1890 年 Wiener 的光駐波實驗證明了光化學
過程(一個照相底片的曝光)是直接與電向量有關而不是磁向量。同樣地，Lorentz
的帶電粒子受力方程式顯示電場作用在帶電粒子上即使此帶電粒子呈靜止狀
態。而磁場帶給帶電子的力是於粒子速度與光速的比值，因為這個比值通常很
小，所以磁場通常可以被忽視。所以我們在考慮光的向量特性與光學系統之間的
交互作用時只須考慮電場。
很明顯地，如果知道三個向量（ES
v
v
, 和 H
v
）中任二個向量，我們可以利用上
面方程式找出第三個。因為S
v
跟幾何光束直接對應，我們要用S
v
。另外，使用電
場向量 E
v
作光向量也是件合理的事。1890 年 Wiener 的光駐波實驗證明了光化學
過程(一個照相底片的曝光)是直接與電向量有關而不是磁向量。同樣地，Lorentz
的帶電粒子受力方程式顯示電場作用在帶電粒子上即使此帶電粒子呈靜止狀
態。而磁場帶給帶電子的力是於粒子速度與光速的比值，因為這個比值通常很
小，所以磁場通常可以被忽視。所以我們在考慮光的向量特性與光學系統之間的
交互作用時只須考慮電場
1890 年 Wiener 的光駐波實驗證明了光化學
過程(一個照相底片的曝光)是直接與電向量有關而不是磁向量。同樣地，Lorentz
的帶電粒子受力方程式顯示電場作用在帶電粒子上即使此帶電粒子呈靜止狀
態。而磁場帶給帶電子的力是於粒子速度與光速的比值，因為這個比值通常很
小，所以磁場通常可以被忽視。所以我們在考慮光的向量特性與光學系統之間的
交互作用時只須考慮電場。
第十二章 偏振\(polarization\)
光學系統設計進階篇 第十二章 偏振
(fourth version; 2002 版) 許阿娟 朱嘉雯 林佳芬 陳志隆
第十二章 偏振(polarization)
12.1 簡介
12.2 電磁學與偏振分析
12.2.1 馬克斯威爾方程式（Maxwell’s equations）
12.2.2 偏振橢圓 (Polarization ellipse)
12.2.3 Fresnel 方程
12.2.4 Jones Calculus
12.3 Malus's 定律 (Malus’s law)
12.4 Fresnel 菱形塊 (Fresnel rhomb)
12.5 向量繞射（Vector Diffraction）
參考文獻
習題
12.1 簡介
對大多數光學系統設計問題而言，是作分析不必考慮電磁場偏振特性
(polarization)。通常把光場視作光線，當作幾何光學來處理，或是把電磁場視作
純量波現象來處理，就足夠預測一透鏡的特性，但是在某些情況下，對於光我們
必須考慮其向量特性才足以判定透鏡的影響。例如到底有多少光會自一個空氣玻
璃界面反射。在這一章裡，我們將回顧一些基本電磁學，看如何將電磁與光覓跡
合在一起以分析光學系統中跟偏振有關的性質。
12.2 電磁學與偏振分析
12.2.1 馬克斯威爾方程式（Maxwell’s equations）
電磁場的馬克斯威爾方程式描述基本場（電場 E
v
與磁場 B
v
）及導出場（電
位移
v
及磁場
D
H
v
）之間的關係，其中電荷分佈 ρ 及電流密度 J
v
亦在考慮之中。
導出場是場與物質交互作用的結果。用公制單位，時間用 t 作符號，馬克斯威爾
方程式的微分公式形如下：
0
=
∆
∆
+
×
∇
t
B
E
v
v
（12.1）
J
t
H
v
v
v
=
∆
∆
-
×
∇
ρ
（12.2）
v
ρ
=
•
∇ D
（12.3）
v
0
=
•
∇ B
（12.4）
場與物質的交互作用可以用物質方程式(material equation)。一般而言，關係式會
是很複雜。幸運的是對光學設計的情況而言，我們可以假設這些物質方程式是線
12-1
光學系統設計進階篇 第十二章 偏振
(fourth version; 2002 版) 許阿娟 朱嘉雯 林佳芬 陳志隆
性的，亦即整個狀況滿足靜態(static)及均方性(isotropic)的條件。在這個條件下，
物質方程式只是些涉及介電常數(電導率)ε，磁導率μ和導電係數σ的常數關
係。在給定的空間點上，導出場和基本場滿足常數的關係，
E
D
v
v
=∈
（12.5）
v
v
H
B μ
=
（12.6）
v
v
E
J σ
=
（12.7）
但跟波長有關。利用這些物質關係式（12.5-12.7），我們可以導出電場的波方程
式
t
E
t
E
E
∂
∂
+
∂
∂
∈
=
∇
v
v
v
μσ
μ
2
2
2
（12.8）
(同樣地，對於磁場也可導出雷同的方程式)。對光學系統所用的介電材料，導電
係數σ為零
2
2
2
t
E
E
∂
∂
∈
=
∇
v
v
μ
（12.9）
式（12.9）是一個行進波標準方程式，其中波速 v
∈
=
μ
1
v
（12.10）
對一個頻率為 v（角頻率 w=2πν）的單色光而言，其電場形如
其中
( )
( ) iwt
r
erEtrE
-
+
=
v
v
v
v
,
r
v
是原點到觀察點的向量距離。現在波方程式可以改成 Helmholtz 方程之形
式
0
2
2
=
+
∇ EkE
v
v
（12.11）
其中
λ
π
μ
2
=
=
wE
k
。為了討論偏振效應，我們使用平面波解法，
( )
(
)
(
)δ
λ
-
-
•
±
=
wt
rk
EtrE
v
v
v
v
exp
,
0
（12.12）
在此，k sk
)
v
=
而 是平面波行進方向的單位向量，而δ是一個常數值的相位基
準。(真正的電場是一個實數物理量由（12.12）式的實部給定)。由式（12.12）
所定出的解作平面波，其原因是在一瞬時 t 下，其電場在
sˆ
lonst
rs =
•
v
v
之平面上是
一常數值。利用（12.12）代入馬克斯威爾方程，可以證明
HS
E
E
v
v
v
×
-
=
μ
（12.13）
且
ES
E
H
v
v
v
×
=
μ
（12.14）
對（12.13）及（12.14）用S
v
作內積，可得：
1 很不幸的是 OSLO 目前並不允許直接輸出複數形的折射率，所以無法處理導電係數σ不為零。
12-2
光學系統設計進階篇 第十二章 偏振
(fourth version; 2002 版) 許阿娟 朱嘉雯 林佳芬 陳志隆
0
=
•
=
•
SHSE
v
v
v
v
（12.15）
(12.15）式說明場是橫向(transverse)，亦即電場及磁場向量落在一平面上，且與
傳播方向垂直。同理，我們可以看到 HE
v
v
,
S
和
v
形成一個右手座標系。
瞬時 Poynting 向量(定義作HES
v
v
v
×
=
)代表著能量流的方向與大小，其方向由
所看出亦即平面波的傳播方向。在幾何光學上，光束代表能量流。這兩件事使
得我們可以把光束覓跡的結果與電磁分析相結合。對每個被覓跡的光束而言，在
光束的附近範圍都有一個與光束行進方向垂直相對應的電磁場平面電場與磁場
均落在此平面上。所以偏極化的光束覓跡之過程除了幾何光束的一般折射與反射
外，還必須加上這些局部上近似平面的電磁場之間的轉換。
sˆ
很明顯地，如果知道三個向量（ES
v
v
, 和 H
v
）中任二個向量，我們可以利用上
面方程式找出第三個。因為S
v
跟幾何光束直接對應，我們要用S
v
。另外，使用電
場向量 E
v
作光向量也是件合理的事。1890 年 Wiener 的光駐波實驗證明了光化學
過程(一個照相底片的曝光)是直接與電向量有關而不是磁向量。同樣地，Lorentz
的帶電粒子受力方程式顯示電場作用在帶電粒子上即使此帶電粒子呈靜止狀
態。而磁場帶給帶電子的力是於粒子速度與光速的比值，因為這個比值通常很
小，所以磁場通常可以被忽視。所以我們在考慮光的向量特性與光學系統之間的
交互作用時只須考慮電場。
12.2.2 偏振橢圓 (Polarization ellipse)
我們已經了解必須先定量化電場。電場向量的描敘定義了電場的偏振特
性。我們已經提及一個基本特性－電場是與光傳播方向呈橫向相關(即與光傳播
方向垂直)。為了描敘此一橫向場，我們選這座標系統的 z 軸作為光傳播方向。
因為電場是橫向場，所以電場向量落於 xy 面。我們需研究的是這個在 xy 平面的
電場向量方向與時間的關係。
從平面波解式（12.12）的一般式，我們可以看到電場的直角分量形如
(
)
(
)
{
}δ
δ
+
•
-
=
+
•
-
rkwt
eaR
rkwt
a
v
v
v
v
ˆ
cos
（12.16）
在此
代表取實部。所以電場的 x、y 和 z 分量如下
{ }L
R
(
)x
x
x
rkwt
a
E
δ
+
•
-
=
v
v
cos
（12.17）
(
)y
y
y
rk
wt
a
E
δ
+
•
-
=
v
v
sin
（12.18）
0
=
z
E
（12.19）
我們關心的是在空間上一點，電場 E
v
在 xy 平面上的掃過方式。亦即(
)y
x
EE,
點的
12-3
光學系統設計進階篇 第十二章 偏振
(fourth version; 2002 版) 許阿娟 朱嘉雯 林佳芬 陳志隆
曲線。因為這個曲線不是位置和時間的函數，我們可以自式（12.17）和（12.18）
消去rkwt
v
v
•
-
，得到
y
δ
δ
δ
-
=
δ
δ
2
2
2
sin
cos
2
=
-
│
│
⎠
⎞
│
│
⎝
⎛
+
│
⎠
⎞
│
⎝
⎛
y
y
x
x
y
y
x
a
E
a
E
a
E
a
E
（12.20）
在此
x 。這是一個就(Ex,Ey)座標轉個θ角的橢圓且
δ
θ
cos
2
2tan
2
y
x
yx
a
a
aa
-
=
（12.21）
這個橢圓叫做偏振橢圓(polarization ellipse)，其形如下圖 12.1 所述。在與平面波
行進方向相垂直的平面上，它是一個由電場向量尖端所畫出的曲線。
Ey
Ex
E
ay
ax
-ax
-ay
右旋
左旋
長軸
短軸
θ
圖 12.1 偏振橢圓
橢圓主軸在θ=0(或θ為
2
π
的奇數倍)時與（Ex,Ey）座標軸一致。就時間而言，橢
圓可以順時針或逆時針轉。慣例上，轉動方向是以傳播方向來看電場而定，換言
之，方向是從波往觀察者走的方向來看。如果此時，是以順時針方向轉（sinδ
＞0），則叫右旋(left－handed)；反之，如果從觀察者看，此時轉動是逆時針方向
（sinδ＜0），則偏振方向叫左旋（left-handed）。
總而言之，偏振狀態是由（1）橢圓的長短軸比值（2）橢圓的轉角θ及（3）
偏振的左旋或右旋等三個特性來定義。在 OSLO 中這三個量是由偏振操作條件
（polarization operating conditions）來界定。在橢圓偏振中有二個重要特例。一
是如果δ等於π的整數倍，則式（12.20）變成：
12-4
光學系統設計進階篇 第十二章 偏振
(fourth version; 2002 版) 許阿娟 朱嘉雯 林佳芬 陳志隆
x
x
y
y
E
a
a
E
±
=
（12.22）
這是個直線方程，所以我們稱此時光是線偏振(linearly polarized)。對於線偏振而
言，偏振橢圓的長短軸比值為 0，而橢圓的轉角θ是電場振動所在平面與 y 軸的
夾角。很明顯地此時左旋，右旋不是有意義。
另一個特例是 ax=ay=a 而δ為
2
π
的奇數倍。此時，式（12.20）可以化成：
2
2
2
a
E
E
y
x
=
+
（12.23）
這是一個圓方程式，所以我們在此時稱光是「圓偏振」(circularly polarized)。對
圓偏振光而言，偏振橢圓長短軸比值為 1，而橢圓轉角任意。
在這裡的分析，我們假設電場向量依一固定方式變動。對一個由原子或分子
的自發輻射產生的熱光源，偏振方向的改變是相當快而且難以預測，所以其偏振
狀態難以決定。所以我們稱它是未偏振光或自然（natural）光。一般而言，光既
非偏振亦非全然未偏振。在這情況下，我們略稱作部份偏振（partially polarized）。
而偏振程度（degree of polarization）是偏振部份的強度與整個光強度的比值。如
果偏振程度為零，光是完全未偏振！反言之，偏振程度為 1 代表光是完全偏振。
12.2.3 Fresnel 方程
為了要計算一個光學系統中所定出之光束上的偏振狀態，我們必須要能算出
通過不同折射率介面下的電場效應。一般而言，當一個平面波碰到一個介面，部
份波被折射，部份被反射。（為了單純起見，我們假設介質不吸收）。而描述穿透
與反射跟入射場的比值叫做 Fresnel 方程。
幾何光學中折射與反射定律說，入射光束、折射光束、反射光束與界面的法
線是在同一平面上。求解麥克斯威爾方程並加上必要的邊界條件給出與幾何光學
一樣的結果：反射角與入射角一樣但差個正負號，而折射角依 Snell 定律而定。
由入射光傳播向量S
v
，反射、折射及法線構成的平面叫做入射面，一如下圖 12.2
所示
12-5
光學系統設計進階篇 第十二章 偏振
(fourth version; 2002 版) 許阿娟 朱嘉雯 林佳芬 陳志隆
入射波
i
θ
-
i
n
n'
入射
,p
E
反射
,p
E
穿透
,p
E
反射波
穿透波
t
入射
,s
E
反射
,s
E
穿透
,s
E
n < n'
圖 12.2 反射、折射及法線構成的平面
電場永遠都可以分成二個分量，一個與入射面平行，另一則是與入射面垂直。平
行的分量被稱 p、π或者 TM（transverse magnetic）偏振，而垂直分量被稱作 s、
σ或 TE（transverse electric）偏振，（s 源自德文「senkrecht」，意指正交）。如果
我們註記入射角叫θi，折射角叫θt，而反射光振幅與入射光振幅比值叫做 r，透
射（折射）光振幅與入射光振幅比值 t，則 Fresnel 方程如下：
t
i
t
i
s
n
n
n
n
r
θ
θ
θ
θ
cos'
cos
cos'
cos
+
-
=
（12.24）
t
i
t
i
n
n
n
n
r
θ
θ
θ
θ
ρ
cos
cos'
cos
cos'
+
-
=
（12.25）
t
i
i
s
n
n
n
t
θ
θ
θ
cos'
cos
cos
2
+
=
（12.26）
t
i
i
n
n
n
t
θ
θ
θ
ρ
cos
cos'
cos
2
+
=
（12.27）
在方程（12.24）—（12.27）中，n 是入射光所在介質的折射率，n'是折射光所在
介質的折射率。另外我們假設介質的磁導率（permeability）與真空中一樣（μ=
μ'=μ0）。反射率 R（在反射光束裡所含的入射光強度）是由振幅反射係數的平
方所給定，其形如下：
*
* ,
pp
p
ss
s
rr
Rrr
R
=
=
（12.28）
可以證得
1
,1
2
2
2
2
=
+
=
+
p
p
s
s
t
r
t
r
（12.29）
式（12.29）可以解釋成光在二介電物質的界面上能量是守恆的。
一般而言，s 跟 p 偏振反射率是不一樣的，只有在正向入射時，反射率才會
12-6
光學系統設計進階篇 第十二章 偏振
(fourth version; 2002 版) 許阿娟 朱嘉雯 林佳芬 陳志隆
一樣，亦即：
2
,
,
'
'
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈
+
-
=
=
nn
nn
R
R
normal
p
normal
s
（12.30）
考慮典型空氣、玻璃介面（n=1.0,n'=1.5），式（12.30）告訴我們一個熟知的
結果：一個未鍍膜的反射光介面有 4％反射損光。
在 OSLO 的偏振光覓跡中，每個光束的入射電場在一介面會被分成 s 和 p
的分量。之後，Fresnel 方程會用來計算透射場的振幅。而每個光束的 s 與 p 方向
是由光束方向及法線向量來決定。通常在面上的每個光束都會不同。所以對一個
非平面波入射在非平面上整個 s 及 p 方向，通常不容易定出。
12.2.4 Jones Calculus
有一個依其發明者 R. Clark Jones 命名，利用線性代數叫做 Jones 計算法，可
以來分析偏振光的傳播。假設一個偏振波沿 z 軸方向傳播，則其電場分量只在 x
和 y 方向。我們可以寫下同步的 x,y 上 E 的純量分量一個列向量（Jones 向量）
( )
( )
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈
=
ty
x
E
tE
E
v
（12.31）
用（12.17）及（12.18）的複數形式表示式，可以改寫（12.31）形如
│
│
⌋
⌉
│
│
⌊
⌈
=
y
x
i
y
i
x
ea
ea
E
δ
δ
v
（12.32）
因為只有相位差δ=δy-δx 影響整個偏振態，所以可以只使用相對相位差來改寫
（12.32）
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈
=
δi
y
x
ea
a
E
v
（12.33）
例如，對在 y 方向是線偏振的 Jones 向量形如：
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈
=
y
i
y
y
linear
ea
E
δ
0
,
v
（12.34）
右旋，圓偏振光其 Jones 向量形如：
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈
=
i
a
E
right
circular
1
,
v
（12.35）
而左旋，圓偏振光其 Jones 向量為：
12-7
光學系統設計進階篇 第十二章 偏振
(fourth version; 2002 版) 許阿娟 朱嘉雯 林佳芬 陳志隆
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈
-
=
i
a
E
left
circular
1
,
v
（12.36）
為了描述偏振狀態，一個光學元件或系統是可以想成把入射 Jones 向量 i
E
v
改成透
射 Jones 向量 t
E
v
。數學上這可以用一個 2x2 Jones 矩陣 J 表示，亦即：
i
t
EJ
E
v
v
=
（12.37）
或者直接寫明：
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈
=
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈
iy
ix
D
C
B
A
ty
tx
E
E
J
J
J
J
E
E
（12.38）
在 Jones 矩陣裡的元素 JA,JB,JC 及 JD 一般而言是複數量，而 Jones 計算的運用是
在於 Jones 矩陣可以表示任何線性光學元件。在 OSLO 中，你可以藉著定義曲面
的 Jones 矩陣來輸入一個偏振元件。而在 OSLO 中對 Jones 矩陣的原始設定是把
J 視作單一矩陣（JA=JP=1;JB=JC=0）。底下是常見的偏振元件的 Jones 矩陣表示式。
● 理想的線偏振器（通過面指向 x 軸）
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈
=
-
00
01
pzr
x
J
（12.39）
● 理想的線偏振器（通過指向 y 軸）
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈
=
-
10
00
pzr
y
J
（12.40）
● 理想的線偏振器（通過面與 y 軸成ψ角；自 y 軸正方向往 x 軸正方向量起時，
ψ值為正）
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈
=
-
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
2
2
cos
sin
cos
sin
cos
sin
c
J pzr
（12.41）
● λ/4 玻片（其中快軸落在 x 軸上）
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈
-
=
i
J
x
0
01
4
1
λ
（12.41）
● λ/4 玻片（其中快軸落在 y 軸上）
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈
=
i
J
y
0
01
4
1
λ
（12.43）
● λ/2 玻片（其中快軸對 y 軸差ψ角）
12-8
光學系統設計進階篇 第十二章 偏振
(fourth version; 2002 版) 許阿娟 朱嘉雯 林佳芬 陳志隆
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈-
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
λ
ϕ
2cos
2sin
2sin
2cos
2
1
J
（12.44）
● 線性延遲玻片（延遲相位δ，而且快軸相對於 y 軸差個角度ψ）
( )
( )
[
]
( )
[
]
( )
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈
+
-
-
-
-
-
-
+
=
ϕ
δ
ϕ
δ
ϕ
ϕ
δ
ϕ
ϕ
δ
ϕ
ϕ
δ
ϕ
2
2
2
2
cos
exp
sin
exp
1
cos
sin
exp
1
cos
sin
exp
cos
sin
1
i
i
i
i
J
（12.45）
● 均方右旋圓偏振玻片
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈ -
=
1
1
2
1
i
i
J
larpzr
rightcircu
（12.46）
● 均方左旋圓偏振玻片
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈
-
=
1
1
2
1
i
i
J
arpzr
leftcircul
（12.47）
12.3 Malus's law
Malus 定律說一線偏振光照到一理想線偏振器（起偏器），則穿透光的強度
滿足
( ) ( )
θ
θ
2
cos0
I
I
=
（12.48）
在此θ是起偏器可通過的平面與入射線偏振光方向的夾角，而 I(θ)是θ=0 時穿
透強度。我們可以用先前的 Jones 計算法導出這個結果。先假設我們入射的線偏
振光其偏振方向是在 y 方向上。另外為了簡單起見，設光強度為 1，則入射 Jones
向量寫作：
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈
=
1
0
i
E
v
（12.49）
而一個線偏振片（線性起偏器）是由（12.41）式所給定。因為入射光是 y 偏振，
所以（12.41）式的ψ角等於（12.48）式中的θ角，利用（12.37）式 Jones 計算
法的一般轉換公式，可以證得：
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈
=
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
2
2
2
cos
sin
cos
1
0
cos
sin
cos
sin
cos
sin
i
t
EJ
E
v
v
（12.50）
而穿透光的強度是 t
E
v
的 x 與 y 分量的平方和，亦即：
( )
(
)
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
2
2
2
2
4
2
2
2
2
cos
cos
sin
cos
cos
sin
cos
=
+
=
+
=
+
=
ty
tx
E
E
I
（12.51）
這正是 I(0)=1 時的 Malus 定律。我們可以在 OSLO 中利用一個偏振元件來模擬
12-9
光學系統設計進階篇 第十二章 偏振
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線性起偏器建立一個簡單系統並作分析。我們從一個與入射偏振方向一致的起偏
器著手。(
°
= 0
ϕ
)如下表 12.1
表 12.1 偏振元件初始設定
因為入射偏振方向與起偏器的通過面一致，所以如偏振光束覓跡數據表 12.2 所
12-10
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示，所有的入射光都可穿透。
表 12.2 偏振光束覓跡數據表
現在我們改變第二面的 Jones 矩陣的元素，調整通過平面的角度為 30
o
。
表 12.3 第二面的 Jones 矩陣的元素
Malus 定律預測穿透強度應為 cos2(30o)=0.75，而穿透光的偏振方向應離 y 軸 30o
。
用偏振光束來確認。
表 12.4 Malus 定律預測之確認
而在平面通過角為 60
o
時，穿透強度變成 cos
2(60o)=0.25
12-11
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表 12.5 平面通過角為 60
o
時之結果
最後，轉動通過面的角度ψ=90
o
，完全沿 x 軸，將使得入射光完全被擋掉。
表 12.6 平面通過角為 90
o
時之結果
12.4 Fresnel 菱形塊 (Fresnel rhomb)
很容易自 Fresnel 方程（（12.24）式到（12.27）式）看出電場的反射與透射
部份其 s 和 p 分量值不同。除非是正向入射（θi=0）才有可能一樣。換言之，
任一個光學系統其所有鏡面或多或少都是一個偏振元件。在另外一方面，也有很
多光學系統利用 s 和 p 反射係數上的差異來作應用。一個例子就是 Fresnel 菱形
塊，它可以把線偏振光變成圓偏振光。
對入射角大過臨界角，Fresnel 反射係數是複數，換言之，反射光會有一個
相位差。而且對 s 和 p 而言，相位差是不同的。可以證得對一個內全反射光其 s
和 p 分量其相位差δ滿足
i
i
i
n
n
θ
θ
θ
δ
2
2
2
sin
'
sin
cos
2
tan
│
⎠
⎞
│
⎝
⎛
-
=
│
⎠
⎞
│
⎝
⎛
（12.52）
12-12
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在此折射係數比
n
n'
比 1 小，而且入射角大於臨界角，亦即
n
n
i
'
sin ≥
θ
。此時，最
大相對相位差δm 滿足
n
n
n
n
m
'
2
'
1
2
tan
2
│
⎠
⎞
│
⎝
⎛
-
=
│
⎠
⎞
│
⎝
⎛δ
（12.53）
Fresnel 證明如何利用相位差把一個線偏振光變成圓偏振光。入射的線偏振波被
轉向使得電場向量與入射面差 45
o
，此時入射的 s 和 p 分量之振幅是一樣，而且
如果光束是內全反射，則反射的二個振幅仍然相等。折射係數比和入射角必須慎
選以使得相對相位δ=90
o
。如果想用一次反射就作得δ=90
o
，則（12.53）式告訴
我們
0
45
2
=
m
δ
，
1
2
tan
=
│
⎠
⎞
│
⎝
⎛ m
δ
，且
n
n
n
n
'
2
'
1
1
2
│
⎠
⎞
│
⎝
⎛
-
<
（12.54）
換言之，折射係數比必須滿足
12
'
-
<
n
n
（12.55）
換言之，
4142.2
12
1
'
=
-
>
n
n
（12.56）
如果只是用空氣與玻璃，上面條件是作不到的。Fresnel 觀測到，如果
51.1
'
=
n
n
的
話，最大的相位差是 45.95
o
，所以應該可能選用入射角使得δ=45
o
，再利用二次
內全反射來達到 90
o
相位移。利用
51.1
'
=
n
n
及讓（12.52）式中δ=45
o
可以產生入
射角二個可能值θi=48.624o
或θi=54.623o
。一個可以產生二次內全反射（用上述
任一θi）的玻璃塊就叫做 Fresnel 菱形塊。
我們可以在 OSLO 中，利用內全反射面（total internal refection only surface
TIR）來輸入一個 Fresnel 菱形塊。我們並不想把這些面設計成鏡子，因為我們需
要內全反射造成的相位移來作出我們想要的偏振狀態。利用前面較大的θi 作為
TIR 面上的入射角，整個 Fresnel 菱形塊的光學數據（prescription）如下表 12.7：
12-13
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12-14
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表 12.7 Fresnel 菱形塊的光學數據
圖 12.3 Fresnel 菱形塊
我們藉由調整偏振操作條件，在 x 與 y 軸中間方向 45
o
來定義線偏振光，以
設定入射偏振狀態。
12-15
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表 12.8 入射偏振狀態設定
現在我們可以就全視野（full-field）亦即在面 3 與面 4 上入射 54.623
o
角，作
光束覓跡，並觀察光束通過菱形塊的偏振狀態。
表 12.8 光束通過菱形塊的偏振狀態變化
在第一次全反射（面 3），光是橢圓偏振，偏振橢圓的長短軸比是 0.414。在
第二反射面（面 4），光是圓偏振，其長短軸比是 1，菱形塊的終止面（面 2 及面
5），波是正向入射，所以偏振狀態在這些面上是不改變，但是入射強度會因為反
射損失（約 4％）而變小。
Fresnel 菱形塊可以反過來用，亦即一個圓偏振光入射在菱形塊上，則透射
光將是線偏振光。
12-16
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表 12.9 Fresnel 菱形塊反用下偏振狀態變化
12.5 向量繞射（Vector Diffraction）
偏振光束覓跡除了可以決定經過光學系統中的偏振狀態外，也可以用來算出
向量繞射的形狀。一般光學系統的繞射分析假設光場是個純量，實驗比對發現這
個純量近似在數值孔徑小於 0.55 或 0.60 時是個很好的近似。但是對於聚焦於較
大的數值孔徑時，場的徑向（亦即 z 方向）分量不可以被忽視。在這個情況下，
點分散函數值分（point spread function integral）必須對輸出曈孔上（exit pupil）
三個正交偏振場（x,y,z 分量）各別作計算。而所看到的輻射量是這三個分量的
平方和，亦即電場能量密度。
在 OSLO 中，若偏振光束覓跡操作條件被打開，所有點分散函數之計算將
用透鏡輸出曈孔上的向量電場去計算向量繞射形狀。因為繞射積分必須對每個電
場的直角座標分量求解，所以至少比純量 PSF 計算要三倍的時間長（如果偏振
程度不為 1，則積分必須對正交的入射偏振作計算，換言之，共有六個積分要求
解）。如前所述，向量繞射效應只有在大的數值孔徑系統才必須注意。所以對低
NA 系統這是可以忽略。
例子：NA=0.966 完美透鏡（perfect lens）
我們考慮一個具有 0.966 數值孔徑（像空間圓錐其半角為 75
o
）完美透鏡作
為高 NA 聚集的例子。因為這是一個沒有像差的完美透鏡，所以光的向量特性應
是清晰可見。我們讓其焦距長 100mm，物在無窮遠處（放大率為 0），數值孔徑
0.966=sin(75o)，而其波長設為 0.5μm。透鏡數據如下表 12.10：
12-17
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表 12.10 透鏡數據
在軸上來看，這是一個完全轉動對稱系統，所以直覺上我們的點分散函數應
具有轉動對稱。一般的純量點分散函數可以確認此事(見圖 12.4)。
12-18
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圖 12.4 一般的純量點分散函數之結果
但因為大數值孔徑，我們需要把平面波前轉成球面波前所造成的非均勻曈孔振幅
的效應納入。我們利用斑點圖（spot diagram）相關計算中的等相空間光束漸增
（equal image space ray increments）來分析，條件如下表 12.11 所示。光束漸增
的控制已打開（ON）。
表 12.11 “use equal image space ray increments” ON 之檢視
現在如果入射光是線性偏振，我們要考慮其點分散函數的效應，我們先假定其偏
振方向是 x 方向，然後計算點分散函數（PSF），操作條件見下圖
表 12.12 偏振方向是 x 方向之確認
圖 12.5 向量繞射之檢視(點分散函數之確認)
而計算結果如上圖圖 12.5，從圖上我們可以看到 PSF 不再具有轉動對稱，
12-19
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即使光學系統具有轉動對稱。但是就偏振方向（x 軸）而言仍具有對稱性。而 PSF
在垂直於偏振方向的幅角會窄化，在這個例子裡，偏振方向是 x 軸，所以 PSF
在 y 軸上會變窄。而輻射分佈在 x 與 y 訪向上具有不同的等效光斑大小（spot
size），換言之，在計算一些諸如高 NA 系統下的二點解析度時偏振方向是相當重
要。
我們可以在完美透鏡之後加上一個起偏器，檢查點分散函數的 x 和 y 分量，
操作條件設定如下：
表 12.13 完美透鏡之後加上一個起偏器(x 軸起偏器)
而及 y 軸起偏器設定條件如下。不同起偏器所造成的點分散函數圖形亦如下圖
12.6 與圖 12.7 所示：
表 12.14 y 軸起偏器設定條件
圖 12.6 不同起偏器所造成的點分散函數 (x-axis polarizer )
12-20
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圖 12.7 不同起偏器所造成的點分散函數 (y-axis polarizer)
由 PSF 圖可以看出二者結果不同，一個定性解釋可以在 Hopkins 論文上
參考下圖 12.8。
ABCD 是球面波一環並聚焦到焦點 O，入射波偏振在 HB 方向（亦即沿 y 軸）
由 A, B, C 及 D 來的電場是
D
C
B
A
EEEE
v
v
v
v
,,,
。如圖所示，
C
A
E
E
v
v
和 沒有 z 軸分量，
而
D
B
E
E
v
v
和 有相反的 z 軸分量並相互抵消。在
C
A
E
E
v
v
和 方向，
D
E
B
E
v
v
和 有 EBcosθ
和 EDcosθ的貢獻（其中如圖所示，θ代表 ABCD 的半角）。所以，相對於 x 方
向，y 方向的場淨值變小一個 cosθ因子。而在曈孔上的等效振幅在 x 方向也就
比 y 方向大。因為由曈孔往外在 x 方向比在 y 方向有多的能量，所以繞射斑點在
x 方向比較小，這跟入射偏振方向剛好是正交。
A
θ
D
E
B
D
C
H
y
x
z
O
B
E
C
A
EE,
圖 12.8 Hopkins’s 圖象說明
2 H. H. Hopkins, “Resolving power of the microscope using polarized light,” Nature 155, 275 (1945).
12-21
光學系統設計進階篇 第十二章 偏振
(fourth version; 2002 版) 許阿娟 朱嘉雯 林佳芬 陳志隆
參考文獻
[1] OSLO Optical Reference version 5.0 (Sinclair Optics, 1996)
[2] OSLO Optical Reference version 6.1 (Lambda Research Corp., 2001)
12-22
光學系統設計進階篇 第十二章 偏振
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習題
1. 自 Catalog lens 選用一 triplet lens，且其 NA(numerical aperture)值頗高。計算
其向量繞射效果並討論。
2. 討論一般 ball lens 之向量繞射效果。
3. 檢視 Perro prisms 的線偏振光輸出入的變化及其隨波長變化的結果。(Perro
prism 用於一般 binocular telescope，其形參見 Born and Wolf “Principle of
Optics”, chapter 6) (You will find a good achromatic polarization-preserving beam
displacer.)
4. 查文獻，利用 polarizer 作 geometrical phase (Berry phase/Pancharatnam phase)
的 optical implementation。(e.g., 見 N. Baba, N. Murakami, T. Ishigaki, Optics
Letters 26, 1167-1169 (2001) 或 S. G. Lipson, H. Lipson, and D. S. Tannhauser,
Optical Physics, 3rd. ed. Cambridge Univ. 1995, p.258)
12-23
小，所以磁場通常可以被忽視
