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、
、
。
；
是電壓（也可以標記為 
，方程式表示為 
）， 是電流，比例常數 是電阻。虽然导电体是由导电物质组成，导电体也具有微小的电阻。對於任意导电体、電阻器、電路元件、電路等等，電阻的定義方程式為[1]
。
歐姆定律是因德國物理學家格奧爾格·歐姆命名。於1827年，在他發表的一本通論《直流電路的數學研究》（The galvanic Circuit investigated mathematically）裏[2]，他詳細的論述簡單電路兩端的電壓與流動於電路的電流之間的關係。他所論述的關係比較複雜，稍後會有更詳細說明。上述方程式乃是歐姆定律的現代版本。
對於電阻物質或導電物質，歐姆定律可以推廣為
、
；
是電場，
是物質的電流密度，
是物質的電阻率，
是物質的電導率。遵守歐姆定律的物質，稱為「歐姆物質」，其電阻率
和電導率 
與電流密度、電場無關[1]。目录[隐藏] |
[编辑] 歷史
早於1753年，義大利物理學家喬凡尼·貝卡立亞（Giovanni Beccaria）就在研究物質的導電性質。他在電路裏加裝了盛滿了水的玻璃管。當開啟電路後，發現玻璃管的截面面積越大，電流的放電強度越大[3]。亨利·卡文迪什也做了很多實驗，研究電動勢、電流、電阻之間的關係。他使用萊頓瓶為電流源，將電流通過在各種尺寸的玻璃試管裏盛裝的鹽溶液，靠著調整鹽溶液的高度，他可以控制放電強度。卡文迪什把自己身體當作一台生理檢流計，從親身體驗被電擊後的感覺，來估計電流的放電強度。他又選擇出一個裝滿鹽溶液的玻璃試管為標準，然後比較標準放電與試樣放電，按照放電強度的大小來估計它們的電阻。這樣，他可以定量地描述每一種試樣。於1781年1月，他記錄在筆記裏， 電流與電動勢成正比。但是，他並沒有將這些珍貴的實驗結果告訴任何科學家。一直到馬克士威於1879年替他編輯注釋為著作《卡文迪什的電學研究》（The electrical researches of the Honourable Henry Cavendish）後，才見諸世面[4][5]。注意到卡文迪什使用的儀器相當原始粗陋，靠身體感覺很難做出精準的測量，萊頓瓶並不是穩定電流源。所以，學術界認為這耽擱了近百年的實驗結果並不足以證實歐姆定律。
從1825年到1826年之間，歐姆做了很多關於電阻的實驗。於1827年，他將得到的結果一同發表在著作《直流電路的數學研究》（The galvanic Circuit investigated mathematically）裏[6]。他從傅立葉對於熱傳導的研究得到了相當多的靈感，借用了很多傅立葉的點子來論述自己的結果。
歐姆是一位優秀的實驗者，很會設計與製造實驗設備，又具有精湛的數學修養與嚴謹的敬業態度。剛開始，他使用伏打電堆為電源，用安裝於扭秤（torsion balance）的磁針來測量電流的磁場力。載流導線的電流所產生的磁場與電流成正比，只要測量在載流導線附近的磁針所感受到的磁場力，就可以知道電流。他將電流通過不同長度的檢驗電線；由於長度不同，電阻也不同。歐姆仔細分析實驗結果，得到經驗方程式[7] [8]
；
是檢驗電線造成的電流差值，
是相依於實驗參數的係數，
是檢驗電線的長度，
是與固定長度的載流導線有關的常數。
；
是扭秤讀值， 是相依於電動勢的常數，
是相依於內部電阻的常數， 是檢驗電線的長度。仔細詮釋這些變量，將
、 、 、 分別詮釋為電流 、電壓 、內部電阻 
、檢驗電阻 
，那麼，假定總電阻 為 
則經驗方程式變為歐姆定律的現代方程式版本：
。
1839年，法國物理學家，克勞德·普雷特（Claude Pouillet）確定歐姆的實驗結果。同時，歐姆成為柏林科學院的院士。在英國，查爾斯·惠斯通（Charles Wheatstone）又重新核對了歐姆的實驗結果。1841年，歐姆被選為皇家學會的外籍會員。1852年，歐姆榮膺為慕尼黑大學的物理學系主任。
於1920年，物理學家發現，通過理想電阻器的電流會出現統計漲落，雖然當電壓和電阻為常數時，統計漲落會相依於溫度。這種漲落稱為詹森-奈奎斯特噪音（Johnson–Nyquist noise），是因為電荷的離散秉性而產生的現像。這熱效應意味著，假若取樣的時間間隔足夠短暫，電流或電壓的測值，其比例跟時間平均比例或系綜平均（ensemble average）比例相比較，會出現漲落；也就是說，每一個電阻
的取樣值，跟 的時間平均或系綜平均相比較，會出現漲落。對於普通電阻物質案例，經過平均程序後，歐姆定律仍舊正確無誤。歐姆對於電阻的研究在馬克士威方程組出現之前很久，那時科學家對於交流電路的頻率相依效應也不了解。但是，在適當範圍內，現代電磁理論與現代電路理論並沒有發現任何與歐姆定律相悖之處。
[编辑] 水力學類比
歐姆定率可以用水力學類比（hydraulic analogy）來描述。測量單位為帕斯卡的水壓，可以類比為電壓。在一根水管裏，由於任意兩點之間的水壓差會造成水流，水的流速（單位是公升每秒），可以類比為電流（單位是庫侖每秒）。「流量限制器」是安裝於水管與水管之間控制流量的閥門，可以類比為電阻器。通過流量限制器的水流流量，跟流量限制器兩端的水壓成正比，類似地，通過電阻器的電荷流量（電流），跟電阻器兩端的電壓成正比。這正是歐姆定律的論述。流體流動網路的流量和流壓可以用水力學類比方法來計算[12][13]。這方法可以應用於穩定流和暫態流（transient flow）。對於線性層流，泊肅葉定律（Poiseuille's law）描述水管的水阻，但是對於湍流，流壓-流量關係變為非線性。
[编辑] 熱力學類比
，
；
是熱通量（heat flux），
是導熱體的熱導率，
是溫度。思考參數為溫度、熱導率與熱通量的熱傳導問體，和參數為電壓、電導率與電流密度的電傳導問體。這兩個問題相互等價。假若能夠解析一個熱傳導問體，則也能夠解析電傳導問題；反之亦然。
[编辑] 電路分析
在電路學裏，電阻器（歐姆電阻器）是一種電路元件，其電阻與電壓、電流無關。電阻器可以按照歐姆定律阻抗電荷的通過。每一個電阻器都有其設計製成的電阻 。更嚴格地說，電阻器是在某操作域內遵守歐姆定律的電路元件；歐姆定律和唯一電阻值足夠描述這元件在相關操作域的行為。[编辑] 串聯電阻電路
；
是第 
個電阻，
是總電阻。假設在電路兩端的電壓為
，則通過的电流為 
。假設每一個電阻器都遵守歐姆定律，則這電路是電阻為 的歐姆電路。[编辑] 並聯電阻電路
。
，則通過的电流為 。假設每一個電阻器都遵守歐姆定律，則這電路是電阻為 的歐姆電路。[编辑] 週期性激發
電容器、電感器、傳輸線等等，都是電路的電抗元件。假設施加週期性電壓或週期性電流於含有電抗元件的電路，則電壓與電流之間的關係式變成微分方程式。因為歐姆定律的方程式只涉及實值的電阻，不涉及可能含有電容或電感的複值阻抗，所以，前面闡述的歐姆定律不能直接應用於這狀況。最基本的週期性激發，像正弦激發或餘弦激發，都可以用指數函數來表達：
、
；
是虛數單位，
是實值角頻率，
是時間。假設週期性激發為單頻率正弦激發，其角頻率為
。電阻為 的電阻器，其阻抗 
為
。
的電感器，其阻抗為
。
的電容器，其阻抗為
。
與電流 
的關係式為
。
替代電阻 ，就可以得到這歐姆定律方程式的推廣。只有 的實值部分會造成熱能的耗散。對於這系統，電流和電壓的複值波形式分別為
、
。
、
分別描述這電路的真實正弦電流和正弦電壓。由於 
、
都是不同的複值純量，電流和電壓的相位可能會不一樣。週期性激發可以傅立葉分解為不同角頻率的正弦函數激發。對於每一個角頻率的正弦函數激發，可以使用上述方法來計算響應。然後，將所有響應總和起來，就可以得到解答。
[编辑] 線性近似
但是，有些電路元件不遵守歐姆定律，它們的電壓與電流之間的關係（V-I線）乃非線性關係。PN接面二極體是一個顯明範例。如右圖所示，隨著二極體兩端電壓的遞增，電流並沒有線性遞增。給定外電壓，可以用V-I線來估計電流，而不能用歐姆定律來計算電流，因為電阻會因為電壓的不同而改變。另外，只有當外電壓為正值時，電流才會顯著地遞增；當施加的電壓為負值時，電流等於零。對於這類元件，V-I線的斜率
，稱為「小信號電阻」（small-signal resistance）、「增量電阻」（incremental resistance）或「動態電阻」（dynamic resistance），定義為
，
[编辑] 溫度效應
詹姆斯·馬克士威詮釋歐姆定律為，處於某狀態的導電體，其電動勢與產生的電流成正比。因此，電動勢與電流的比例，即電阻，不會隨著電流而改變。在這裡，電動勢就是導電體兩端的電壓。參考這句引述的上下文，修飾語「處於某狀態」，詮釋為處於常溫狀態，這是因為物質的電阻率通常相依於溫度。根據焦耳定律，導電體的焦耳加熱（Joule heating）與電流有關，當傳導電流於導電體時，導電體的溫度會改變。電阻對於溫度的相依性，使得在典型實驗裏，電阻相依於電流，從而很不容易直接核對這形式的歐姆定律。於1876年，馬克士威與同事，共同設計出幾種測試歐姆定律的實驗方法，能夠特別凸顯出導電體對於加熱效應的響應[17]。[编辑] 其它版本的歐姆定律
在電機工程學和電子工程學裏，歐姆定律妙用無窮，因為它能夠在巨觀層次表達電壓與電流之間的關係，即電路元件兩端的電壓與通過的電流之間的關係。在物理學裏，對於物質的微觀層次電性質研究，會使用到的歐姆定律，以向量方程式表達為- 、
- 。
；
是電壓，
是機械功，
是電荷量，
是微小線元素。假設，沿著積分路徑，電流密度
為均勻電流密度，並且平行於微小線元素：
；
是積分路徑的單位向量。那麼，可以得到電壓：
；
是積分路徑的徑長。假設導體具有均勻的電阻率，則通過導體的電流密度也是均勻的：
；
是導體的截面面積。電壓
簡寫為 。電壓與電流成正比：
。
。
，則 
；將單位電荷從點g移動到點h，電場力需要作的機械功 
。所以，點g的電勢比點h的電勢高，從點g到點h的電勢差為 
。從點g到點h，電壓降是 ；從點h到點g，電壓升是 。給予一個具有完美晶格的晶體，移動於這晶體的電子，其運動等價於移動於自由空間的具有有效質量（effective mass）的電子的運動。所以，假設熱運動足夠微小，週期性結構沒有偏差，則這晶體的電阻等於零。但是，真實晶體並不完美，時常會出現晶體缺陷（crystallographic defect），有些晶格點的原子可能不存在，可能會被雜質侵佔。這樣，晶格的週期性會被擾動，因而電子會發生散射。另外，假設溫度大於絕對溫度，則處於晶格點的原子會發生熱震動，會有熱震動的粒子，即聲子，移動於晶體。溫度越高，聲子越多。聲子會與電子發生碰撞，這過程稱為晶格散射（lattice scattering）。主要由於上述兩種散射，自由電子的流動會被阻礙，晶體因此具有有限電阻[19] 。
凝聚態物理學研究物質的性質，特別是其電子結構。在凝聚態物理學裏，歐姆定律更複雜、更廣義的方程式非常重要，屬於本構方程式（constitutive equation）與運輸係數理論（theory of transport coefficients）的範圍。
[编辑] 經典微觀表述
在德鲁德模型裏，自由電子會不停地移動碰撞於固定不動、組成整個金屬導電體晶格的正價離子之間。金屬裏的每一個自由電子，感受到電場力的作用，會呈加速運動。但是每當自由電子與晶格發生碰撞，其動能會遭受損失，以熱能的形式將能量釋放給離子，所以，電子的平均移動速度是漂移速度，其漂移速度的方向與電場方向相反。
電子感受到的平均電場力
為
；
是平均電場，
是單位電荷量。德鲁德計算出漂移速度
為
；
是平均自由時間（mean free time），是碰撞之間的平均時間間隔， 是電子的質量。在金屬裏，電荷載子為電子，所以電流密度與漂移速度的關係為
；
是電子密度。假設電場是均勻電場，
，設定電阻率為
，
- 。
超小於熱速率 
，
，
是波茲曼常數， 是溫度。因此，平均自由時間與熱速率有關，與漂移速率無關，所以平均自由時間也與電流密度、電場無關。質量、電子密度、單位電荷，都與電流密度、電場無關。總結，電阻率與電流密度、電場無關。
[编辑] 磁效應
前面得到的答案只成立於導電體的參考系。在經典電磁學裏，假設處於磁場
的導電體，以相對速度 
移動於磁場的參考系 
，則電子感受到的平均勞侖茲力 為
；
為
；
。
。
