類氫原子[编辑]
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稱滿足上述系統的薛丁格方程式的波函數為單電子波函數,或類氫原子波函數。類氫原子波函數是單電子角動量算符 與其 z-軸分量算符 的本徵函數。由於能量本徵值 跟量子數 , 無關,而只跟主量子數 有關。所以,類氫原子波函數可以由主量子數 、角量子數 、磁量子數 ,獨特地決定。因為構造原理,還必須加上自旋量子數 。對於多電子原子,這原理限制了電子構型的四個量子數。對於類氫原子,所有簡併的軌域形成了一個電子層;每一個電子層都有其獨特的主量子數 .這主量子數決定了電子層的能量。主量子數也限制了角量子數 、磁量子數 、自旋量子數 的值域。
除了氫原子(電中性)以外,類氫原子都是離子,都帶有正電荷量 ;其中, 是單位電荷量, 是原子序數。離子像He+、Li2+、Be3+、B4+、等等,都是類氫原子。
在元素周期表中,第 IA 族的鹼金屬元素,其原子的最外電子層都有一個電子,而第二外層電子層的亞層,不論是 s 亞層或 p 亞層,凡是內中有電子的亞層.都已被填滿。例如,鈉元素有11個電子。電子排佈為 。最外層只有一個電子。第二外層的 與 亞層都已填滿。鉀元素有19個電子。電子排佈為 。第二外層的 與 亞層都已填滿。由於 亞層的軌域的能量較高,最外層唯一的一個電子的軌域是 。受到內層電子的緊密屏蔽,這最外層的電子只能感受到大約為一個質子的存在。有效原子序數是 1 。所以,這鹼金屬的單電子系統可以視為一個類氫原子系統。可以用原子序數為 1 的類氫原子波函數,來近似地表達這電子的量子態。
因為電子與電子之間的庫侖相互作用,擁有多個電子的原子或離子沒有解析解,必須用數值法來做量子力學計算,才能求得近似的波函數以及其它有關性質。由於哈密頓量的球對稱性,一個原子的角動量 守恆。許多數值程序,開始於單電子算符 與 的本徵函數的乘積。所計算出來的波函數的徑向部分 有時會是數值列表或斯萊特軌域 (Slater orbitals) 。應用角動量偶合方法 (angular momentum coupling) ,可以設定 (或許也可以設定 )的多電子本徵函數。
薛丁格方程式解答[编辑]
類氫原子問題的薛丁格方程式為- ;
- ;
採用球坐標 ,將拉普拉斯算子展開:
- 。
- 。
角部分解答[编辑]
參數為天頂角和方位角的球諧函數,滿足角部分方程式- ;
- ;
- ;
- 。
徑向部分解答[编辑]
徑向函數滿足一個一維薛丁格方程式:- 。
除了量子數 與 以外,還有一個主量子數 。為了滿足 的邊界條件, 必須是正值整數,能量也離散為能級 。隨著量子數的不同,函數 與 都會有對應的改變。按照慣例,規定用波函數的下標符號來表示這些量子數。這樣,徑向函數可以表達為
- ;
- ;
- 。
知道徑向函數 與球諧函數 的形式,可以寫出整個量子態的波函數,也就是薛丁格方程式的整個解答:
- 。
量子數[编辑]
量子數 , , 都是整數,容許下述值:- ,
- ,
- 。
角動量[编辑]
每一個原子軌域都有特定的角動量向量 。它對應的算符是一個向量算符 。角動量算符的平方 的本徵值是- 。
- 。
由於 , 與 互相不對易, 與 彼此是不相容可觀察量,這兩個算符絕對不會有共同的基底量子態。一般而言, 的本徵態與 的本徵態不同。
給予一個量子系統,量子態為 。對於可觀察量算符 ,所有本徵值為 的本徵態 ,形成了一組基底量子態。量子態 可以表達為這基底量子態的線性組合: 。對於可觀察量算符 ,所有本徵值為 的本徵態 ,形成了另外一組基底量子態。量子態 可以表達為這基底量子態的線性組合: 。
假若,測量可觀察量 ,得到的測量值為其本徵值 ,則量子態機率地塌縮為本徵態 。假若,立刻再測量可觀察量 ,得到的答案必定是 ,在很短的時間內,量子態仍舊處於 。可是,假若改為立刻測量可觀察量 ,則量子態不會停留於本徵態 ,而會機率地塌縮為 本徵值是 的本徵態 。這是量子力學裏,關於測量的一個很重要的特性。
根據不確定性原理,
- 。
類似地, 與 之間, 與 之間,也有同樣的特性。
自旋-軌道作用[编辑]
電子的總角動量必須包括電子的自旋。在一個真實的原子裏,因為電子環繞著原子核移動,會感受到磁場。電子的自旋與磁場產生作用 ,這現象稱為自旋-軌道作用。當將這現象納入計算,自旋與角動量不再是保守的,可以將此想像為電子的進動。為了維持保守性,必須取代量子數 、 與自旋的投影 ,而以量子數 , 來計算總角動量。精細結構[编辑]
在原子物理學裏,因為一階相對論性效應,與自旋-軌道耦合,而產生的原子譜線分裂,稱為精細結構。非相對論性,無自旋的電子產生的譜線稱為粗略結構。類氫原子的粗略結構只跟主量子數 有關。可是,更精確的模型,考慮到相對論效應與自旋-軌道效應,能夠分解能級的簡併,使譜線能更精細地分裂。相對於粗略結構,精細結構是一個 效應;其中, 是原子序數, 是精細結構常數。
在相對論量子力學裏,狄拉克方程式可以用來計算電子的波函數。用這方法,能階跟主量子數 、總量子數 有關[1][2],容許的能量為
- 。
參閱[编辑]
參考文獻[编辑]
- ^ French, A.P.. Introduction to Quantum Physics. en:W.W. Norton & Company. 1978: pp. 542.
- ^ 狄拉克方程式關於氫原子的解答
- Tipler, Paul & Ralph Llewellyn (2003). Modern Physics (4th ed.). New York: W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4345-0
- Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 1995: 131–200. ISBN 0-13-111892-7.
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