在科普大师马丁·加德纳的书中，也有提到到这种会倒立的陀螺。玩意虽小，也给世界各地的人带来过乐趣。
【倒立陀螺，图片出处：维基百科】
那么，陀螺为何转而不倒？也许你会回答，角动量守恒。通俗来说，角动量守恒就是旋转中的物体倾向于绕着相同的旋转轴，以相同方向继续旋转。如果没有外力作用，旋转永不休止。也就是说，旋转本身也有一种惯性。轻轻推一下旋转中的陀螺，它也只会开始摇摇晃晃，而不会立刻倒下来。
地球本身是个更宏观的例子。数十亿年来，地球围绕着太阳公转，围绕着地轴自转，未有一刻歇息。公转而有春夏秋冬，自转而有昼夜晨昏，日常熟悉的这一切变化并非理所当然，它们来自太阳系形成时，星云旋转的角动量。
但在人力所及之处，要归纳出这个看似简单的定理，竟也花了不少时间。究其原因，我们的世界是如此不完美，摩擦力无处不在，不断消磨着各种运动，以至于大贤亚里士多德竟会认为力是维持物体运动的必要条件，并且整个西方世界这样一错就是一千年。
人们第一次窥视到角动量的一鳞半爪，还是在星空中，那里星体的运动没有摩擦力的阻碍。发现者则是一位眼睛不好的天文学家——开普勒。他自己做不了观测，但他的老师第谷留下了需要的所有资料。天行有常，而在纸堆中，他发现了行星的“常”，也就是后人口中的开普勒三定律，阐述了行星围绕太阳旋转的规律。而其中的第二条——无论在轨道何处，行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相同——实际上就是角动量守恒的体现。
之后的牛顿更是将开普勒的工作发扬光大。他的力学三定律以及万有引力，用可以计算的公式诠释了开普勒的发现。而在牛顿力学中，人类终于完全抓住了旋转的规律，可以随意计算有关旋转的一切，而角动量守恒也成为了理所当然的推论。
对于客观规律，感性认识只是不甚可靠的第一步，可以量化并计算的理论却有着实实在在的用处。发电机和电动机利用旋转的力量，转化着不同形式的能量，构成了现代文明的基石。而在设计中，对旋转的计算直接关系到机械的安全和性能。
陀螺仪则是对于角动量守恒最为直接的应用。强有力的转动使它指向固定的方向，无论是大风大浪还是火箭发射，都不能使它的指向偏离一分半毫。也唯有如此，它才能指引船只、飞机甚至宇宙探测器沿着指定的方向航行，到达最终的目的地。
角动量守恒是如此自然，人们理所当然地接受了它。
但有一位数学家并不接受这种理所当然，她叫埃米·诺特。
【埃米·诺特，图片出处：维基百科】
作为一个女数学家，生于19世纪末的德国并不算件好事情。直到20世纪初，男女同校仍被视作会“颠覆学界秩序”的举动，而大学教授仍是男性的专利。对诺特而言，即使她的父亲就是数学教授，即使她才华横溢，求学也并非理所当然。她只能旁听，而且还要取得教授的许可。即使获得了博士学位，即使指导者是当时有着“不变量之王”美称的大数学家戈尔丹，即使工作受到了广泛的肯定，在毕业后最初的七年，诺特的收入仅仅来自家人的接济。她工作的机构，埃朗根数学研究所，从未向她支付过工资。
一分钱都没有。
在1915年，事情似乎有了转机：两位数学巨擘，希尔伯特与克莱因，邀请诺特到当时数学界的中心——哥廷根大学——工作，研究广义相对论的数学。当时爱因斯坦还在摆弄他的场方程，苦恼于其中的一些异常之处，而希尔伯特也在摆弄相似的场方程。他们希望诺特在不变量理论方面的造诣，能帮助厘清广义相对论中的数学。
这无疑是对诺特才华的肯定。
但当时的哥廷根更关注诺特的性别。希尔伯特希望为诺特谋得一个私人讲师的职位，但哥廷根的教授们显然不希望有女人进入他们“神圣”的大学。他们的借口之一是“不希望我们的士兵回归大学后，发现竟要向女性求学”。向来沉稳的希尔伯特也不禁大动肝火，并说出了那句著名台词：“我不明白候选人性别与私人讲师资格有何相干，毕竟这里是大学，不是澡堂！”但要改变那帮老顽固，一年半载是不可能的。诺特的课程只能挂上希尔伯特的名义才能开讲。她仍然没有职位，仍然没有收入，仍然需要家人接济。
然而希尔伯特毕竟是伯乐，诺特甫一开始在哥廷根的工作，就在数学物理方面崭露头角。
【黑洞模拟图，图片出处：维基百科】
粗略地说，广义相对论的新思想在于“时空会随着物质弯曲”的概念，但要将这些抽象的概念转化为实实在在的数学方程，是件异常困难的事：需要新的数学工具，需要新的数学想法，而且还要排除时不时冒出来的那些物理上不可能的性质。希尔伯特发现他的场方程中，正出现了看似不可能的毛病。在经典物理中理所当然的守恒量，比如能量、角动量，在他的场方程中似乎不再守恒。到底这是致命的缺陷，还是新定律的喻示？希尔伯特期望诺特解决的，就是这样的问题。也许这种问题正适合诺特来回答。毕竟，她仅仅是踏在科研路上这个事实，就已经冲击了当时多少人心中那陈腐的“理所当然”。
而诺特的回答优美得令人震惊。她发现，守恒量的存在并非理所当然，而是宇宙规律对称性的体现。无论任何物理理论，只要符合某种对称性，那么这个理论中一定有一个对应的守恒量，这个量不会随着系统的演化而变化。如果物理定律在时间长河中的每一个时刻都相同，它就有着所谓的“时间平移不变性”，对应着的守恒量就是能量。如果绕着茫茫宇宙任何一个方向旋转，物理定律仍然不变，那么它就有着“旋转不变性”，对应着的守恒量就是旋转的角动量。
无论什么宇宙，无论什么规律，有一个对称性，就有一个守恒量。而角动量，不过是旋转不变性所对应守恒量的名字而已。这就是诺特定理。
希尔伯特的场方程，仍然保有经典物理的对称性，但因为方程本身已改头换面，对称性所对应的守恒量也变得面目全非。经典物理中的守恒量不再守恒，这仅仅因为我们有新的守恒量，而并不构成新物理的障碍。
这就是诺特的答案，一个连爱因斯坦也大加溢美之辞的答案。
诺特定理为现代物理学打开了一扇新的大门。有了诺特定理，物理学家开始学会通过宇宙本身的对称性推测物理定律的性质。人们认识到，对称性是探究物理的指路明灯。
除了时空本身宏观的对称性以外，物理学家还开始探索各种局部的对称性。在量子场论中，人们发现除了时间和空间以外，物理定律在局部还依赖额外的量，有着额外的对称性。这些被称为“规范对称”的对称性，实际上可以看作更为抽象的数学空间中的旋转对称性，而它们也有着相应的守恒量。基于这些新的对称性，人们建立了一整套物理理论，被称为“规范场论”。
这套依赖对称性的物理方法，获得了前所未有的成功。四种基本力中的三种，都能用规范场论来解释，合起来就是目前最为成功的粒子物理理论——标准模型。正因为规范场论如此成功，一些物理学家认为能描述一切的终极理论应该也是一个规范场论，一个比标准模型有着更高对称性、更多对称美的规范场论模型。
没有人知道终极理论会是什么，但每个人都认为它一定拥有高度的对称美。而陀螺转而不倒，只是这种美的一个小小体现而已。
（本文发表于《艺术世界》2013年6月号）
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