Monday, August 3, 2015

einstein 要使人们从坐标必须具有直接度规意义这一观念中解放出来，可不是那幺容易的。”所谓坐标必须具有直接度规意义，指的是坐标差等于可量度的长度或时间。这是奠基在欧氏几何基础上的物理学从古以来的传统观念。为此，爱因斯坦在1912年建立起“柔性度规”的概念，并明确了这种“柔性度规”是依赖于引力场的

引力論: - Page 314 - Google Books Result

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1997 - ‎Astrophysics

(在 pO 的局域 Lorentz 系中,此式中第一項和後兩項應分別為零郎物理學要求它們為零。)由 Vg 二 0 可導出抽象的鏈式規則用度規表示 ra 打 Vu(v'w) = (Vuv) ? w + v ?

洛伦兹度规 - 词典网

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洛伦兹度规的英语意思：【化】 Lorentz metric，洛伦兹度规中英例句，汉英词典。

物理学史: - Page 229 - Google Books Result

https://books.google.com/books?isbn=7302011877 - Translate this page

郭奕玲, ‎沈慧君 - 1993 - ‎Physics

正如他在《自述》中说的: "其主要原因在于:要使人们从坐标必须具有直接度规意义这一观念中解放出来,可不是那么 ... 度规,也就是要把洛仑兹变换推广为非线性变换。

[PDF]惯性力与加速系的物理学

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(ISSN 1553-992X). 关键词：洛伦兹坐标系；曲线坐标；洛伦兹变换；加速系；惯性力；爱因斯坦 ... 曲线坐标的“逆变度规张量”gλμ由方程组gλμgμν = δλ ν定义，对于常用的 ...

为什么最小作用原理量如此重要？

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3 个回答

李瞬生，上知乎答题是因为没人和我说话

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谢宜龙、Coulson Raymond、心灵牧童等人赞同

假设最小作用原理是对的那么
时间的对称（homogeneity of time）的假设等价于能量守恒
空间的对称（homogeneity of space）的假设等价于动量守恒
轴对称（isotropy of space）的假设等价角动量守恒
于是乎力学的所有结论都变成了时间与空间的几何性质的推论
尤其是物理上的守恒量都可以看作是空间的对称性

这有点像数学中的公理化
在欧式空间中引入以上假设我们可以推导出牛顿力学的所有内容
即使有一天我们发现现实世界不符合欧式几何牛顿力学有误关于对称性的假设还可以接着用

用数学的说法就是牛顿三定律适用于欧式几何的空间
最小作用原理适用于更广义的空间（流形）

- - - - - 2015-03-02 补充关于其它流形上对称的例子 - - - - - - - -

如果我们抛开欧式几何假设以及空间是平直的假设
即我们的世界是一个有度规的 n维流形 $(M,g_{ab})$
那么在这个流形上最多存在 n(n+1)/2 个对称且这些对称由 Killing 方程给出
$L_{V}g_{ab}=V_{b;a}+V_{a;b}=0$

例如在狭义相对论中的 4维时空 Killing方程共有n(n+1)/2=10 个解
其中 4 个解是时间对称和 3个方向上的空间对称
3 个是关于三个空间轴的旋转对称
3 个是不同空间方向的洛仑兹变换（双曲旋转对称）
根据最小作用原理每一个对称都对应一个守恒的物理量

在欧式几何中最小作用原理指出质量守恒
但在更广义的流形上（如上述四维时空）最小作用原理指出不要求质量守恒

编辑于 2015-03-03 添加评论感谢分享收藏 • 没有帮助 • • 作者保留权利

马晨，理论物理小学生/口琴小学生/星际2小学生/…

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森林、Coulson Raymond 赞同

最小作用量原理的重要性，至少要到拉格朗日力学框架才能够得到初步体现。

牛顿力学是自洽的体系，不需要凭空制造一条原理。但是这个体系在应用方面并不十分方便，其一是受力分析没有普适的方法，基本上就要具体问题具体分析，尤其是“约束反力”，也就是底面支持力之类的东西，其大小依赖运动状态，不能事先知道；另一个很重要的原因是牛顿力学涉及二阶导数的微分方程： $F(x)=m\frac{d^2x}{dt^2}$ ，这是一个数学上不那么好处理的对象。
于是，人们经过尝试，用最小作用量原理构建了拉格朗日力学，解决了约束反力的问题，同时也使得分析方法更加条理化，更加数学化，解决了许多问题。后来，力学进一步发展，人们找到了哈密顿力学，成功地找到了描述运动的一阶方程（组），使得力学可解决的问题又一次增加。
同时，最小作用量原理还与量子力学的路径积分表述息息相关，所以是非常重要的原理。

以上

发布于 2015-02-24 添加评论感谢分享收藏 • 没有帮助 • • 作者保留权利

蓝胖子要减肥，事了拂衣去，深藏身与名

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为什么如此重要我不好说，到底有多重要呢？我觉得下面这句话或许可以表达一下

传言Feynman上高中时听到老师讲最小作用量原理的时候被深深震撼了，好像是窥见了上帝设计世界的图纸。

Sunday, August 2, 2015

波函数其实是物理量共有的函数能量算符作用到波函数上如果得到的是某常数乘以波函数，那么这能量有确定值，同样动量、位置等等都如此，但如果得到的不是常数乘以波函数那就没有确定值，而是另一函数; 电子位置的算符就是位置本身，它作用到波函数上得到的依然是电子位置（变量）波函数，也就是电子的位置是变化的，那么只能求它的平均位置。我们知道平均位置就是积分（波函数共轭函数位置算符波函数d位置微分）。由此可知波函数共轭函数*波函数是当前位置的概率

【求助】波函数有什么物理意义？

作者: xiliangcao (站内联系TA) 发布: 2010-03-27

波函数图像是不是不可以理解为事电子的运动轨迹。它是不是只是一种数学工具，没有明确的物理意义啊？
请明白人指点，谢谢。

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yalefield (站内联系TA)

波函数不是电子运动的轨迹。
波函数是电子运动的状态，更进一步来说，波函数就是电子。

xiliangcao (站内联系TA)

Originally posted by yalefield at 2010-03-27 12:24:45:
波函数不是电子运动的轨迹。
波函数是电子运动的状态，更进一步来说，波函数就是电子。

老兄，说的再直白一些吧，让小孩子都能听得懂，

zhou2009 (站内联系TA)

波函数的物理意义：
波函数是电子作为波的运动的状态。
这波，就是一种客观的物理的存在，它的物理意义就是电子以波的形式存在、运动，波函数则是在描叙这种存在的状态，所以波函数的物理意义就是波。

quantumor (站内联系TA)

楼主显然为量子力学的陌路人，似乎完全不明就里——怪只怪现代人太急功近利，天天搞什么“应用”，几乎不知道什么是理论了。太可悲了。

fooo (站内联系TA)

必须明确，微观粒子没有确定的运动轨迹，必须用量子力学来描述。波函数没有明确的物理意义，一般笼统地说波函数表示的是微观体系的运动状态。如果非要问波函数的物理意义，那就是波恩提出的统计解释，即波函数的模的平方正比于概率密度。
这些在结构化学上都是最基础的内容，作为做量化计算的人，应该知道这些。

Originally posted by xiliangcao at 2010-03-27 11:07:05:
波函数图像是不是不可以理解为事电子的运动轨迹。它是不是只是一种数学工具，没有明确的物理意义啊？
请明白人指点，谢谢。

mgtswtzc (站内联系TA)

根据哥本哈根学派的解释，波函数的复平方代表几率密度，而几率密度是一个物理量，因此它的平方根——即波函数本身就没有明确的物理意义，因此波函数可以为虚数（因为它不是物理量，不需要测量，当然可以以虚数的形式存在）。打个比较简单的比方，动量是一个物理量，可以测量，那动量的二分之一次方是什么？不知道，也没必要知道，这跟偶上面的解释是一致的。
可是波函数在有一种情况下有明确的物理意义，那就是当大量粒子共同处于一个状态的时候，波函数与粒子数目成正比。比如说大量光子可以同处于一个状态，这时候波函数就与该状态下的光子数目成正比。当然光子比较特殊，对于其他粒子，由于有泡利不相容的约束，不可能两个相同粒子处于同一状态。不过近些年发现的超导态，人们观察到electron pair的现象，认为这也是一种大量粒子处于相同状态的现象，其实phonto跟electron pair都是Boson
希望能帮到你

lfp2010 (站内联系TA)

Originally posted by mgtswtzc at 2010-03-27 17:16:30:
根据哥本哈根学派的解释，波函数的复平方代表几率密度，而几率密度是一个物理量，因此它的平方根——即波函数本身就没有明确的物理意义，因此波函数可以为虚数（因为它不是物理量，不需要测量，当然可以以虚数的形 ...

是个专家

fooo (站内联系TA)

其实学化学的人大可以不深究此事，因为哥本哈根学派虽然是正统的解释，但却不是唯一的解释，况且这一解释还受到爱因斯坦等众多科学家的质疑。总之，量子力学中的某些问题是现在的物理学家也说不清楚的，甚至可以提升到哲学的层次。
至于化学，就简单多了，好用就行。所以我们对波函数的理解不必像物理学家那样，拿过来用就行了。

yalefield (站内联系TA)

Originally posted by fooo at 2010-03-28 04:53:09:
其实学化学的人大可以不深究此事，因为哥本哈根学派虽然是正统的解释，但却不是唯一的解释，况且这一解释还受到爱因斯坦等众多科学家的质疑。总之，量子力学中的某些问题是现在的物理学家也说不清楚的，甚至可以提 ...

对于研究化学分子的反应和相互作用来说，能够表达电子的为数不多的有效方式，就是波函数。所以，完全就可以说，电子就是波函数，或者反过来，波函数就是电子。
这就如同一位遗腹子，父亲就是一张相片，相片就是父亲。

fooo (站内联系TA)

错！电子不是波函数，波函数也不是电子，二者绝不能混淆。从化学角度讲，波函数就是轨道而非电子，空间波函数就是空间轨道，通常说的一个轨道上可填充2个电子指的就是空间轨道或空间波函数。
无论电子是否填充，轨道或波函数都是存在的，比如基态H原子有1s,2s,3s,...等，但它只有1s电子。

Originally posted by yalefield at 2010-03-28 07:49:06:
对于研究化学分子的反应和相互作用来说，能够表达电子的为数不多的有效方式，就是波函数。所以，完全就可以说，电子就是波函数，或者反过来，波函数就是电子。
这就如同一位遗腹子，父亲就是一张相片，相片 ...

libiaopers (站内联系TA)

好高深，头发毛了

liudaohan (站内联系TA)

楼上的说的都不对，波函数其实是物理量共有的函数。
例如能量算符作用到波函数上如果得到的是某常数乘以波函数，那么这能量有确定值，同样动量、位置等等都如此，但如果得到的不是常数乘以波函数那就没有确定值，而是另一函数。
电子位置的算符就是位置本身，它作用到波函数上得到的依然是电子位置（变量）*波函数，也就是电子的位置是变化的，那么只能求它的平均位置。我们知道平均位置就是积分（波函数共轭函数*位置算符波函数d位置微分）。由此可知波函数共轭函数*波函数是当前位置的概率。我们不能说波函数的平方是位置的概率，那是一种简称，严格的是共轭函数*波函数，事实上对于其他物理量同样有某种数值下它的概率，等于共轭波函数*波函数。我们知道对此积分等于1，所以如果物理量算符作用到波函数上得到的是常数*波函数，那么积分后就等于此常数，也就是物理量不变。
对此，我们可以说波函数*共轭波函数是物理量在某一确定状态下的概率密度。那么波函数本身又是什么呢？
它其实是将1分成若干分，此若干分为直径做圆，它代表此圆上某一点。
哇哈哈，后面这句话是疯话。但也许你们能得到点启示。

gaowei701 (站内联系TA)

在量子力学中，波函数的与其共轭复数的乘积的就是表示粒子在空间出现的概率。。。

fooo (站内联系TA)

多交流

truewz (站内联系TA)

个人认为：波函数是概率函数，即电子在空间位置出现的概率

fooo (站内联系TA)

不是，“波函数*共轭波函数”表示的才是概率密度。

Originally posted by truewz at 2010-04-15 14:32:46:
个人认为：波函数是概率函数，即电子在空间位置出现的概率

zzy870720z (站内联系TA)

波函数本身没有实际物理意义，只有波函数模的平方才有物理意义，那就是Born的概率诠释：电子波函数模的平方是电子在空间某处出现的几率。

zhaoxh04 (站内联系TA)

这个嘛随便找个量子力学书都会有的

swan5250 (站内联系TA)

波函数是个复函数,即波函数里既有实数部分又有虚数部分,且各部分都可根据欧拉公式写成正余弦函数形式.但这两部分合起来就不再是简单正余弦了.它本身并无实际意义但它平方后得到的新函数可表示粒子在空间各点出现的概率密度（但其图相并不表示粒子轨道）

定态Schrödinger方程算符作用于波函数 = 常数乘以这波函数. 的方程称为该算符的本征方程，常数称为本征值，方程的解称为(该算符的属于该本征值的)本征函数

[DOC]第二章Schrödinger方程和一维运动问题

wlsyzx.yzu.edu.cn/kcwz/lzlx/ziliao/jiangyi/第二章-1.DOC
轉為繁體網頁

算符作用于波函数 = 常数乘以这波函数. 的方程称为该算符的本征方程，常数称为本征值，方程的解称为(该算符的属于该本征值的)本征函数。所以定态Schrödinger ...

【求助】波函数有什么物理意义？

作者: xiliangcao (站内联系TA) 发布: 2010-03-27

波函数图像是不是不可以理解为事电子的运动轨迹。它是不是只是一种数学工具，没有明确的物理意义啊？
请明白人指点，谢谢。

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yalefield (站内联系TA)

波函数不是电子运动的轨迹。
波函数是电子运动的状态，更进一步来说，波函数就是电子。

xiliangcao (站内联系TA)

Originally posted by yalefield at 2010-03-27 12:24:45:
波函数不是电子运动的轨迹。
波函数是电子运动的状态，更进一步来说，波函数就是电子。

老兄，说的再直白一些吧，让小孩子都能听得懂，

zhou2009 (站内联系TA)

quantumor (站内联系TA)

楼主显然为量子力学的陌路人，似乎完全不明就里——怪只怪现代人太急功近利，天天搞什么“应用”，几乎不知道什么是理论了。太可悲了。

是个专家

好高深，头发毛了

在量子力学中，波函数的与其共轭复数的乘积的就是表示粒子在空间出现的概率。。。

fooo (站内联系TA)

多交流

truewz (站内联系TA)

个人认为：波函数是概率函数，即电子在空间位置出现的概率

fooo (站内联系TA)

不是，“波函数*共轭波函数”表示的才是概率密度。

Originally posted by truewz at 2010-04-15 14:32:46:
个人认为：波函数是概率函数，即电子在空间位置出现的概率

zzy870720z (站内联系TA)

波函数本身没有实际物理意义，只有波函数模的平方才有物理意义，那就是Born的概率诠释：电子波函数模的平方是电子在空间某处出现的几率。

zhaoxh04 (站内联系TA)

这个嘛随便找个量子力学书都会有的

swan5250 (站内联系TA)

this long—time average is equivalent to an average over a hypothetical ensemble(a Gibbs ensemble) of infinitely many copies of the system

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that this long-time average is equivalent to an average over a hypothetical ensemble (a Gibbs ensemble) of inсnitely many copies of the system, the systems.

Equilibrium statistical mechanics is based on the idea that. when we make a controlled measurement on a macroscopic system. microscopic ﬂuctuations are so rapid that the system passes through a sequence of many microscopic states during the ﬁnite time needed to make the measurement. Consequently. the measured value of a physical quantity is actually a long—time average of a ﬂuctuating quantity. We assume (or in favourable cases it can be proved) that this long—time average is equivalent to an average over a hypothetical ensemble (a Gibbs wisemble) of inﬁnitely many copies of the system. the systems belonging to the ensemble being in different microscopic states consistent with speciﬁed values of a small number of macroscopic variables. The statistical weight attached to each microstate is determined by requiring that the probability distribution should be stationary (since we are trying to describe a system in equilibrium) when each system in the ensemble evolves with time according to the microscopic equations of motion. What this stationary distribution is depends on the macroscopic constraints that are applied. The microcanonical ensemble The microcanonical ensemble describes a system that is completely isolated from its surroundings—a (‘faxed system. For a ﬂuid. this means that the number N of particles in the system. the volume V and the total energy E are ﬁxed. The stationary probability distribution is that which assigns equal probabilities to each microstate that is consistent with these constraints. A thermodynamic interpretation is made by identifying the entropy of the closed system as S(E. V. N) = kln| S2(E. V. N)I

Saturday, August 1, 2015

在古典物理學中，對應龐加萊群的群叫伽利略群，也是有十個生成元的，伽利略群作用於絕對時空。而在伽利略群中取代直線性洛倫茲變換的是，聯繫兩個共動慣性參考系的錯切變換。

在物理學與數學上，龐加萊群（英语：Poincaré group）是狹義相對論中閔可夫斯基時空的等距同構群，由赫爾曼·閔可夫斯基引進^[1]^[2]，龐加萊群是以法國數學家亨利·龐加萊命名^[3]。它是一種有10個生成元的非阿貝爾群，在物理學上有着基礎級別的重要性。

基本解釋[编辑]

等距同構是一種事物在事件間的時空軌跡上的移動方式，而這樣做是不會影響原時的。例如，所有事件被延後了兩小時，而這兩小時中包括了兩項事件，以及你從事件一到事件二的路徑，那麼你的計時器所量度出的，兩事件間的時間間距會是一樣的。又例如，所有事物被移到西邊五公里外的地方，那麼你所量度出的時間間距也不會改變。而這種移動的結果是不會影響棍子長度的。
如果我們無視重力效應的話，那麼一共有十種移動方式：在時間上的平移，在三維空間中任一維上的平移，在三條空間軸上任一條的（定角）旋轉，或三維任一方向上的直線性洛倫茲變換，因此是1 + 3 + 3 + 3 = 10。
如果將這種等距同構結合起來（即執行一個之後再執行另一個），那麼所得的結果也會是等距同構（然而，這一般來說只限於上述十種基本移動之間的線性組合）。這些等距同構因此形成了一個群。也就是說，它們當中存在單位元（即不移動，停留在原先的地方）及逆元（將事物移動回原先的位置），同時亦遵守結合律。這種特定群的名字叫做“龐加萊群”。
在古典物理學中，對應龐加萊群的群叫伽利略群，也是有十個生成元的，伽利略群作用於絕對時空。而在伽利略群中取代直線性洛倫茲變換的是，聯繫兩個共動慣性參考系的錯切變換。

有平凡基本群的几何体称为“单连通的”。这些 “道路类” 也组成一个代数对象，有乘法运算，这个对象叫做几何体的“基本群”，或者 “1 维同伦群”。

基本群- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia

zh.wikipedia.org/zh-hk/基本群

在代數拓撲中，基本群（或稱龐加萊群）是一個重要的同倫不變量。帶點拓撲空間的基本群是所有從該點出發的環路的同倫等價類，群運算由環路的銜接給出。 基本群能 ...

基本群_百度百科

baike.baidu.com/view/1754154.htm 轉為繁體網頁

基本群是代数拓扑最基本的概念。这个概念最早是由庞加莱提出并加以研究。基本群的应用已经渗入到数学的各个分支。著名的庞加莱猜想也和基本群有关。

【拓扑】同调群与基本群 - 豆瓣

www.douban.com/note/197154686/ 轉為繁體網頁

2012年1月24日 - 这一帖就试试介绍庞卡莱引入的两个概念：“同调群”与“基本群”。它们都是几何体内在性质的“代数体现”。庞卡莱意识到，描述一个几何体抽象性质的 ...

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【拓扑】同调群与基本群

小宇宙 2012-01-24 11:22:00

庞卡莱是 19 世纪末 20 世纪初法国最伟大的数学家，他与德国的希尔伯特领衔当时的数学界，分别继承了黎曼和高斯的衣钵：庞卡莱对物理世界的深刻洞察给了他天马行空般的想象力，一如当年的黎曼；希尔伯特严谨，博学，细致入微地思考，为 20 世纪前半叶数论和代数几何的发展指明了方向。庞卡莱的拓扑学和希尔伯特的代数几何，就像普朗克的量子论和爱因斯坦的相对论，完全革新了整个学科的基本观念。
这一帖就试试介绍庞卡莱引入的两个概念：“同调群”与“基本群”。它们都是几何体内在性质的“代数体现”。

庞卡莱意识到，描述一个几何体抽象性质的关键在于这个几何体本身有没有边界，以及它是不是其它几何体的边界。比如，一个圆盘和一个球面为什么不同，就是因为圆盘有边界而球面没有边界；球面为什么跟轮胎面不同，就是因为球面上的任何一个圈都是球面某一部分的边界，比如赤道就是北半球面的边界，而轮胎面上有的圈并不是轮胎面任何一部分的边界。

在第一篇里说过，莱布尼兹梦想用符号来表述一些抽象的几何性质。200多年后庞卡莱终于实现了这个梦，他把跟边界有关的性质数量化。先把几何体剖分成基本组成部分（点，边，三边形，四面体，...)，比如，一个球面上可以画四个点，然后把它们两两相连（不允许连线相交），有六条边，这些边把球面分成四个三边形，这就是球面的一个“剖分”（见左图）。剖分的基本组成成份叫做 “单形”，“点”是 0 维单形，“边”是 1 维单形，“三边形”（包括内部）是 2 维单形，等等（试想一下 3 维单形是什么）。

拿之前已经剖分的球面做例子，顶点 A, B, C, D 是 0 维单形，边 AB, AC, AD, BC, BD, CD 是1 维单形，三边形 ABC, ABD, ACD, BCD 是 2 维单形（如果 ABC, ACD 是东半球的区域，那 ABD, BCD 就包括了西半球）。因为考察的是球面，而不是球体，所以没有三维以上的单形。

庞卡莱在单形前面放上系数（整数），假设它们能够相加，以及做同类项合并。这种表达式称为一个“链”，比如

(3 AB – 2 BC) + (AC – 5 BC) = 3 AB – 7 BC + AC.

单形前面的加号减号具有几何意义，“定向”。在 1维的时候就是边的方向，比如，AB 是从 A 到 B 的边，-AB 就是从 B 到 A 的边，也就是 BA，所以 BA = - AB. 三边形的定向复杂一些，不过本质上就是跟顶点的排列顺序有关，对换两个顶点就会改变定向，

ACB = - ABC.

由于每一个 n 维单形的边界由若干 n-1 维单形组成，所以“求边界”可以作为一种运算，作用在 “链”上，得到另一个 “链”，其每一项都比原来链里对应项的维数低一维。在求边界的过程中，定向也是一个重要因素，虽然 AB 的边界是两个点 A 和 B, 但为了体现定向性质，规定 AB 的边界是 ( B – A ). 这种约定可以推广到高维的链，大家不妨自己试试。

如果用 d记求边界运算，在跟定向相容的约定下，它在球面剖分的各单形上作用如下

d (A) = d (B) = d (C) =d (D) =0;

d (AB) = B-A, d (BA) = A-B, d (BC) = C-B, ……

d (ABC) = BC-AC+AB, d (BCD) = CD-BD+BC, ……

在“链”上的作用，

d (3 AB – 2 BC) = 3 d (AB) – 2 d (BC) = 3 (B-A) – 2 (C-B) = -3 A + 5 B - 2 C.

边界运算有一个很好的性质。直观上容易看到，“物体的边界没有边界”。比如，三边形的边界是三条边组成的闭合链。生活中我们说“闭合”的意思就是没有边界。代数上体现为，连续两次求边界一定是零，

d [ d (BCD) ] = d [ CD – BD + BC ] = d(CD) – d(BD) + d(BC) = (D-C) – (D-B) + (C-B) = 0

现在把剖分后的几何体的所有这样的 “链”放在一起，它们之间有加减法（合并同类项），可以用系数乘，还可以“求边界”。这就得到了一个代数对象，叫做这个剖分后的几何体的 “链群”。这个代数对象跟我们开始的剖分方法有关。

在链群中，可以由求边界运算得到的链叫做“边缘链”，比如，

2 AB + 2 BC + 2 CA = d ( 2 ABC )

说明等式左边这个链是一个边缘链。没有边界的链叫做“闭链”。边缘链一定是闭链，而闭链不一定是边缘链。庞卡莱发现，“有多少闭链不是边缘链”这个性质与剖分无关，从而是几何体某种本性的代数体现。怎样代数地描述这个性质？考虑所有闭链，它们之间的加减，数乘，结果还是闭链，在其中把边缘链等同于0，这样得到的代数对象将不依赖于剖分几何体的方法，庞卡莱叫它“同调群”。

现在来算球面的同调群。顶点都没有边界，但是两个顶点的差一定是一条边的边界，

A-B = d (BA)

按照庞卡莱的语言，A-B 是边缘链，将被等同于 0, 也就是说，在同调群中A-B = 0, 或者说 A = B. 这样，本质上只有一个 0 维对象，

A = B = C = D,

它可以被整数乘，这样我们得到球面的 0 维同调群

{ … , -3A, -2A, -A, 0, A, 2A, 3A, …}

这个代数对象的加法，数乘，跟全体整数的加法，数乘是一样的，用数学的语言来说，球面的 0 维同调群“同构于”整数集。

1 维的链是六条边的组合，用代数运算（解线性方程组）或者几何直观都可以看到，没有边界的 1 维链总是由三边形的边界 ( AB + BC + CA ), ( BC + CD + DB), ( AB + BD + DA) 组成，按照庞卡莱的语言，球面上所有的 1 维闭链都是边缘链，都应该在同调群中等同于 0，所以1 维同调群是 0.

2 维的链是四个面的组合，x ABC + y ABD + z ACD + w BCD, 它是闭链的条件

d ( x ABC + y ABD + z ACD + w BCD ) = 0.

有兴趣的朋友可以动手算一算上面这个方程，比如第一项

d ( x ABC ) = x ( BC – AC + AB ) = x BC – x AC + x AB,

然后合并每条边的系数，令它等于零，就得到 6 个关于 x, y, z, w 的线性方程。这个方程组的解是 x = z = -y = -w. 这个结果说明球面上的每个二维闭链都可以写成

w ( BCD – ACD + ABD – ABC ),

也就是说，总是括号中闭链的整数倍。如果把括号里的闭链叫做 s, 那么球面的二维同调群就是

{ … , -3s, -2s, -s, 0, s, 2s, 3s, … }，

同构于整数集。

综上所述，球面的 0 维同调群和 2 维同调群都同构于整数集，1 维同调群为 0. 再引入一个概念，同调群内含有多少个整数集，就说同调群的“秩”是多少。把不同维同调群的“秩”交错加减，即，0 维同调群的秩减去 1 维同调群的秩再加上 2 维同调群的秩再减去 3 维同调群的秩……, 得到一个整数。在简单例子里稍作计算，就会发现这个整数实际上是 0 维单形个数减去 1 维单形个数再加上 2 维单形个数再减去 3 维单形个数……，即，各维数单形个数的交错和。这个数大家其实颇为熟悉，在高中立体几何最后应该提到过，叫做“欧拉示性数”，对凸多面体的表面，它就是 V – E + F, 而且总是等于 2. 实际上，所有凸多面体的表面在拓扑上都是球面，这个“2”就是球面的各维数同调群的“秩”的交错和，1 – 0 + 1 = 2.

显然，欧拉示性数是最容易计算的拓扑不变量，只需要找一个剖分，然后数数几个顶点几条边几个面......，再加加减减就行了。

同调群告诉我们哪些闭链不是边缘链，通俗一点说，告诉我们几何体里面哪些封闭的对象是 “中空”的。它显然是比欧拉示性数更精细的拓扑不变量。有兴趣的朋友可以自己算算两个几何体的同调群：圆圈，轮胎面。（提示：先把它们剖分成单形。）

庞卡莱发现了同调群以后，拿它来区分了一些三维的对象。后来他发现，同调群不够精细。比如，跟三维球面（二维球面的高一维推广）具有相同同调群的几何对象不一定就是三维球面。这促使他寻找更精细的拓扑性质。这次他想到几何体里头还有东西是可以运算的，就是道路。两条道路如果首尾相接，就组成一条新的道路，这就是道路的乘法。这里有两个问题需要处理，首先，不是任何两条道路都能相乘（必须首尾相接才可以），然后，即使能相乘，乘法也不满足结合律，运算起来不方便。庞卡莱想到了办法解决这两个问题。他在几何体内取一个基点，只考虑那些从这个点出发再回到这个点的道路，这些道路当然互相首尾相连；然后他规定，如果一条道路能在几何体内经过连续变形到另一条道路（见下图），这两条道路就被看作在同一个 “道路类”中，这样规定后，“道路类”之间的乘法就满足结合律了。这些 “道路类” 也组成一个代数对象，有乘法运算，这个对象叫做几何体的“基本群”，或者 “1 维同伦群”。

来点感性认识。线段的基本群只有一个元素，就是静止在基点的道路。线段里的其他任何从基点出发回到基点的道路都可以在线段内连续变形到静止在基点的道路。我们把只包含一个元素的基本群称为“平凡的”。再看圆周，它的基本群是所有整数组成的。绕圆周 n 圈的道路不能在圆周上连续变形到绕圆周 m 圈的道路，而把它们首尾相接的结果就是绕圆周 n+m 圈的道路，这里道路类之间的乘法体现为整数间的加法。第三个例子，球面，它的基本群是平凡的，因为球面上所有由基点出发的回路都可以在球面上连续变形（滑缩）为静止在基点的道路（见左图）。具有平凡基本群的几何体称为“单连通的”。

基本群的计算涉及到更深入的细节，比如拓扑的具体定义，拓扑空间之间的映射，等等，无法在这里详加解释。有兴趣进一步了解的朋友请参阅《基础拓扑学》，阿姆斯特朗（M.A.Armstrong）著；孙以丰译。

发明了基本群以后，庞卡莱觉得这个更加精确的拓扑性质应该足以把三维球面从其它三维几何体中区分出来，但他自己无法证明。这就是举世闻名的庞卡莱猜想：单连通的三维封闭几何体一定是三维球面。这个猜想及其推广主导了代数拓扑学一百年的发展，最终在2004年由俄罗斯数学家裴若曼给出证明。裴若曼因此在 2006 年获得数学界最高荣誉——菲尔兹奖。

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Monday, August 3, 2015

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