廣義相對論- DemolabWiKi
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邻域 phymath999
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在拓扑空间中，有这样一类集合。它们可能包含有无数个点，但在这无数个点中，某一些点的极限点却与这些点天各一方，人鬼殊途：我们在集合内，却眼巴巴地望着集合外的你。换一个说法，当你孜孜不倦地在集合里找点的时候，这一列点总能一个接一个地被你找着，但在那无穷大的另一端，永远有那么一个点完成了质的飞跃，与身后无穷多个弟兄们挥手告别，跨过顶着大括号的集合边界，幸运抵达了幸福的彼端。这个时候，我们便称这个点“极限点”，称这类集合为“开集”。
从人生意义上来说，开集们表现得十分励志：不像它的弟兄闭集，把出去的路全都封死了，普通点极限点都给老子老老实实待在肚子里，开集则告诉大家：路在脚下：只要追随极限点，飞跃的光芒就在前方！可科学往往相悖于直觉。在实际操作中，大家却不愿意看到开集的身影。在欧几里得空间里，开集一定不紧。所以每当开集带着他的励志点点们出现在我们的视线中时，紧集的许多有益身心健康的定理与结论都无法应用，闹得学生们，特别是经济系的学生们抓耳挠腮思前想后，直想着挠出一个条件开集变闭集。好让集合上面那传说中的连续函数的最值点别恰好是天人相隔的极限点。
不幸的是，开集不进在草稿纸上祸害同学，还在现实生活中大展拳脚。张俊山老先生曾经在园阶举过这么一个例子：
“一开始是出去上个厕所，书包暂时放在位置上，这很正常；之后是人还没到，书就占着地儿，这就有点不对劲了；再之后，人想，既然都得放书，我干嘛不放没用的书？于是什么读者什么的都出现了；发展到现在，干脆连书都不要了，我就贴个条吧。”
张老先生根据自己的学科背景，把这个现象叫做“异化”，指的是原来一个很正常、很合理的事情慢慢就变得不正常、不合理了。但我们不妨套用一下开集的概念，就会发现在“占座”这一列点上，存在着那么一个点“嘣”一下越过了合理这一开集的禁区，实现了质的飞跃，为占座事业做出了突出的贡献，使其进化成最终形态，贴条占座。
不单单是贴条占座，传谣也是在“真实”这么一个开集上飞跃出来的。举一个极端的例子，A跟B说彩票中了两块钱，转天A正吃这火锅，Z跑过来就是一句，你小子中了两亿？当然，现实生活中这情况基本不会发生，但“死亡35人”、“秋裤的故事”等等极限点们实在显示不出其原有励志色彩，反而时不时透出几股阴森的气息。
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2013年5月30日 - 每個點的一個”附近”(鄰域)總是可以指定一種座標(觀察者區域有效的刻度量尺所訂出來的，對"附近"包括的事件點都有效) 3.不同坐標之間的轉換是" ...
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2013年2月2日 - 這裏，重正化的意思是簡單統一場論是局部可重正的，用微分幾何的話說，在切空間的一個鄰域內是可以重正的。註意，簡單統一場論是一次量子化
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2013年10月3日 - 拉普拉斯算子可以将其滤波邻域范围内变化较为缓慢或相同的数值做 ... 标架表述就是将GR 的对称群从微分同胚群扩张到该群与局域洛伦兹群的半.
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2013年10月6日 - 拉普拉斯算子可以将其滤波邻域范围内变化较为缓慢或相同的数值做 ... 正交标架表述就是将GR 的对称群从微分同胚群扩张到该群与局域洛伦兹群 ...
呵呵，您的话直接就引到关键点上的，突然发现您非常的敏锐。
规范场的微分形式和积分形式并不等价，当然这只是在一类很特殊的情形才出现的状况。现在请恕我卖个关子，因为我的文章还没有刊登出来。以后我会来讨论这个问题的。
到时候希望得到您的指教。
http://bbs.big5.voc.com.cn/topic-3434194-17-1.html
http://tieba.baidu.com/p/1127509529?pn=3
http://spe.sysu.edu.cn/course/course/4/build/Mathr.htm
3.2量子力學公理化體係的內在邏輯分析
與牛頓的經典力學體係類似，量子力學是在波粒二象性物質觀的基礎上，把波函數假設、算符假設、測量公設、薛定諤方程和全同性原理看做基本假設建立起來的。當然也有學者對此有一些不同的看法[15]。
我們知道，量子力學的基本出發點是能量量子化，由海森堡(Heisenberg)不確定原理可知空間和時間具有最小單元，就無法對芝諾的第三個和第四個悖論做出合理的解釋。
我們也知道，按照量子力學原理的“哥本哈根”解釋，包括波函數統計解釋、波函數塌縮、不確定原理和互補原理四個方麵[16]，其中波函數統計解釋是指波函數絕對值的平方|Ψ（r，t）|^2表示在t時刻r位置附近單位體積內找到粒子的概率，而相因子的不確定性卻並不引起量子力學體係物理狀態的改變。但阿哈朗諾夫(Aharonov) -玻姆(Bohm)效應和阿哈朗諾夫—凱瑟爾(Casher)效應等一些實驗卻表明相因子也具有物理效應[17]。這樣看來，波函數統計解釋並沒有窮盡量子力學的規律，本質上應該是不完備的[18]。另一方麵，由於這樣的解釋本質上是非定域的，愛因斯坦等人於1935年提出EPR悖論進行詰難，引起愛因斯坦與玻爾(Bohr)之間的長期論戰，人們也逐步發展起量子力學的多種解釋[161。
“關於量子力學解釋，你更相信哪一種？”1999年7月，英國劍橋大學牛頓研究所對到訪的理論物理學家進行了一次調查結果如表1所示[19]。
表1 關於量子力學解釋的調查結果
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
量子力學解釋 投票數(90)
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哥本哈根解釋 4
多世界解釋/一致曆史 30
隱參量解釋 2
修正的量子動力學 4
其他解釋（括未決定者） 50
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這樣看來，你到底相信哪一種，完全取決於你自己。物理學家是很實用型的，他們隻專注於量子理論的應用，而根本不顧及其基礎是否堅實可靠。
3.3粒子物理標準模型的內在邏輯分析
哥德爾不完備性定理也意味著從來就沒有既自洽又完備的終極理論，我們物理學追求物理學理論的統一已經做了哪些工作，還存在什麼問題呢？
粒子物理的標準模型是涉及當今世界技術能達到的最小尺度的微觀規律的理論，也是可重整的理論，它包含弱電統一理論和量子色動力學兩個方麵，是目前關於粒子物理最成功的理論。但它還不能稱為真正的統一理論，因為弱電統一理論不僅包含兩個獨立的規範群和兩個獨立的耦合常數，而且其中起關鍵作用的希格斯(Higgs)機製也未經證實，這涉及對稱性破缺的本質問題。而量子色動力學是最有希望的強相互作用理論，但也隻能定性地解釋漸近自由現象，這涉及誇克禁閉的疑難[20-22]。而對稱性破缺的本質和誇克禁閉的疑難正是粒子物理學麵臨的兩大難題，也是最核心的兩個問題，所以粒子物理的標準模型取得巨大成功並不能掩蓋其本質問題的困惑，正如同牛頓力學取得了巨大的成功不能掩蓋其邏輯基礎的內在矛盾一樣。
3.4大統一理論的內在邏輯分析
在規範理論的基礎上，人們設想把弱、電磁和強三種基本相互作用統一起來，這稱為大統一理論。在幾個最簡單並且有吸引力的大統一模型中，有SU (5)模型、SO (10)模型和E6模型等，其中SU (5)模型是能容納粒子物理標準模型的最簡單的擴充。這些統一理論都可以對三種基本相互作用的統一給出較好地分析和解釋，但它們也存在一些基本的問題，最重要的是規範等級問題，還有“沙漠”問題、磁單極子問題等等，SU (5)模型預言的質子衰變也尚無明確的實驗證據。雖然這些問題都可以通過修改模型而彌補，但模型就會變得很複雜，因而減少了吸引力，到現在為止還沒有一個唯象上滿意的模型。通過引入超對稱性而構造的超對稱大統一理論雖然比較好，但也存在類似的問題[23]。
3.5超大統一理論和弦理論的內在邏輯分析
比大統一理論更迸一步的想法是把引力作用也和弱、電磁、強相互作用在規範理論的基礎上統—起來，但由於引力子是點粒子，沒有辦法在傳統規範理論的框架下實現引力場的重整化問題。
對於弦理論，它假設物質的基元是弦，而非點粒子。將超對稱弦理論和超引力理論結合，就產生了超弦理論。超弦理論是目前量子引力的唯一候選者，它沒有紫外發散，弦的振動譜也自動包含了引力子[24-25]。但是，它也存在不少需要解決的問題。首先，弦理論是一個10維時空而不是4維時空的自洽的理論，而由10維時空到4維時空的緊致化方式有上百萬種，究竟其中哪一個反映自然界的真實變化？其次，自洽的超弦理論還存在5種不同的弦理論，即I型弦理論、IIA型弦理論、IIB型弦理論、SO(32)雜化弦理論和E8×E8雜化弦理論，它們盡管可以通過對偶性聯係起來，但這種對偶性的數學基礎還遠沒有建立起來。所以，客觀來說，這個理論所麵臨的問題還有很多。
4、結語
可見，任何一個物理學的知識體係，從芝諾悖論和自洽性及完備性的方麵來考察，總有不盡完美的地方，這就是哥德爾不完備性定理給我們設定的極限！從這個角度考察問題，我們的思維會更豐富一些，我們的認識會更深刻一些。這正是科學發展的內在動力[26]！
當然，我們這樣處理的前提是沿著希爾伯特的思路假設物理學知識體係是可以公理化的，才能進一步考察它的自洽性及完備性方麵的問題。如果物理學知識體係本身不可以公理化，或者公理化的方法隻是近似有效，或者物理學知識體係本身不是嚴格的邏輯體係，不受芝諾悖論和哥德爾不完備性定理的約束，我們的分析就不具有絕對的意義。畢竟，截止目前為止的幾乎所有實驗，並不存在與相對論和量子力學的一般結論有直接矛盾的地方。
所以，物理學是一門實驗學科，邏輯基礎是它的一個重要基礎，而實驗基礎則是其更重要的基礎。在與實驗相符合的過程中現代物理學逐步發展和深化，也預示著它在一步一步地接近真理，這也正是哥德爾先生所期待的科學精神——形式邏輯係統永遠不可完備，但永遠可更完備
一個粒子的自旋為0，這個粒子就好象一個數學上的點，無論怎麼轉動，或是不轉動，在任何方向看都對稱性不變!點還是那個點。這就相當於笛卡爾數學坐標係上的實數點，無限稠密亦無限稀疏。在物理上它就是一個沒有方向性的標量，由坐標量決定的一個場f（x，y，z）也即標量場。所以，由此定義下的希格斯粒子也是一個由標量粒子決定的標量場。如果回顧早期物理學關於“以太”的定義，你就會發現，希格斯粒子就是“以太”粒子，希格斯場也就是“以太”場。在物理機理上，引力子及引力場，希格斯粒子以及希格斯場的相比較，希格斯粒子是使得標準模型質量為0的粒子獲得質量，而引力子則是使得兩個具有質量的物質，發生引力相互作用。
不知道为什么看到您下面的那只猫就想笑。
wilson loop和杨振宁教授的论文是独立发表的，有趣的是两者有着惊人的契合度。至少您已经指出了积分形式的不同点，只是说的含蓄，拓扑上的关系。
当然，您只是指出了其中一点，以后我会来补充另外的部分。到时候希望讨论的热烈一些，因为那时候的讨论肯定会涉及到三个人，牛顿、麦克斯韦和爱因斯坦。
数学预备（1） ——矢量、坐标系、立体角与重积分 （教材P112）
物理量分类: 标量，矢量和张量 (scalars ,vectors and tensors)
标量（0阶张量）——无空间取向，只需要一个数值即可表示的量。
例如，长度，时间，质量，能量，电势（电
矢量（1阶张量）——有一定的空间取向的量，在一般的三维欧氏空间中，这类量可分解为3 个有序分量。例如，质点 的位置矢量，速度，动量，角动量;电场强度，磁电场强度，等。
二阶张量——这类量有着比矢量更复杂的空间取向，在一般的三维欧氏空间中，二阶张量可分解为9 个有序分量。
例如，刚体的转动惯量，电荷系统的四极矩，等。还可以定义更高阶的张量
矢量表示
印刷——用黑体字母，如 r , A
书写——在字母上方加一箭头
1 .矢量的点乘和叉乘
(1)矢量的点乘（标积）:矢量 A与B 的点乘定义为标量A·B =AB cosq 
非黑体的A和B，分别表示矢量A和B的数值，q 是两矢量的夹角.按此定义，显然有
A·B = B·A （矢量的标积满足交换律） 正值
当0 ￡ q < p / 2 A·B = 0
当q = p / 2 （两矢量正交） 负值 当 p / 2 < q ￡ p
(2)矢量的叉乘（矢积）:矢量 A与B 的叉乘定义为矢量C = A×B
其值为A·B =AB sin q
即等于以这两个矢量的长度为邻边构成的平行四边形的面积
规定：作为运算结果的矢量C ，垂直于A和B 构成的平面，其方向遵从右手螺旋规则——
设想 A 沿q 角（小于p ）旋转到 B（以右手弯曲的四指表示旋转方向），
则螺旋前进的方向（右手母指的方向）就是C 的方向.按此规定，显然有
设想 A 沿q 角（小于p ）旋转到 B（以右手弯曲的四指表示旋转方向），
则螺旋前进的方向（右手母指的方向）就是C 的方向.按此规定，显然有
A×B = -- B×A （矢量的矢积不满足交换律）
而且,当q =0 或 p，即两个矢量同向或反向时，矢积为零：A×B = 0
2.坐标系、立体角（教材P117）和重积分
（1）直角坐标系（笛卡儿坐标系）
沿三个坐标轴正方向的单位基矢： 
任一点P的坐标： 
P点的位置矢量：（x, y, z）
P点处任一矢量：
沿三个基矢方向的无限小线元为:dl1 = dx, dl2 = dy, dl3=dz
与三个基矢正交的无限小面积元为:
dS1 = dl2dl3 = dydz
dS2 = dl3dl1 = dzdx
dS3 = dl1dl2 = dxdy
dS2 = dl3dl1 = dzdx
dS3 = dl1dl2 = dxdy
无限小体积元为dV = dl1 dl2 dl3 = dxdydz
（2） 一般的曲线正交坐标系
除了直角坐标系之外，我们还常常根据具体问题的需要，采用曲线正交坐标系，例如球坐标系和圆柱坐标系.
对于一般的曲线正交坐标系，空间任一点P的坐标以(u1 ,u2 ,u3)表示，沿u1 ,u2 ,u3 三个坐标增加方向的基矢量
互相正交.
互相正交.
一般地，随 P点位置变动，三个基矢的方向将发生改变.
沿此三个方向的无限小线元为dl1 = h1du1 dl2 = h2du2 dl3 = h3du3
h1 ,h2 ,h3 称为度规系数，一般是坐标 (u1 ,u2 ,u3)的函数.
P点上的矢量F 可以分解为 
(3)球坐标系
任一点P 的坐标为: u1 = r ,u2 =q ,u3 =f
r ——P点离坐标原点O的距离，变化范围：0≤r <∞
q——O与P的连线与 z 轴（极轴）的夹角，称为极角，变化范围：0≤q ≤p
f ——O与P’ 的连线对x 轴的夹角，其中P’是P点在xy平面的投影，
f 也称为P点的方位角，变化范围：0≤f ≤2p
P为原点建立的球坐标系基矢:
分别沿三个坐标增加的方向
P点的直角坐标 （ x, y, z ）与球坐标 ( r, q , f ) 的变换关系为
x = r sinq cos f , y = r sinq sin f , z = r cosq
当坐标有无限小增量dr，dq , df , 则三个无限小线元为
dl1 =dr , dl2 = r dq ,dl3 = r sinqdf
三个度规系数为
h1 =1, h2 = r, h3 = rsin q
以r为半径的球面元为
dS = dl2dl3 = r2 sinq dqdf = r2dW
其中，dW 称为dS对O点张开的立体角元
将d W 对任意半径的球面积分，均得到
事实上，由于dS1 和dS2 对O点的立体角元相等，故容易证明：
任意闭合曲面S 对其内部任意一点所张的立体角均为4p.
由于球面元 dS = r2dW，故半径 r =a 的球面积
无限小体积元为
d V = dl1 dl2 dl3 =r2 sinq dr dq df = r2drdW
将dV对半径为a 的球体积分，给出此球的体积
问题：内、外半径分别a 和b为的球壳体积是多少？
(4)圆柱坐标系
任意一点P的坐标为 u1 = r , u2 = f , u3 = z .
坐标变化范围： 0 ≤ r <∞ , 0 ≤ f ≤ 2p , -∞ < z <+∞
以P为原点建立的正交坐标系，沿三个坐标增增加方向的基矢量为
P的坐标(r ,f , z)与(x ,y ,z)的变换为
x = r cosf ， y = rsinf ， z = z
当坐标有无限小增量dr，df ，dz , 则三个无限小线元为
dl1 = dr ， dl2 = rdf ， dl3 = dz
三个度规系数为h1 = 1 , h2 = r , h3 = 1
圆柱侧面的面积元为
dS r = dl2 dl3 = r d f dz
半径为 r= a ，长为 l 的圆柱侧面积为 
圆柱端面的面积元为
dSz = dl1 dl2 = r drdf
无限小体积元为
d V = dl1 dl2 dl3= r drdfdz
半径为a，长为 l 的圆柱体积为
内外半径分别为a和b ，长为 l 的圆柱壳体积是多少？
数学预备（2） ——矢量分析简介 （教材P845）
经典场 (classical fields) 概念
如果一个物理量是空间坐标的函数（连续的或存在间断点的），我们就把这个物理量在空间的分布看成一个“场”.
如果一个物理量是空间坐标的函数（连续的或存在间断点的），我们就把这个物理量在空间的分布看成一个“场”.
例如
温度场——温度在空间或物体内的分布函数T（x,y,z），这是标量场
流速场——流体的速度分布分布函数v (x,y,z ) ，这是矢量场
如果温度和流速的分布还与时间t 有关，那么它们就都是空间和时间的函数：
T = T （x,y,z，t ）
v = v (x,y,z, t )
v = v (x,y,z, t )
电磁场
经典电磁理论把传递电磁作用的物质，看成是“连续分布的物质”，这种物质就是电磁场
电磁场由带电物质产生，并以下面的物理量描述：
电场强度分布函数 E(x,y,z)
磁感应强度分布函数B(x,y,z ) ,或磁场强度分布函数H(x,y,z)
两者都属于矢量场
也可用标势和矢势描述电磁场
标势分布函数φ(x,y,z) 构成标量场（或以U表示）
矢势分布函数A（x,y,z）构成矢量场
在相对论电动力学中，电场强度E 和磁感应强度B，统一成电磁场张量.
以后，我们都用某点的位矢r 表示这点的坐标(x,y,z,).如E(x,y,z) = E(r)
标量场的梯度（gradient of a scalar field）
在直角坐标系中，无限接近的两点P与P'之间，线元矢量dl分解为
标量场φ 在P点的值：φ（ r）
在P'点的值：φ(r +dr)
在这两点之间，φ的无限小增量——全微分为
我们称
为标量场φ在P点的梯度，它是一个矢量. φ在所有点上的梯度构成矢量场
我们看到，微分算符（读作“del” ）
具有矢量性质,
它作用于标量函数 f 的结果，变成一个矢量函数.
若P'与P两点处于标量场φ的同一等值面，即线元矢量dl沿此等值面的切向，此时dφ=0，这意味着P点上的矢量 必定沿等值面的法向.
仅当线元矢量dl与此等值面的法向一致，即dl = dn时，dφ才有最大值：
大家将看到，某点上电势（或称电位）函数U 的梯度之负值，等于该点的电场强度E (矢量函数) ：
在球坐标系中，标量场φ的梯度
而在圆柱坐标系中
微分算符对矢量函数E 的有两种运算方式:
E 的散度（divergence）：
是一个标量
E 的旋度（rotation, 或curl）
则是一个矢量
高斯定理和斯托克斯定理
高斯定理： 对任意闭合曲面S及其包围的体积V，下述积分变换定理成立：
左方表示矢量场A通过闭合曲面S 的净通量（net flux）
右方表示矢量场A在V 内所有点的散度对V 的体积分
规定：闭合曲面面积元矢量dS 沿曲面的外法线方向
斯托克斯定理： 对任意的闭合路径L所围的曲面S，下述积分变换成立:
右方表示矢量场A在曲面S所有点的旋度通过S的通量（ flux）
规定：无限小的闭合路径L围成的面积元矢量dS ， dS的方向与路径L的绕行方向成右手螺旋关系
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