cklund变换，这一变换包含了变形KdV方程的一个解映射到另一个解的自B？ cklund变换。的英文，cklund变换，这一变换包含 ...

初值問題[编辑]

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在數學裏，一個初值問題是一個涉及微分方程式與一些初始條件的問題；這初始條件是微分方程式的未知函數在某些點的設定值。以下就是一個初值問題的例子：
,

目录

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• 1 定義
• 2 解的存在性及唯一性
• 3 範例
• 4 參閱
• 5 參考資料

定義[编辑]

一個初值問題涉及微分方程式

，

與在 的定義域內的一點

。

這在 的定義域內的點 稱為初始條件。

• 假若初值問題的一個解是函數 ，則 是微分方程式 的解，滿足 。

• 對於更高階的問題，可視 為向量。每加高一個階，就増添一個分量給 。

解的存在性及唯一性[编辑]

對於許多的初值問題，解的存在性及唯一性可以用計算機來描述。
若ƒ在一個包括t₀及y₀的區間內連續，且對變數y滿足利普希茨連續的條件．則皮卡-林德勒夫定理可保證在一個包括t₀的區間有唯一解。
此定理的證明需將問題變成等價的積分方程，積分可視為將一個函數映射為另一個函數的運算子，因此其解為運算子的不動點，再利用巴拿赫不动点定理證明有一個唯一的不動點．即為初值問題的解。
較早期證明皮卡-林德勒夫定理的方式是建構一個函數的數列，最終會收斂到積分方程的解，也就是初值問題的解。這種建構法稱為「皮卡法」或是「連續近似法」，是巴拿赫不动点定理的一個特例。
日本數學家岡村博（日语：岡村博）找到一個初值問題有唯一解的充分必要條件，其條件是要證實系統的李亞普諾夫函數存在^[1]。
有些情形，函數ƒ不是光滑函数，甚至不是利普希茨連續，因此一般可確認局部唯一解的方式無法適用。皮亚诺存在性定理可以在函數ƒ僅僅為連續函數的情形，證明存在局部解。不過此時無法證明解的唯一性^[2][3]。卡拉特歐多存在性定理（英语：Carathéodory existence theorem）可適用的範圍更廣，可以在ƒ是一些特定不連續函數的情形下證明局部解是否存在。