web01 一个复合函数就是一个复合的映射 由映射的定义可知，图形的各种变换，如对称变换、平移交换、旋转变换、等积变换，以及三角函数图象的伸缩变换、振幅变换、相位变换等，都可以看成是‘点集”与“点集”之间的映射

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4．映射与整体方法

　　在中学数学中，另一个蕴含着整体思想的重要概念是映射．设A、B是两个非空集合，如果存在一个从A到B的关系f，使得A中的任何一个元素在集合B中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射，记作f∶A→B．
　　由映射的定义可知，在中学数学中所研究的函数，就是从数集到数集的一个映射；一个复合函数就是一个复合的映射．例如
y=2sinx+cosx
　　就是由映射f∶x→u=sinx+cosx
　　及映射g∶u→y=2u
　　组成的一个复合映射g°f∶x→y．
　　由映射的定义可知，中学数学中的数轴与平面坐标系，均是“点集”与“数集”之间的映射．如数轴上的点集与实数集构成一一映射，坐标平面内点集与有序实数对的集合构成一一映射．因此，解析几何的坐标法可以看成是一种特殊的映射．
　　由映射的定义可知，图形的各种变换，如对称变换、平移交换、旋转变换、等积变换，以及三角函数图象的伸缩变换、振幅变换、相位变换等，都可以看成是‘点集”与“点集”之间的映射．
　　由映射的定义还可以知道，一些几何图形所组成的点集，可以和有序数组之间建立一一映射．如平面内任意一条不平行于y轴的直线y=kx+b可以和二元数组(k，b)构成一一映射；任意一个圆〔其圆心为(a，b)，半径为r〕可以和三元数组(a，b，r)构成一一映射．
　　由上可知，初等数学中的许多内容，都可以在“映射”这个概念下得到统一的阐述，呈现出它的整体性．
　　例155个元素排成10排，第一排1个元素，第二排2个元素，第三排3个元素……第十排10个元素，问共有多少种不同排法？
　　本题的一般解法，是顺次逐排计算不同的排法，然后按乘法原理得到结果：
　　P551·P542·P533·…·P1010．
　　若从映射的角度进行整体处理，则解法要简捷得多：
　　解：对于所求的某一种排法，第一排不动，第二排保持顺序移到前排，尾接于第二排之右，第三排同样尾接于第二排之右……如此继续下去，这就成了55个元素的一种全排列．
　　这样，所求的每一种排列，都对应着55个元素的全排列中的一种；反之，55个元素的一种全排列，也对应着所求的一种排列如下图所示(设其代表元素为Ai，i=1，2，…，55)：


　　故所求的排列数为55！
　　本例通过所求排列与55个元素的全排列之间的一一映射，排除了分成10行的干扰，使问题变得单一而易于解决．
　　例2设A=｛1，3，5，7｝、B=｛8，9，10｝，则以A为定义域、以B为值域的不同函数的个数为：
　　 (A)6个
　　 (B)24个
　　 (C)36个
　　 (D)81个
　　本题若误以为从A中任取3个元素的方法有C34种，不同对应关系有P33种，所以共有C34·P33=24种，就会误选(B)．
　　事实上，函数也是一种映射，是从非空数集A到数集B的映射．根据目前中学数学关于函数的定义可知，A中的任一元素作为原象时，在B中必有惟一的象，且B中每一元素必有原象．由于A中的元素个数比B中多一个，势必有A中的某两个元素对应B中的一个元素．由于从A中的4个元素中任取2个的方法为C42种，且对于A中元素的每一组结合方案，从A到B的对应方法有P33种，所以不同函数的个数为
　　C24·P33=36(种)，∴应选(C)．
　　本例说明，从映射的角度去认识函数，可以从本质上更加全面地认识问题．防止因思想片面而酿成的差讹．
　　例3在△ABC中，已知B(－1，0)、C(1，0)，且｜AC｜、｜BC｜、｜AB｜成等差数列．
　　(1)求顶点A的轨迹R；
　　(2)若过点B的直线l与曲线R交于不同的两点P、Q，原点O

　　解：(1)由题意可知｜AC｜+｜AB｜=2｜BC｜，由B、C坐标可得：
　　｜BC｜=2，
　　∴｜AC｜+｜AB｜=4．
　　∵动点A到两定点B、C的距离之和为定值，∴A点轨迹为椭圆(但A、B、C三点要构成三角形，需排除三点共线的情况，故轨迹应除去椭圆长轴的两个端点)．


　　由2c=2，2a=4，可得
　　
　　∴所求轨迹为椭圆
　　
　　(2)∵直线l恒过点B(－1，0)，故设直线l的方程为y=k(x+1)．
　　与椭圆方程联立消去y得
　　(3+4k2)x2+8k2x+4k2－12=0．
　　设P、Q的横坐标为x1、x2，由韦达定理得
　　　
　　
　　　
　　又原点到l：kx－y+k=0的距离为d，
　　
　　　
　　　　
　　当直线l的斜率不存在时，l的方程为：x=－1，此时｜PQ｜=3，
　　
　　∴所求直线方程即为(*)．
　　在本例的第(1)问中，由于轨迹曲线是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两端点)，要求出轨迹曲线，关键是求出椭圆标
由于直线l，故问题的关键，在于求出符合条件的直线所对应的斜率k(如果k存在)．在上述两问中，都将形的问题通过直角坐标系，变成了点集与数组之间的一一映射，转化为数的求值问题．
　　例4若两个多面体的棱数相同，映射f将其中一个多面体的顶点数与面数分别转换成另一个多面体的面数与顶点数，则映射f就给出了一个新的多面体．以5种正多面体为例(用F表示面数，V表示顶点数，E表示棱数)：


　　在这种映射下，仅有的五种正多面体竟然都变成了它的“对偶多面体”，其中正四面体与它本身是对偶多面体．
　　从上述数例可知，由于映射及一一映射概念的建立，开辟了数学中不同分支、不同领域相互联系、相互沟通的渠道，这正是数学高度统一性的表现，是数学内在的和谐美的一种存在形式．
　　“映射”所反映出来的数学内容在整体上的联系，在解决数学问题中有着广泛的应用，这就是“关系、映射、反演方法”(RMI方法)．这种方法的要点是：若给定一个含有目标原象x的关系结构S，如果能找到一个映射ψ，将S映入另一关系结构系统S*，从S*中可通过确定的数学方法把目标x的映象x*=ψ(x)确定出来，进而通过ψ的逆变换ψ－1(反演)，就可以把x=ψ－1(x*)确定出来，这样，原来的问题就得到了解决．这一过程可用框图表示为：


　　例如，求若干个数的积或商时，先对其取对数(施行变换ψ)，将乘除运算转化为对数的加减运算，在计算出对数值后再取其反对数(施行变换ψ－1)，求得相应的真数值，即为所求之结果．
　　例5若a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0，求征a＞0，b＞0，c＞0．
　　分析：本题若限于证明不等式的技巧，则相当复杂．若将a、b、c视为一元三次方程的三个根，运用RMI方法，则较为简便．
　　设a+b+c=p，ab+bc+ca=q，abc=r；
　　设f(x)=x3－px2+qx－r．
　　若x1＜0，∵p、q、r均为正数，∴f(x1)＜0；
　　若x2=0，则f(x2)=－r＜0；
　　∴x1、x2都不可能是f(x)=0的根．
　　∴f(x)=0的三个根必均为正数，由韦达定理之逆定理可知，a、b、c为方程
　　x3－px2+qx－r=0的三个根·
　　即a＞0，b＞0，c＞0．
　　上述过程用框图表示即：


　　例6方程arctgx+arcctgy=π所表示的曲线为


　　分析：本题可直接用三角方法求解，但考虑到它是以图象判别为主的选择题，故也可以用如下方法求解：
　　设复数1＋xi与y＋i的辐角之一分别为arctgx、arcctgy．
　　由于两个复数积的辐角等于两个复数的辐角之和，且arctgx+arcctgy=π，
　　又(1+xi)(y＋i)＝(y－x)+(1+xy)i，①
　　∴表示复数(y－x)(1+xy)i的点，必在实轴上原点的左侧．即
　　
　　∴为双曲线xy＝－1在第四象限的一支，应进(D).
　　上述过程可用框图表示如下：


　　例7求证：从世界各地任意找出的6个人中，一定可以找到3个人，他们或者彼此都认识，或者彼此都不认识(假设认识是相互的，即若A认识B，则B也认识A).


　　分析：为便于说明起见，将6个人看成是八面体的6个顶点，则问题相当于把八面体的各条棱与对角线任意涂上红色(代表认识)或蓝色(代表不认识)，那么一定可以找到由同一颜色的棱或对角线所构成的三角形．
　　为此，考虑从同一点发出的5条线段，因为仅有两种颜色，根据抽屉原则，必有3条线段是同色，例如同为红色，连接这三条线段的另外3个端点，得到一个三角形，若这三角形的三边同为蓝色，则命题已成立；若这个三角形有一边为红色，则与上述三条红色线段中的两条必组成红色三角形，故命题得证．
　　上述证明过程用框图表示即：


　　例8已知方程x＋y＋z＝16，其中x、y、z∈N，求此方程解的个数
　　分析：由于x、y、z都是整数，且它们的和为16，故可以取16个红球排成一排，另取2个白球作为“分隔板”(代表“＋”号)插入16个红球的15个间隔中，这样就把红球分为3组(每组至少1个红球)，将每组中红球的个数依次作为对应的x、y、z的值，就得到这个不定方程的组解，例如
　　···°········°·····
　　对应的一组解为x＝3，y＝8，z＝5．
　　由于白球的插空方法共有C152=105种，故原方程正整数解的个数为105组
　　本题如果用RMI的框图表示即


　　有时，需要连续运用几次映射，才能解决一个数学问题．
　　例9已知方程x＋y＋z＝16，其中x、y、z为非负整数，求此方程解的个数．
　　分析：要将这一转化为求方程正整数解的个数问题，需要增加一个映射：
　　令x′＝x＋1，y′= y＋1，z′= z＋1，原方程变为
　　x′＋y′＋z′=19， ①
　　其中x′、y′、z′∈N．
　　则原方程非负整数解的个数与方程①的正整数解的个数相同仿照上例，方程①的正整数解的个数为C182=143，∴原方程非负整数解的个数为143个．
　　上述过程可以用框图表示如下(见下页)：

　　映射是一个在中学数学中涉猎甚广的概念，特别是RMI方法更开辟了数学知识相互联系、相互为用的新渠道．在运用这一方法时，关键在于选择恰当的映射，这就必须胸怀全局，对原来关系结构S中的原象经过映射后在映象关系结构系统S＊中所产生的“目标映象”及其反演变换(－1)后的情况，有通盘的考虑，这就是从整体出发；对于RMI方法中的每一步骤，特别是在映象关系结构系统中，求出“目标映象”x＊的过程，就是局部处理的过程；通过反演变换得到目标原象，从而使原来的问题得到解决，又以整体为归宿．所以，在这一过程中，“整体—部分—整体”的思想方法，是贯穿于其中的．

 
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