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diff population diff matter diff 相 all in 1 manifold
Berry相位及其几何性质
众所周知，我们开始了解并重视相位，其实还是从薛定谔方程开始的，在薛定谔方程我们可以很自然的求得物质波的一个相位，即动力学相位（时间对能量的积分）。
后来魏尔、伦敦以及克莱因的努力，使得人们发现其实电磁场也可以以最小耦合导数的形式纳入到薛定谔方程（我这里提到的薛定谔方程是包含狄拉克方程和克莱因-高登方程的广义形式），这也是后来的规范场的雏形。从那时候起，人们注意到电磁势可以像类似于动力学相一样对相位产生影响，那么这是不是人们以前所发现的那个动力学相呢？1959年，电磁势所导致的AB相使得人们相信情况远没有这么简单。
直到1984年，Berry相位的工作，终于使得人们相信，与动力学相位所不用，在自然界中还存在着一种新的相位——几何相位。
在这里我要发一下感慨，很多物理学的朋友很多时候把物理和数学给割裂开，认为物理思维不同于数学思维，但其实不然。数学的作用除了使得我们的物理表述严格之外，它还可以帮助我们抓住我们在物理思维中可能漏掉的东西。所以“数学是大自然的语言”这种说法我是完全赞同的，因为我接下来要说的东西，正与此相关。
考虑一个简单的自旋1/2的二态粒子系统，这个系统的态矢是一个二行的列矩阵，每一行都由一个复数表示，那么这个列矩阵是由四个未知的实数参量所决定。如果这个系统满足薛定谔方程，那么我们将很容易求出这个系统的动力学相位。
现在我们不考虑薛定谔方程，但考虑态矢归一化（即总几率为一），那么显然态矢的四个未知实参数变成了三个，有趣的是归一化的过程给出了一个三维的球面(动手一算即可看到这个球面方程)，为了简单起见，我们只考虑单位球面，那么我们只需要考虑一个二维球面即可。
有趣的情形出现了：态矢的归一化，直接导致态矢的希尔伯特空间是一个二维球面。
学习过黎曼几何的朋友可能都会明白一件事情，那就是“我们在球面上平行移动一个矢量，当矢量从南极先后沿经线和纬线再重新回到南极时，这个矢量的方向将发生偏转，这个偏转度与这个矢量走过的立体角大小有关”。
同样的情形就是，当我们将这个自旋1/2的二态粒子系统的态矢沿着二维球面移动一个回路时，它的方向也会发生改变，即移动一个回路之后，这个态矢会乘上一个模为一的复数因子，这个复数因子与态矢在球面上移动回路所张开的立体角大小有关。而这个复数因子就是我们所谈到的Berry相因子。
但是如果我们将这个球面撕破，那么就无所谓Berry相因子了。简单的说，即是，如果态矢是沿着平面移动那就无所谓Berry相位。Berry相位的出现，仅仅是一个内在的拓扑效应，即球面并不同胚于平面，只要我们去除掉球面的南北南极中的任何一点，那么Berry相位就不会出现。
在前面所谈到的AB相位就是一种Berry相位，AB相位出现的前提条件是，电子所经历的回路中存在着磁通量，当然电子本身并不需要去碰触磁通量。如果电子所经历的回路路径中不存在磁通量，那就无所谓AB相了。
换句话就是说，这种几何相位所不同于动力学相位的地方就是：它是完全依赖于路径的。对于开路径来说，我们可以做规范变换使得这个所谓的几何相位不存在，但是对于闭合路径，就远远不是那么的简单，只要路径不平庸，Berry相位就会显现。熟悉纤维丛的朋友可能已经意识到了这就是“主丛上的联络”。
正是因为当时物理学界没有人会去研究希尔伯特空间的独特的几何特性，使得Berry相位的发现一再被延迟，因为物理学家并不需要了解希尔伯特空间的整体特性，他们觉得那是数学家做的事情。然而历史的教训就是，这使得一个重大发现被延迟了60年之久，当然最后理解这个Berry相位与“主丛上联络”的关系的人是一位数理学家simon。
自从1984年之后，Berry相位一再被各类实验所证实，有趣的是自从20世纪20年代开始，试验中其实就一直在发现Berry相，只不过没有人明白，所以就一直放过了，直到1984年之后，以往的实验才被理解。
最后还需说一点的就是，Berry相位还可以诱导出陈-西门斯规范场，而在二维的情形，我们知道陈-西门斯规范场与超对称变换的作用一样（波利亚可夫的工作），可以使得玻色子转换为费米子。换句话就是说，Berry相位的存在很可能会使得超对称性成为可能，也许分数霍尔效应算是一个证据。
PS：还说一点闲话，Berry相位尽管被发现，但是其背后更深层次的意义还没有被物理学家所重视，而这些物理学家就包括Berry教授自己。呵呵。
需要注意的是，Berry相位的出现并不依赖于所谓的薛定谔方程，这是我举自旋1/2的二态粒子系统这个例子的原因所在。
换句话说，Berry相位是希尔伯特空间整体性的反应，与薛定谔方程无关。
这也是为什么被以往物理学家们所忽视的原因。
换句话说，Berry相位是希尔伯特空间整体性的反应，与薛定谔方程无关。
这也是为什么被以往物理学家们所忽视的原因。
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- 石家庄张志峰
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Planck11
我上楼猜你的根据是你说的【我们知道陈-西门斯规范场与超对称变换的作用一样（波利亚可夫的工作），可以使得玻色子转换为费米子。换句话就是说，Berry相位的存在很可能会使得超对称性成为可能，】
这种革命性，特别是说【可以使得玻色子转换为费米子】是不是把事情说大了。
你说【自从1984年之后，Berry相位一再被各类实验所证实，有趣的是自从20世纪20年代开始，试验中其实就一直在发现Berry相，只不过没有人明白，所以就一直放过了，直到1984年之后，以往的实验才被理解。】
能再细致的说一下吗？Berry相位的证实用什么效应说明。
这种革命性，特别是说【可以使得玻色子转换为费米子】是不是把事情说大了。
你说【自从1984年之后，Berry相位一再被各类实验所证实，有趣的是自从20世纪20年代开始，试验中其实就一直在发现Berry相，只不过没有人明白，所以就一直放过了，直到1984年之后，以往的实验才被理解。】
能再细致的说一下吗？Berry相位的证实用什么效应说明。
关于费米子和玻色子可以互相转化的工作，源于1977年关于分数统计的工作。
我们知道统计与自旋的关系，比如玻色子交换不改变波函数的符号，费米子交换会将波函数的符号改变-1。而1和-1可以用模为一的复数的连续取值联系起来（二维的情形可以从理论上实现它）。
换句话就是说，微观粒子的交换会使波函数改变一个模为一的复数因子。这就类似于一种规范变换，这种规范变换的作用就可以使得玻色子和费米子相互转换。而陈-西蒙斯规范场恰好就是这种规范场。只要规范变换使得这个复数因子的值发生改变还可以使得电子只带分数电荷。比如分数霍尔效应，准电子是非定域的，它的电荷值为1/3。
而以上所说的已经被1997年左右的实验证实，华人崔琦做的实验，他因此荣获1998年诺贝尔物理奖。
验证Berry相位的实验非常多，我所记得的就有吴咏时教授做的光纤实验，光子经过回路光纤之后，干涉斑位移出现变化。
您可以参考李华钟教授的《简单物理系统的整体性——Berry相位及其他》1998年出版，我现在手上没有这本书，很多实验也忘了。
您的这句话很有悟性。
在上面的推导中，我的结论实际上是：自旋+总几率=Berry相位。
我并没有借助所谓的薛定谔方程。
从这一点上来看，似乎Berry相位可以解释自旋的起源是有一些道理的。目前已经有相关的理论证明Berry相位可以把同位旋诱导为自旋。
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- 坂上中微子
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小吧主12
【很多物理学的朋友很多时候把物理和数学给割裂开】
没人是真的这么认为的，你不过是在给自己找一个“把物理完全当成数学”的理由，让你夸大数学的作用罢了。
外行指导内行的时候，人人都惯用一个手法，就是把对方擅长的领域竭力找理由纳入自己擅长的领域。
虽然一直想思考曾经说你是民科，我还小批评了他一下，但现在看来他是不无道理。
只不过大多数民科是逃避数学轻视数学这个极端，而你走的是另一个极端罢了。
从你的表述里，其实根本就不难理解物理学家们在很长一段时间内忽视它的原因——它在那段时间里，几乎只存在于数学中。而后来被重视的理由很简单——实验中出现了这个效应，所以这个问题才成为一个物理学的问题。
没人是真的这么认为的，你不过是在给自己找一个“把物理完全当成数学”的理由，让你夸大数学的作用罢了。
外行指导内行的时候，人人都惯用一个手法，就是把对方擅长的领域竭力找理由纳入自己擅长的领域。
虽然一直想思考曾经说你是民科，我还小批评了他一下，但现在看来他是不无道理。
只不过大多数民科是逃避数学轻视数学这个极端，而你走的是另一个极端罢了。
从你的表述里，其实根本就不难理解物理学家们在很长一段时间内忽视它的原因——它在那段时间里，几乎只存在于数学中。而后来被重视的理由很简单——实验中出现了这个效应，所以这个问题才成为一个物理学的问题。
这一点您倒是说错了，是Berry教授在1983年发现Berry相位之后，实验才逐渐的证明它的存在，但有意思的是，1984年之后人们在重新寻找以往的文献后，又发现其他很多人在以往的实验中其实也发现了Berry相位，但是却没有意识到这是什么东东，因此也就不了了之。直到Berry从理论上发现这个不可积的Berry相位之后，人们才开始设计不同的实验。
另外可以告诉您的是，Berry教授尽管已经发现了Berry相位，但是他到目前为止仍没有意识到这个发现背后所潜藏的重大意义。当然，这主要是因为他是一位物理学家而不是一位数学家。
Berry相位其实很早的时候就应该被发掘出来，但是有一个最大的原因就在于物理学家忽视数学，而数学家忽视量子力学，因此造成了Berry相位被搁置60年之久才被发现。
所以我的观点仍旧是，数学是内功，物理是招式，两者相辅相成。内外兼修，方能达到登峰造极。
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- 坂上中微子
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小吧主12
物理学研究的一个最基本原则是“一切从实验开始”，你如果不了解这个基本原则，就没有理由去指导物理学。
波函数的相位也并不是个新问题，从波动力学建立伊始就有。因为在A-B效应之类的实验之前，在数学上早就存在一个结论——波函数随便乘上一个相位因子exp(iδ)，是不影响可观测的几率的，所以这个问题其实一直困扰着物理学家，但就是因为一直没有实验支持，所以物理学家才把这个相位问题搁置了很久。后来由于A-B效应这样的实验结论相继出现，相位终于有了实验上的意义，才找到了物理上的依据，再进一步一般化就成了Berry相位。
波函数的相位也并不是个新问题，从波动力学建立伊始就有。因为在A-B效应之类的实验之前，在数学上早就存在一个结论——波函数随便乘上一个相位因子exp(iδ)，是不影响可观测的几率的，所以这个问题其实一直困扰着物理学家，但就是因为一直没有实验支持，所以物理学家才把这个相位问题搁置了很久。后来由于A-B效应这样的实验结论相继出现，相位终于有了实验上的意义，才找到了物理上的依据，再进一步一般化就成了Berry相位。
相位没有您说的那么简单，在您所说的那个保持几率为一的任何相位因子，被分为两类，“动力学相位因子”和“几何相位因子”。“动力学相位因子”自从薛定谔方程提出之后，就一直被实验所证实。但“几何相位因子”却一直被忽视，因为物理学家无法明白这个东西。
需要提醒您的是，AB相位提出的本意不是去证明所谓的相位，而是为了电磁场的完备性，即到底是电磁势描述电磁场完备，还是电磁场强描述电磁场完备。AB效应的实验，发现电子在不经受电磁力作用的情况下，仍旧会受到电磁场的影响，大大震撼了当时的物理学界。这意味着，电子在电磁场中还经受着非定域的作用。
即几何相位具有非定域的描述作用，而动力学相位一般是由定域作用所描述的。爱因斯坦曾经认为，场的作用都是定域的，AB相推翻了这个观点。这是这个实验的另一个初衷之一。
后来还出现了AC相位、AA相位等等。
1984年之后，Berry才指出AB相位是一种Berry相位，以支持他关于几何相位的关系。
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- 坂上中微子
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小吧主12
所以我敢说，你不过是一直把物理就当成数学罢了，甚至还看不起物理学家的数学功底。
数学上的结果，具有足够数学功底的人都能解出来。但作为物理学家的习惯就是这样，必须得到实验的支持才能说话，否则是不能乱说的。物理方程解出的结果，你敢说数学家比物理学家更能解读出其物理意义么？
历史上相对论性的波动方程存在负能解的事实，也是数学上的预言，一度无法得到合理的解释。后来被合理的解释了，才被物理学家承认。你以为Klein和Dirac他们是直接抛弃负能解于不顾，然后你就可以说这东西是数学家预言的？
数学上的结果，具有足够数学功底的人都能解出来。但作为物理学家的习惯就是这样，必须得到实验的支持才能说话，否则是不能乱说的。物理方程解出的结果，你敢说数学家比物理学家更能解读出其物理意义么？
历史上相对论性的波动方程存在负能解的事实，也是数学上的预言，一度无法得到合理的解释。后来被合理的解释了，才被物理学家承认。你以为Klein和Dirac他们是直接抛弃负能解于不顾，然后你就可以说这东西是数学家预言的？
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- 石家庄张志峰
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Planck11
由
1.“动力学相位因子”即包括物质波由定域作用所描述，或说对外在的物质相互作用有贡献。
2.“几何相位因子”，即基本粒子自旋内禀性表述量，属于非定域的作用范畴。
你能区别出“动力学相位因子”和“几何相位因子”的差别吗，能说说他们不同的物理图景吗？顺便也把内禀性解释一下。
电子不通过电磁力，而是电磁势发生相位变化，能说明这种作用属于非定域的作用吗，因为电磁势也应该是可观测的宏观物理量，请指教。
1.“动力学相位因子”即包括物质波由定域作用所描述，或说对外在的物质相互作用有贡献。
2.“几何相位因子”，即基本粒子自旋内禀性表述量，属于非定域的作用范畴。
你能区别出“动力学相位因子”和“几何相位因子”的差别吗，能说说他们不同的物理图景吗？顺便也把内禀性解释一下。
电子不通过电磁力，而是电磁势发生相位变化，能说明这种作用属于非定域的作用吗，因为电磁势也应该是可观测的宏观物理量，请指教。
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