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微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。
发展 十九世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并于1807年出版了他的《分析在几何学上的应用》一书，这是微分几何最早的一本著作。在这些研究中，可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素。
微分几何1827年，高斯发表了《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。 1872年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，用变换群对已有的几何学进行了分类。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展。 后期应用 随后，由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科。
微分几何1827年，高斯发表了《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。 1872年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，用变换群对已有的几何学进行了分类。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展。 后期应用 随后，由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科。
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基本内容 微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。
在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。
微分几何在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。 在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。
实际应用 近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面整体性质的研究，使微分几何学同黎曼几何、拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系，这些数学部门和微分几何互相渗透，已成为现代数学的中心问题之一。 微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微分几何学的理论。
微分几何在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。 在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。
实际应用 近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面整体性质的研究，使微分几何学同黎曼几何、拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系，这些数学部门和微分几何互相渗透，已成为现代数学的中心问题之一。 微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微分几何学的理论。
其它数学分支学科 算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学、控制理论
微分几何学 应用微分学来研究三维欧几里得空间中的曲线、曲面等图形性质的数学分支。差不多与微积分学同时起源于17世纪。单变量函数的几何形象是一条曲线，函数的导数就是曲线切线的斜率。函数的积分在几何上则可理解为一曲线下的面积等等。这种把微积分应用于曲线、曲面的研究，实质上就是微分几何学的开端。L.欧拉、G.蒙日、J.L.拉格朗日以及A.-L.柯西等数学家都曾为微分几何学的发展作出过重要贡献。与此同时，曲面内蕴几何等崭新的思想也在不断地产生并积累着。在此基础上，C.F.高斯奠定了曲面论基础，并使微分几何学成为一门新的数学分支。按F.克莱因变换群几何的分类方法来看，微分几何学应属于运动群，所以也称为运动几何学或初等微分几何学。
微分几何学的研究对数学其他分支以及力学、物理学、工程学等的影响是不可估量的。如：伪球面上的几何与非欧几何有密切关系；测地线和力学、变分学、拓扑学等有着深刻的联系，是内容丰富的研究课题。这方面有以J.阿达马、H.庞加莱等人为首的优异研究。极小曲面是和复变函数论、变分学、拓扑学关系极为深刻的研究领域，K.魏尔斯特拉斯、J.道格拉斯等人作出过卓越贡献。
微分几何学的研究工具大部分是微积分学。力学、物理学、天文学以及技术和工业的日益增长的要求则是微分几何学发展的重要因素。尽管微分几何学主要研究三维欧几里得空间中的曲线、曲面的局部性质，但它形成了现代微分几何学的基础则是毋庸置疑的。因为依赖于图形的直观性及由它进行类推的方法，即使在今天也未失其重要性。
“微分几何”相关词条：
物理射影几何椭圆函数解析数论数学建模复变函数计算机辅助几何设计概率统计非欧几里得几何解析几何代数几何模糊数学数学史数学物理拓扑计算数学微分流形泛函分析拓扑学复变函数论偏微分方程常微分方程组合数学几何基础泛函动力系统代数学数学分析实变函数图论代数
物理射影几何椭圆函数解析数论数学建模复变函数计算机辅助几何设计概率统计非欧几里得几何解析几何代数几何模糊数学数学史数学物理拓扑计算数学微分流形泛函分析拓扑学复变函数论偏微分方程常微分方程组合数学几何基础泛函动力系统代数学数学分析实变函数图论代数
微分几何研究微分流形的几何性质，是现代数学中一主流；是广义相对论的基础，与拓扑学、代数几何及理论物理关系密切。古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。欧拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。近代微分几何的创始人是黎曼，他在1854年创立了黎曼几何（实际上黎曼提出的是芬斯勒几何），这成为近代微分几何的主要内容，并在相对论有极为重要的作用。埃利·嘉当和陈省身等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。
目录 [隐藏]
1 内在对外在
2 技术要求
3 分支
4 外部链接
5 参考书目
[编辑] 内在对外在从一开始到19世纪中叶，微分几何是从外在观点来进行研究的：曲线和曲面是被放在更高维欧几里得空间中来考虑的（譬如曲面被放在三维的背景空间中）。其中的最简单的成果就是曲线微分几何中的结果。内在观点开始于黎曼的工作，在那里因为几何对象被认为是独立的给出的，所以不能说移到外面来考虑这个对象。内在的观点更加灵活，例如在相对论中时空不能很自然的用外在形式表示。但用内在的观点，曲率和联络这样的结构比较难定义一些，所以采用内在的观点也不是没有代价的。这两种观点也是可以融通的，即外在几何可以被看作是附加于内在几何上的结构。（见纳什嵌入定理） [编辑] 技术要求微分几何的工具也就是流形上的微积分：包括对于流形，切丛，余切丛，微分形式，外微分，p-形式在p维子流形上的积分以及斯托克斯定理，楔积，和李导数的研究。这些都和多变量微积分相关；但对于几何上的应用来讲，必须发展一种在某种意义上和特定坐标系无关的方法。微分几何的特殊概念可以说是那些体现几何本质的二阶导数：曲率的很多表现方式。可微流形是一个拓扑空间，它有一个开覆盖，其中的每个开集同胚于Rn中的一个开单位球。并且，如果f,g是其中两个同胚映射，则函数
无限可微。我们称一个函数无限可微，如果它和每个同胚的复合是从开球到R的无限可微函数。在流形的每一点，有一个该点的切空间，它由每个从该点离开进行运动的所有可能的速度(方向和大小)所组成。对一个n维流形，每点的切空间是一个n维向量空间，或者说是一个Rn。切空间有多种定义。其中一个是作为所有在该点取值为0的函数组成的线性空间的对偶空间，除以
所有取值为0
并且一阶导数为0的函数空间（所得到的余空间）。导数为0可以定义为“和任何可微的从实数到该流形的函数的复合的导数为0”，因而只需要用到可微性。向量场是从流形到它的切空间的并集（切丛）的函数，在每一点所取的值是该点的切空间的一个元素。这样的映射称为纤维丛的截面。
向量场可微，如果该向量场应用到每个可微函数都得到一个可微函数。向量场可以看作是时不变的微分方程组。从实数到流形的可微函数是流形上的曲线。这给了一个从实数到切空间的函数:曲线上每点的速度。一条曲线称为一个向量场的一个解，如果曲线每点的速度和向量场在该点的值相等。交错k维线性形式是向量空间V的对偶空间V*的反对称k阶向量积的一个元素。k微分形式就是在流形的每一点选取一个这样的交错k形式--V在这里就是该点的切空间。如果它作用在k个可微向量场上的结果是流形上的一个可微函数，则称它可微。体积形式是维数和流形相同的微分形式。
1 内在对外在
2 技术要求
3 分支
4 外部链接
5 参考书目
[编辑] 内在对外在从一开始到19世纪中叶，微分几何是从外在观点来进行研究的：曲线和曲面是被放在更高维欧几里得空间中来考虑的（譬如曲面被放在三维的背景空间中）。其中的最简单的成果就是曲线微分几何中的结果。内在观点开始于黎曼的工作，在那里因为几何对象被认为是独立的给出的，所以不能说移到外面来考虑这个对象。内在的观点更加灵活，例如在相对论中时空不能很自然的用外在形式表示。但用内在的观点，曲率和联络这样的结构比较难定义一些，所以采用内在的观点也不是没有代价的。这两种观点也是可以融通的，即外在几何可以被看作是附加于内在几何上的结构。（见纳什嵌入定理） [编辑] 技术要求微分几何的工具也就是流形上的微积分：包括对于流形，切丛，余切丛，微分形式，外微分，p-形式在p维子流形上的积分以及斯托克斯定理，楔积，和李导数的研究。这些都和多变量微积分相关；但对于几何上的应用来讲，必须发展一种在某种意义上和特定坐标系无关的方法。微分几何的特殊概念可以说是那些体现几何本质的二阶导数：曲率的很多表现方式。可微流形是一个拓扑空间，它有一个开覆盖，其中的每个开集同胚于Rn中的一个开单位球。并且，如果f,g是其中两个同胚映射，则函数
无限可微。我们称一个函数无限可微，如果它和每个同胚的复合是从开球到R的无限可微函数。在流形的每一点，有一个该点的切空间，它由每个从该点离开进行运动的所有可能的速度(方向和大小)所组成。对一个n维流形，每点的切空间是一个n维向量空间，或者说是一个Rn。切空间有多种定义。其中一个是作为所有在该点取值为0的函数组成的线性空间的对偶空间，除以
所有取值为0
并且一阶导数为0的函数空间（所得到的余空间）。导数为0可以定义为“和任何可微的从实数到该流形的函数的复合的导数为0”，因而只需要用到可微性。向量场是从流形到它的切空间的并集（切丛）的函数，在每一点所取的值是该点的切空间的一个元素。这样的映射称为纤维丛的截面。
向量场可微，如果该向量场应用到每个可微函数都得到一个可微函数。向量场可以看作是时不变的微分方程组。从实数到流形的可微函数是流形上的曲线。这给了一个从实数到切空间的函数:曲线上每点的速度。一条曲线称为一个向量场的一个解，如果曲线每点的速度和向量场在该点的值相等。交错k维线性形式是向量空间V的对偶空间V*的反对称k阶向量积的一个元素。k微分形式就是在流形的每一点选取一个这样的交错k形式--V在这里就是该点的切空间。如果它作用在k个可微向量场上的结果是流形上的一个可微函数，则称它可微。体积形式是维数和流形相同的微分形式。
分支
黎曼几何 黎曼几何以黎曼流形为主要研究对象— 有额外结构的光滑流形，他们因此无穷小得看起来像欧几里得空间。这使得欧几里得几何的诸如函数的梯度，散度，曲线的长度等概念得到了推广；而无须假设空间整体上有这么对称。
复几何 研究的对象是复流形。这是一类有着可积的近复结构的微分流形。因为非奇异的复代数簇自然的是复流形，因此与复代数几何有着紧密的联系。
辛几何 这是研究辛流形的学科。一个辛流形是带有辛形式（也就是，一个闭的非退化2-形式）的微分流形。
切触几何 这是辛几何在奇数维上的对应物。大致来说，在(2n+1)微流形上的切触结构是一个1-形式α使得
处处非退化。
芬斯勒几何 芬斯勒几何以芬斯勒流形为主要研究对象— 这是一个有芬斯勒度量的微分流形，也就是切空间被赋予了巴拿赫范数。芬斯勒度量是比黎曼度量一般得多的结构。 [编辑] 外部链接 A Modern Course on Curves and Surface, Richard S Palais, 2003 Richard Palais's 3DXM Surfaces Gallery
参考书目 1. Michael Spivak (1999)， A Comprehensive Introduction to Differential Geometry，(5 Volumes),3rd Edition. 2. Manfredo Do Carmo (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall. 3. Manfredo Perdigao do Carmo, Francis Flaherty (1994), Riemannian Geometry. 4. John McCleary (1994), Geometry from a Differentiable Viewpoint 5. Ethan D. Bloch (1996), A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry 6. Alfred Gray (1998), Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed.
黎曼几何 黎曼几何以黎曼流形为主要研究对象— 有额外结构的光滑流形，他们因此无穷小得看起来像欧几里得空间。这使得欧几里得几何的诸如函数的梯度，散度，曲线的长度等概念得到了推广；而无须假设空间整体上有这么对称。
复几何 研究的对象是复流形。这是一类有着可积的近复结构的微分流形。因为非奇异的复代数簇自然的是复流形，因此与复代数几何有着紧密的联系。
辛几何 这是研究辛流形的学科。一个辛流形是带有辛形式（也就是，一个闭的非退化2-形式）的微分流形。
切触几何 这是辛几何在奇数维上的对应物。大致来说，在(2n+1)微流形上的切触结构是一个1-形式α使得
处处非退化。 芬斯勒几何 芬斯勒几何以芬斯勒流形为主要研究对象— 这是一个有芬斯勒度量的微分流形，也就是切空间被赋予了巴拿赫范数。芬斯勒度量是比黎曼度量一般得多的结构。 [编辑] 外部链接 A Modern Course on Curves and Surface, Richard S Palais, 2003 Richard Palais's 3DXM Surfaces Gallery
参考书目 1. Michael Spivak (1999)， A Comprehensive Introduction to Differential Geometry，(5 Volumes),3rd Edition. 2. Manfredo Do Carmo (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall. 3. Manfredo Perdigao do Carmo, Francis Flaherty (1994), Riemannian Geometry. 4. John McCleary (1994), Geometry from a Differentiable Viewpoint 5. Ethan D. Bloch (1996), A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry 6. Alfred Gray (1998), Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed.
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黎曼几何 维基百科，自由的百科全书（重定向自黎曼几何）跳转到： 导航, 搜索 微分几何中，黎曼几何研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空间上二次形式的选择。它特别关注于角度、弧线长度及体积。把每个微小部分加起来而得出整体的数量。 19世纪，波恩哈德·黎曼把这个概念加以推广。两个非欧几里得几何的特例是：球面几何和双曲几何。任意平滑流形容许黎曼度量及这个额外结构帮助解决微分拓扑问题。它成为伪黎曼流形复杂结构的入门。其中大部分都是广义相对论的四维研究对象。研究黎曼几何先要熟悉以下主题：
度量张量
黎曼流形
列维-奇维塔联络
曲率
曲率张量 有用文章:
微分几何主题列表
黎曼及度量几何词表 目录 [隐藏]
1 黎曼几何古典理论
1.1 一般理论
1.2 理论
1.2.1 受限截面曲率
1.2.2 正曲率
1.2.2.1 正截面曲率
1.2.2.2 正里奇曲率
1.2.2.3 数量曲率
1.2.3 负曲率
1.2.3.1 负截面曲率
1.2.3.2 负里奇曲率
2 参考
[编辑] 黎曼几何古典理论以下是部分的黎曼几何古典理论。 [编辑] 一般理论
高斯-博内定理：紧致 2 维黎曼流形上高斯曲率的积分等于 这里的 记作M的欧拉示性数。
纳什嵌入定理(两个)被称为黎曼几何的基础理论。 他们表明每个黎曼流形可以是嵌入欧几里得空间 Rn. [编辑] 理论在所有以下定理中，我们用空间的局部行为(通常用曲率假设表述)来推出空间的整体结构的一些信息，包括流形的拓扑类型和"足够大"距离的点间的关系。 [编辑] 受限截面曲率
1/4-受限 球定理. 若M是完备n-维黎曼流形，其界面曲率严格限制于1和4之间，则M同胚于n-球。
Cheeger's 有限定理. 给定常数C和D，只有有限个(微分同胚的流形算作一个)紧n-维黎曼流形，其截面曲率 并且直径。
Gromov的几乎平坦流形. 存在一个 使得如果一个n-维黎曼流形其度量的截面曲率 且直径，则其有限覆盖微分同胚于一个零流形. [编辑] 正曲率 [编辑] 正截面曲率
灵魂定理 若M是一个不紧的完备正曲率n-维黎曼流形，则它微分同胚于Rn.
Gromov的贝蒂数定理 有一个常数C=C(n) 使得若M是一个由正截面曲率的紧连通n-维黎曼流形，则它的贝蒂数之和不超过C. [编辑] 正里奇曲率
Myers定理. 若一个紧黎曼流形有正Ricci曲率则它的基本群有限。
分裂定理. 若一个完备的n-维黎曼流形有非负Ricci曲率和一条直线(在任何区间上的距离都极小的测地线)则它等度同胚于一条实直线和一个有非负Ricci曲率的完备(n-1)-维黎曼流形的直积。
Bishop's 不等式. 半径为r的球在一个有正Ricci曲率的完备n-维黎曼流形中的体积不超过欧几里得空间中同样半径的球的体积。
Gromov's紧致性定理. 所有正Ricci曲率且直径不超过D的黎曼流形在Gromov-Hausdorff度量下是仿紧的。 [编辑] 数量曲率
n-维环不存在有正数量曲率的度量。
若一个紧n-维黎曼流形的单射半径，则数量曲率的平均值不超过n(n-1)。 [编辑] 负曲率 [编辑] 负截面曲率
任何有非正截面曲率的单连通黎曼流形的两点有唯一的测地线连接。
若M是一个有负截面曲率的完备黎曼流形，则基本群的任何可交换子群同构于整数群Z。
设V*是一-rank2的紧致不可约局部对称空间，设V是一截面曲率的紧致黎曼流形，若，且，则与等距。 [编辑] 负里奇曲率
任何有负里奇曲率的紧黎曼流形有一个离散的等距同胚群。
任何光滑流形可以加入有负里奇曲率的黎曼度量。
黎曼几何 维基百科，自由的百科全书（重定向自黎曼几何）跳转到： 导航, 搜索 微分几何中，黎曼几何研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空间上二次形式的选择。它特别关注于角度、弧线长度及体积。把每个微小部分加起来而得出整体的数量。 19世纪，波恩哈德·黎曼把这个概念加以推广。两个非欧几里得几何的特例是：球面几何和双曲几何。任意平滑流形容许黎曼度量及这个额外结构帮助解决微分拓扑问题。它成为伪黎曼流形复杂结构的入门。其中大部分都是广义相对论的四维研究对象。研究黎曼几何先要熟悉以下主题：
度量张量
黎曼流形
列维-奇维塔联络
曲率
曲率张量 有用文章:
微分几何主题列表
黎曼及度量几何词表 目录 [隐藏]
1 黎曼几何古典理论
1.1 一般理论
1.2 理论
1.2.1 受限截面曲率
1.2.2 正曲率
1.2.2.1 正截面曲率
1.2.2.2 正里奇曲率
1.2.2.3 数量曲率
1.2.3 负曲率
1.2.3.1 负截面曲率
1.2.3.2 负里奇曲率
2 参考
[编辑] 黎曼几何古典理论以下是部分的黎曼几何古典理论。 [编辑] 一般理论
高斯-博内定理：紧致 2 维黎曼流形上高斯曲率的积分等于 这里的 记作M的欧拉示性数。
纳什嵌入定理(两个)被称为黎曼几何的基础理论。 他们表明每个黎曼流形可以是嵌入欧几里得空间 Rn. [编辑] 理论在所有以下定理中，我们用空间的局部行为(通常用曲率假设表述)来推出空间的整体结构的一些信息，包括流形的拓扑类型和"足够大"距离的点间的关系。 [编辑] 受限截面曲率
1/4-受限 球定理. 若M是完备n-维黎曼流形，其界面曲率严格限制于1和4之间，则M同胚于n-球。
Cheeger's 有限定理. 给定常数C和D，只有有限个(微分同胚的流形算作一个)紧n-维黎曼流形，其截面曲率 并且直径。
Gromov的几乎平坦流形. 存在一个 使得如果一个n-维黎曼流形其度量的截面曲率 且直径，则其有限覆盖微分同胚于一个零流形. [编辑] 正曲率 [编辑] 正截面曲率
灵魂定理 若M是一个不紧的完备正曲率n-维黎曼流形，则它微分同胚于Rn.
Gromov的贝蒂数定理 有一个常数C=C(n) 使得若M是一个由正截面曲率的紧连通n-维黎曼流形，则它的贝蒂数之和不超过C. [编辑] 正里奇曲率
Myers定理. 若一个紧黎曼流形有正Ricci曲率则它的基本群有限。
分裂定理. 若一个完备的n-维黎曼流形有非负Ricci曲率和一条直线(在任何区间上的距离都极小的测地线)则它等度同胚于一条实直线和一个有非负Ricci曲率的完备(n-1)-维黎曼流形的直积。
Bishop's 不等式. 半径为r的球在一个有正Ricci曲率的完备n-维黎曼流形中的体积不超过欧几里得空间中同样半径的球的体积。
Gromov's紧致性定理. 所有正Ricci曲率且直径不超过D的黎曼流形在Gromov-Hausdorff度量下是仿紧的。 [编辑] 数量曲率
n-维环不存在有正数量曲率的度量。
若一个紧n-维黎曼流形的单射半径，则数量曲率的平均值不超过n(n-1)。 [编辑] 负曲率 [编辑] 负截面曲率
任何有非正截面曲率的单连通黎曼流形的两点有唯一的测地线连接。
若M是一个有负截面曲率的完备黎曼流形，则基本群的任何可交换子群同构于整数群Z。
设V*是一-rank2的紧致不可约局部对称空间，设V是一截面曲率的紧致黎曼流形，若，且，则与等距。 [编辑] 负里奇曲率
任何有负里奇曲率的紧黎曼流形有一个离散的等距同胚群。
任何光滑流形可以加入有负里奇曲率的黎曼度量。
微分几何中，一个复流形是一个流形，使得每个邻域在一种连续的方式下看起来象一个复n维空间。更精确的讲，一个复流形有一个坐标图册，其每个坐标图映射到Cn，并且坐标图之间的坐标变换是全纯的。复流形可以视为微分流形的一种特例。例如，一个1维复流形几何上就是一个曲面，称为黎曼曲面。变换函数必须全纯这个要求意味着和通常的微分流形不同，不同的Ck-微分结构对于不同k没有区别，因为全纯函数解析，一次每个全纯结构也是一个Ck结构，对于任意k
≥1成立。复流形的理论和实流形的有相当不同的感受，因为复解析函数比光滑函数更为严格。例如，使用惠特尼嵌入定理，每个实流形可以嵌入为Rn的子流形，,但是很少有复流形可以成为Cn的子流形。
数学 > 流形上的结构 "流形上的结构"分类中的页面本分类包含下列14个页面，共有14个页面。 G
G-结构 K
凯勒流形 P
泊松流形 X
辛流形伪
伪黎曼流形
切触几何
可平行化流形
复流形
富比尼–施图迪度量
微分结构
殆复流形
结构群的约化
芬斯勒流形
黎曼流形
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G-结构 K
凯勒流形 P
泊松流形 X
辛流形伪
伪黎曼流形
切触几何
可平行化流形
复流形
富比尼–施图迪度量
微分结构
殆复流形
结构群的约化
芬斯勒流形
黎曼流形
在微分几何中，对一个给定的结构群 G[1]，n 维流形 M 上一个 G-结构是
M 的切标架丛 FM（或 GL(M)）的一个 G-子丛。 G-结构的概念包括了许多流形上其它结构，其中一些是用张量场定义的。例如，对正交群，一个
O(n)-结构定义了一个黎曼度量；而对特殊线性群，一个 SL(n,R)-结构就是一个体积形式；对平凡群，一个
{e}-结构由流形的一个绝对平行化组成。一些流形上的结构，比如复结构，辛结构，或 凯勒结构，都是 G-结构带上附加的可积性条件。物理学中的术语是规范群。 目录
[隐藏]
1 主丛和 G-结构
2 可积性条件
3 G-结构的同构
4 G-结构的联络
4.1 G-结构的挠率
4.2 例：殆复结构的挠率
5 高阶 G-结构
6 参见
7 注释
8 参考资料
[编辑] 主丛和 G-结构尽管主丛理论在 G-结构的研究中的角色很重要，但两个概念是不同的。一个 G-结构是一个切标架丛的主子丛，但是 G-结构丛“由切标架组成”的事实被视为数据的一部分。例如，考虑 Rn 上两个黎曼度量。伴随的 SO(n)-结构是同构当且仅当度量是同构的。但是，因为 Rn 是可缩的，故下面的 SO(n)-丛作为主丛总是同构。两个理论的这个基本差别能够被在G-结构下面的 G-丛上添加一个额外的数据：焊接形式（solder form）记录。焊接形式是用一个从 M 的切丛到配向量丛的典范同构将 G-结构下面的 G 丛系于流形自身的局部几何上。尽管焊接形式不是一个联络形式，经常可以视为一个联络形式的前身。详细说来，假设 Q 是 G-结构的主丛。如果 Q 是实现为 M 的切丛的压缩，那么焊接形式是标架丛的重言形式由包含映射的拉回给出。抽象地，如果将 Q 视为与它作为一个标架丛实现独立的一个主丛，那么焊接形式由 G 在 Rn 上的一个表示 ρ 以及一个丛同构 θ : TM → Q ×ρ Rn 组成。 [编辑] 可积性条件流形上不少结构，比如复结构，辛结构，或 凯勒结构，均是 G-结构附加一个可积性条件。没有相应的可积性条件，这些结构称为一个“殆（几乎）”结构，比如殆复结构，殆辛结构，或殆凯勒流形。特别地，一个辛流形结构是比一个辛群的 G-结构更强的概念。流形上一个辛结构是 M 上一个非退化2形式 ω（这是一个 -结构，或殆辛结构），以及额外条件 dω = 0；后者称为可积性条件。类似地，叶状结构对应于 G-结构为分块矩阵以及可积性条件，这样便可利用弗罗贝尼乌斯定理。 [编辑] G-结构的同构 M 的保持 G-结构的微分同胚**称为这个结构的“自同构群”。对一个 O(n)-结构它们就是黎曼度量的等距群，而一个 SL(n,R)-结构为保持体积的映射。设 P 是流形 M 上一个 G-结构，Q 是流形 N 上一个 G-结构。那么 G-结构的同构是一个微分同胚 f : M → N，使得线性标架的前推 f* : FM → FN 的限制给出了 P 到 Q 的一个映射（注意只要 Q 在 f* 的像中）。G-结构 P 与 Q 是局部同构如果 M 有一个开集覆盖 U 和一族微分同胚 fU : U → f(U) ⊂ N 使得 fU 诱导了一个同构 P|U → Q|f(U) 。一个 G-结构的自同构是 G-结构 P 和自己的同构。自同构经常[2]在研究几何结构的变换群中出现，因为流形上许多重要的几何结构可实现为 G-结构。如果 G-结构 P 有一个由可交换向量场(V1,...,Vn) 组成的整体截面，则称其为平坦 G-结构。若一个 G-结构局部同构于平坦 G-结构，则称为可积的（或“局部平坦”）。一类广泛的等价问题可以用 G-结构语言阐述。例如，一对黎曼流形是（局部）等价等且仅当 它们的正交标架丛是（局部）同构的 G-结构。在这种看法下，解决一个等价问题的一般过程是建立 G-结构的一个不变量系统使得足以确定一对 G-结构是否为局部等价。
1 主丛和 G-结构
2 可积性条件
3 G-结构的同构
4 G-结构的联络
4.1 G-结构的挠率
4.2 例：殆复结构的挠率
5 高阶 G-结构
6 参见
7 注释
8 参考资料
[编辑] 主丛和 G-结构尽管主丛理论在 G-结构的研究中的角色很重要，但两个概念是不同的。一个 G-结构是一个切标架丛的主子丛，但是 G-结构丛“由切标架组成”的事实被视为数据的一部分。例如，考虑 Rn 上两个黎曼度量。伴随的 SO(n)-结构是同构当且仅当度量是同构的。但是，因为 Rn 是可缩的，故下面的 SO(n)-丛作为主丛总是同构。两个理论的这个基本差别能够被在G-结构下面的 G-丛上添加一个额外的数据：焊接形式（solder form）记录。焊接形式是用一个从 M 的切丛到配向量丛的典范同构将 G-结构下面的 G 丛系于流形自身的局部几何上。尽管焊接形式不是一个联络形式，经常可以视为一个联络形式的前身。详细说来，假设 Q 是 G-结构的主丛。如果 Q 是实现为 M 的切丛的压缩，那么焊接形式是标架丛的重言形式由包含映射的拉回给出。抽象地，如果将 Q 视为与它作为一个标架丛实现独立的一个主丛，那么焊接形式由 G 在 Rn 上的一个表示 ρ 以及一个丛同构 θ : TM → Q ×ρ Rn 组成。 [编辑] 可积性条件流形上不少结构，比如复结构，辛结构，或 凯勒结构，均是 G-结构附加一个可积性条件。没有相应的可积性条件，这些结构称为一个“殆（几乎）”结构，比如殆复结构，殆辛结构，或殆凯勒流形。特别地，一个辛流形结构是比一个辛群的 G-结构更强的概念。流形上一个辛结构是 M 上一个非退化2形式 ω（这是一个 -结构，或殆辛结构），以及额外条件 dω = 0；后者称为可积性条件。类似地，叶状结构对应于 G-结构为分块矩阵以及可积性条件，这样便可利用弗罗贝尼乌斯定理。 [编辑] G-结构的同构 M 的保持 G-结构的微分同胚**称为这个结构的“自同构群”。对一个 O(n)-结构它们就是黎曼度量的等距群，而一个 SL(n,R)-结构为保持体积的映射。设 P 是流形 M 上一个 G-结构，Q 是流形 N 上一个 G-结构。那么 G-结构的同构是一个微分同胚 f : M → N，使得线性标架的前推 f* : FM → FN 的限制给出了 P 到 Q 的一个映射（注意只要 Q 在 f* 的像中）。G-结构 P 与 Q 是局部同构如果 M 有一个开集覆盖 U 和一族微分同胚 fU : U → f(U) ⊂ N 使得 fU 诱导了一个同构 P|U → Q|f(U) 。一个 G-结构的自同构是 G-结构 P 和自己的同构。自同构经常[2]在研究几何结构的变换群中出现，因为流形上许多重要的几何结构可实现为 G-结构。如果 G-结构 P 有一个由可交换向量场(V1,...,Vn) 组成的整体截面，则称其为平坦 G-结构。若一个 G-结构局部同构于平坦 G-结构，则称为可积的（或“局部平坦”）。一类广泛的等价问题可以用 G-结构语言阐述。例如，一对黎曼流形是（局部）等价等且仅当 它们的正交标架丛是（局部）同构的 G-结构。在这种看法下，解决一个等价问题的一般过程是建立 G-结构的一个不变量系统使得足以确定一对 G-结构是否为局部等价。
在数学中，伴随丛（adjoint
bundle）是一个自然相配于任何主丛的向量丛。伴随丛的纤维带有李代数结构使得伴随丛成为一个代数丛。伴随丛在联络理论以及规范理论中都有重要的应用。 [编辑]
形式定义设 G 是一个李群，李代数为 ，并设 P 是光滑流形 M 上一个主 G 丛。令
是 G 的伴随表示。P 的伴随丛是配丛
伴随丛通常也记做 。具体地，伴随丛的元素是二元组 [p,x] 的等价类，其中 p ∈ P 与 x ∈ 使得
对所有 g ∈ G。因为伴随丛的结构群由李代数的自同构组成，纤维自然带有一个李代数结构使得伴随丛成为 M 上一个李代数丛。 [编辑] 性质 M 上取值于 AdP 的微分形式一一对应于 P 上水平 G-等变李代数值形式。一个基本例子是 P 上任何联络的曲率可以视为 M 上取值于 ADP 的 2-形式。伴随丛截面的空间自然是一个（无穷维）李代数。它可以视为 P 的规范变换无穷维李群的李代数，它能想象为丛 P ×Ψ G 的截面，这里 Ψ 是 G 在自身上的共轭作用。
是 G 的伴随表示。P 的伴随丛是配丛
伴随丛通常也记做 。具体地，伴随丛的元素是二元组 [p,x] 的等价类，其中 p ∈ P 与 x ∈ 使得
对所有 g ∈ G。因为伴随丛的结构群由李代数的自同构组成，纤维自然带有一个李代数结构使得伴随丛成为 M 上一个李代数丛。 [编辑] 性质 M 上取值于 AdP 的微分形式一一对应于 P 上水平 G-等变李代数值形式。一个基本例子是 P 上任何联络的曲率可以视为 M 上取值于 ADP 的 2-形式。伴随丛截面的空间自然是一个（无穷维）李代数。它可以视为 P 的规范变换无穷维李群的李代数，它能想象为丛 P ×Ψ G 的截面，这里 Ψ 是 G 在自身上的共轭作用。
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数学上，切触几何是研究流形上的完全不可积超平面的几何。根据弗洛比尼斯定理，这个（大致来讲）可以通过叶状结构的不成立来识别。作为它的姐妹，辛几何属于偶数维的世界，而切触几何是奇数维的对应几何。
目录 [隐藏]
1 应用
2 切触形式和结构
3 勒让德子流形和纽结
4 Reeb向量场
5 历史回顾
6 参考
[编辑] 应用切触几何和辛几何一样在物理学中有广泛的应用，例如，几何光学、经典力学、热力学、几何量子化、以及诸如控制论这样的应用数学。它也可以用于证明有趣的事情，例如‘你总是可以平泊你的汽车，只要空间足够大’。 切触几何有很多低维拓扑中的应用；一个这种相关性的表现就是每个三维流形都有一个切触结构。 [编辑] 切触形式和结构一个切触形式 α在2n+1维流形M上就是一个（局部）1-流形，具有属性
一个切触结构 ξ在一个流形上就是一个切触形式α的核，也就是，一个完全不可积超平面场。大致来讲，这表示你无法在一个开集上找到和ξ相切的一片超曲面。从定义可以导出dα限制到ξ上时是非退化的。这表示ξ是一个该流形上的辛丛。因为辛空间是偶数维的，切触流形必须是奇数维的。作为基本例子，考虑R3，使用一下坐标
(x, y, z), 1-形式
dz -ydx. 在一点的切除平面ξ
(x,y,z) 由下列向量张成
X1 = ∂y 和
X2 = ∂x+y∂z. (画一幅图像!)。实际上很容易将这个例子推广到任意R2n+1。根据达布定理，一个流形上的每个切触结构局部看起来就是这个例子。任何n-维流形M的余切丛 T* M本身是一个流形(维数为2n)，并且自然地支持一个恰当辛结构ω = dλ。(这个1-形式λ有时称为刘维尔形式)。在流形上取一个黎曼度量。这允许我们考虑每个余切平面中的单位球。刘维尔形式限制到单位余切丛是一个切触结构。向量场 A (唯一地)由λ(A)=1和dλ定义，(A, B)=0对于所有该度量的测地流生成的向量场B成立。另一方面，可以通过考虑 T*M× R来构造一个切触流形。采用坐标(x,t)，这个流形有一个切触结构
α=dt+λ. 最后这个例子表明如何从辛流形得到切触流形。同样可以从切触流形构造一个辛流形，也是通过和R的直积： 若α是一个切触形式，在流形M上，则
ω=d(etα) 是一个M×R上的辛流形，其中t表示在R-方向的变量。 [编辑] 勒让德子流形和纽结切触流形最有意思的子空间是它的勒让德子流形。在(2n+1)-维流形上的切触超平面场的不可积性意味着没有2n-维子流形可以将它作为它的切丛，局部的都不行。但是，通常可以找到一个n-维（嵌入或者浸入）子流形，其切空间位于切触场内。勒让德子流形和辛流形的拉格朗日子流形类似。它们之间有一个精确的关系：勒让德子流形在切触流形的辛化中的提升是一个拉格朗日子流形。 勒让德子流形的最简单的例子是在一个切触三维流形中的勒让德纽结。不等价的勒让德纽结可能作为光滑纽结是等价的。勒让德子流形是很刚性的对象；在一些情况下，子流形为了成为勒让德子流形而必须解开纽结。辛场论提供勒称为切触同调的勒让德子流形的不变量，它们有时可以用于区分拓扑等价的勒让德子流形。 [编辑] Reeb向量场若α是一个给定切触结构的切触形式，Reeb向量场R可以定义维dα的核的唯一满足α(R)=1的元素。其动力学可以用于研究切触流形的结构甚或用诸如辛场论和嵌入切触同调这类的Floer同调来研究流形本身。 [编辑] 历史回顾切触几何的根源出现于克里斯蒂安·惠更斯、Barrow和牛顿的著作中。切触变换的理论（也即保持一个切触结构的变换)是索甫斯·李发展的，其目的是双重的，包括研究微分方程（例如勒让德变换）和表述射影对偶性中常见的'空间元素的变换'。
1 应用
2 切触形式和结构
3 勒让德子流形和纽结
4 Reeb向量场
5 历史回顾
6 参考
[编辑] 应用切触几何和辛几何一样在物理学中有广泛的应用，例如，几何光学、经典力学、热力学、几何量子化、以及诸如控制论这样的应用数学。它也可以用于证明有趣的事情，例如‘你总是可以平泊你的汽车，只要空间足够大’。 切触几何有很多低维拓扑中的应用；一个这种相关性的表现就是每个三维流形都有一个切触结构。 [编辑] 切触形式和结构一个切触形式 α在2n+1维流形M上就是一个（局部）1-流形，具有属性
一个切触结构 ξ在一个流形上就是一个切触形式α的核，也就是，一个完全不可积超平面场。大致来讲，这表示你无法在一个开集上找到和ξ相切的一片超曲面。从定义可以导出dα限制到ξ上时是非退化的。这表示ξ是一个该流形上的辛丛。因为辛空间是偶数维的，切触流形必须是奇数维的。作为基本例子，考虑R3，使用一下坐标
(x, y, z), 1-形式
dz -ydx. 在一点的切除平面ξ
(x,y,z) 由下列向量张成
X1 = ∂y 和
X2 = ∂x+y∂z. (画一幅图像!)。实际上很容易将这个例子推广到任意R2n+1。根据达布定理，一个流形上的每个切触结构局部看起来就是这个例子。任何n-维流形M的余切丛 T* M本身是一个流形(维数为2n)，并且自然地支持一个恰当辛结构ω = dλ。(这个1-形式λ有时称为刘维尔形式)。在流形上取一个黎曼度量。这允许我们考虑每个余切平面中的单位球。刘维尔形式限制到单位余切丛是一个切触结构。向量场 A (唯一地)由λ(A)=1和dλ定义，(A, B)=0对于所有该度量的测地流生成的向量场B成立。另一方面，可以通过考虑 T*M× R来构造一个切触流形。采用坐标(x,t)，这个流形有一个切触结构
α=dt+λ. 最后这个例子表明如何从辛流形得到切触流形。同样可以从切触流形构造一个辛流形，也是通过和R的直积： 若α是一个切触形式，在流形M上，则
ω=d(etα) 是一个M×R上的辛流形，其中t表示在R-方向的变量。 [编辑] 勒让德子流形和纽结切触流形最有意思的子空间是它的勒让德子流形。在(2n+1)-维流形上的切触超平面场的不可积性意味着没有2n-维子流形可以将它作为它的切丛，局部的都不行。但是，通常可以找到一个n-维（嵌入或者浸入）子流形，其切空间位于切触场内。勒让德子流形和辛流形的拉格朗日子流形类似。它们之间有一个精确的关系：勒让德子流形在切触流形的辛化中的提升是一个拉格朗日子流形。 勒让德子流形的最简单的例子是在一个切触三维流形中的勒让德纽结。不等价的勒让德纽结可能作为光滑纽结是等价的。勒让德子流形是很刚性的对象；在一些情况下，子流形为了成为勒让德子流形而必须解开纽结。辛场论提供勒称为切触同调的勒让德子流形的不变量，它们有时可以用于区分拓扑等价的勒让德子流形。 [编辑] Reeb向量场若α是一个给定切触结构的切触形式，Reeb向量场R可以定义维dα的核的唯一满足α(R)=1的元素。其动力学可以用于研究切触流形的结构甚或用诸如辛场论和嵌入切触同调这类的Floer同调来研究流形本身。 [编辑] 历史回顾切触几何的根源出现于克里斯蒂安·惠更斯、Barrow和牛顿的著作中。切触变换的理论（也即保持一个切触结构的变换)是索甫斯·李发展的，其目的是双重的，包括研究微分方程（例如勒让德变换）和表述射影对偶性中常见的'空间元素的变换'。
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