拓扑学是现代数学的基础，许多数学分支都会用到一些拓扑学术语，这里简要介绍一下。
拓扑：
由空间的子集构成的集（百度）合,满足三个公理
拓扑空间：
定义了拓扑的空间
邻域：
包含一点的集（百度）合叫做该点的邻域，如果此集（百度）合在拓扑中
内点：
集（百度）合中一点的邻域也在此集（百度）合中，则该点为集（百度）合的内点
开集：
集（百度）合中所有的点都是内点
（由此易知拓扑中的元素都是开集）
闭集：
其补集是开集的集（百度）合
聚点：
若某点的邻域与集（百度）合中此点之外的部分之交不为空，则该点为集（百度）合的聚点(聚点不一定属于集（百度）合)
导集：
集（百度）合的聚点构成的集（百度）合为集（百度）合的导集
闭包：
集（百度）合与其导集之并
孤立点：
集（百度）合中不属于其导集的点
边界点：包含该点的任意邻域与集（百度）合及集（百度）合的补集之交均不为空,该点为集（百度）合的边界点
覆盖：
如果集（百度）合A包含于一族开集之并，则这族开集组成的集（百度）合叫做A的开覆盖，类似可定义闭覆盖，通称覆盖，覆盖是有限集就叫做有限的覆盖
子覆盖：
如果A的覆盖S的子集也是A的覆盖，则此子集叫做S的子覆盖
紧性：
拓扑空间任一开覆盖具有有限的子覆盖
拓扑：
由空间的子集构成的集（百度）合,满足三个公理
拓扑空间：
定义了拓扑的空间
邻域：
包含一点的集（百度）合叫做该点的邻域，如果此集（百度）合在拓扑中
内点：
集（百度）合中一点的邻域也在此集（百度）合中，则该点为集（百度）合的内点
开集：
集（百度）合中所有的点都是内点
（由此易知拓扑中的元素都是开集）
闭集：
其补集是开集的集（百度）合
聚点：
若某点的邻域与集（百度）合中此点之外的部分之交不为空，则该点为集（百度）合的聚点(聚点不一定属于集（百度）合)
导集：
集（百度）合的聚点构成的集（百度）合为集（百度）合的导集
闭包：
集（百度）合与其导集之并
孤立点：
集（百度）合中不属于其导集的点
边界点：包含该点的任意邻域与集（百度）合及集（百度）合的补集之交均不为空,该点为集（百度）合的边界点
覆盖：
如果集（百度）合A包含于一族开集之并，则这族开集组成的集（百度）合叫做A的开覆盖，类似可定义闭覆盖，通称覆盖，覆盖是有限集就叫做有限的覆盖
子覆盖：
如果A的覆盖S的子集也是A的覆盖，则此子集叫做S的子覆盖
紧性：
拓扑空间任一开覆盖具有有限的子覆盖
大家回忆一下以前学过的微积分中，也有邻域的概念，微积分中的邻域概念是建立在实数集之上的，实数集是一个度量空间，具有距离的概念，一般的拓扑空间不一定是度量空间，因而不一定具有距离的概念，所以拓扑空间中的邻域概念没有用到距离。
拓扑空间中的邻域概念是最一般的，适用于实数集，因为实数集是一个度量空间，任何度量空间天然的就是一个拓扑空间，因为可利用度量定义开球作为自然拓扑。
下面再谈谈另一个重要的拓扑概念：连续
从没有接触过拓扑的人，对连续性也有基本的认识，此连续性依赖于邻域，进而依赖于距离，我们看看没有距离概念的情况下，拓扑学中如何定义连续：
给定拓扑空间X和Y，映射f:X->Y，对于X中一点x，若给定Y中对应的点f(x)的任一邻域U(f(x))，在X中总能找到点x一个邻域U(x),使U(x)中的点经f映射后都落在U(f(x))中，则f在点x连续，如果f在X每一点连续，则f在X中连续
拓扑空间中的邻域概念是最一般的，适用于实数集，因为实数集是一个度量空间，任何度量空间天然的就是一个拓扑空间，因为可利用度量定义开球作为自然拓扑。
下面再谈谈另一个重要的拓扑概念：连续
从没有接触过拓扑的人，对连续性也有基本的认识，此连续性依赖于邻域，进而依赖于距离，我们看看没有距离概念的情况下，拓扑学中如何定义连续：
给定拓扑空间X和Y，映射f:X->Y，对于X中一点x，若给定Y中对应的点f(x)的任一邻域U(f(x))，在X中总能找到点x一个邻域U(x),使U(x)中的点经f映射后都落在U(f(x))中，则f在点x连续，如果f在X每一点连续，则f在X中连续
出个小题玩玩吧，此小题用1楼的概念足以做出，不需要任何其他知识。
给定一个拓扑空间：
空间X={a，b，c}
拓扑τ={空集，{a}，{a，b}，{a，b，c}}
对于此拓扑空间中的子集：A={a，b}
1）A是开集还是闭集？
2）求A的导集
2）求A的边界点
3）求A的孤立点
给定一个拓扑空间：
空间X={a，b，c}
拓扑τ={空集，{a}，{a，b}，{a，b，c}}
对于此拓扑空间中的子集：A={a，b}
1）A是开集还是闭集？
2）求A的导集
2）求A的边界点
3）求A的孤立点
有了连续的概念，再介绍一下同胚。
同胚是重要的拓扑概念，要研究不同拓扑空间的性质区别，需要在两个空间之间建立映射，寻找映射之下的某种不变性作为研究的手段。
选择什么样的映射呢？这是个大问题。
欧氏几何中，选择的映射是正交变换，欧氏几何研究的就是正交变换下的不变量：长度和夹角，一个三角形经过正交映射，边长和角度都不会变，这是欧氏几何关心的不变量。
拓扑学不关心这些，就从最基本的要求谈起，最起码应该是一一映射吧，一一映射行不行呢？
康托曾经很巧妙的证明过，正方形或正方体，是可以和线段建立一一映射的，也就是说，正方体这个三维形体经过一一映射可以变成一维，这种变化太剧烈了，我们不希望如此。
于是一一映射还不够，再加上连续性，有了下面的定义
给定拓扑空间X，Y，映射f:X->Y，若f是一一对应的连续映射，其逆映射也连续，则f叫做同胚映射，X和Y叫做同胚的。
同胚的拓扑空间被看作是完全相同而不加区分的，所以数学家John L. Kelley曾说：拓扑学家是不知道甜甜圈和咖啡杯的分别的人。
同胚是重要的拓扑概念，要研究不同拓扑空间的性质区别，需要在两个空间之间建立映射，寻找映射之下的某种不变性作为研究的手段。
选择什么样的映射呢？这是个大问题。
欧氏几何中，选择的映射是正交变换，欧氏几何研究的就是正交变换下的不变量：长度和夹角，一个三角形经过正交映射，边长和角度都不会变，这是欧氏几何关心的不变量。
拓扑学不关心这些，就从最基本的要求谈起，最起码应该是一一映射吧，一一映射行不行呢？
康托曾经很巧妙的证明过，正方形或正方体，是可以和线段建立一一映射的，也就是说，正方体这个三维形体经过一一映射可以变成一维，这种变化太剧烈了，我们不希望如此。
于是一一映射还不够，再加上连续性，有了下面的定义
给定拓扑空间X，Y，映射f:X->Y，若f是一一对应的连续映射，其逆映射也连续，则f叫做同胚映射，X和Y叫做同胚的。
同胚的拓扑空间被看作是完全相同而不加区分的，所以数学家John L. Kelley曾说：拓扑学家是不知道甜甜圈和咖啡杯的分别的人。
前面说了同胚的数学定义，不大好理解，同胚的直观理解就是：
把拓扑空间看作橡皮做的，只要一个拓扑空间能够形变成另一个，并保证橡皮没有被拉断，并且橡皮上的任何两点没有被粘合成一点，则这两个拓扑空间就是同胚的。
注意：形变过程中是允许把橡皮拉断的，只要最后所有拉断的地方都被重新粘起来即可，也就是只要最后不是拉断的就可以。
举个例子说一下同胚的应用：
大家都知道，对于通常的多面体，有一个欧拉公式：
令e=顶点数-边数+面数
则e=2
事实上，并不是对所有的多面体都有e=2，所以我用了一个“通常的多面体”
严格的说，只有同胚于球面的多面体才满足e=2，什么叫做同胚于球面的多面体呢？直观的说，把多面体看作橡皮膜做得，吹起来可以变成一个球面的多面体就是同胚于球面的多面体。
显然，通常的多面体都满足这一点。
对于一些比较怪的多面体，比如吹起来可变成一个环面的多面体，则是e=1
所以，e虽然是从多面体出发定义的，但其反映的其实是多面体所在的拓扑空间的性质，e叫做欧拉示性数。
现在，我们从球面出发，利用同胚来证明所有同胚于球面的多面体有e=2
首先，我们要把一个多面体“吹”成一个球面，多面体的顶点，面，边都相应的变成球面上的点，面，测地线（这是可以做到的）
熟悉球面几何就会知道，球面n边形的面积：
S=(a1+a2+...an-(n-2)Pi)*r^2 （1）（a1...an是n边形n个角的角度,r为球半径）
球面上的多面体表面积为：
表面积=面数*S
把（1）代进来得：
表面积=(面数*(a1+a2+...an)-面数*n*Pi+面数*2Pi)*r^2 （2）
面数*(a1+a2+...an)是所有顶角的和，我们把它按顶点重新分组，每个顶点处的顶角加起来正好是2Pi,所以
面数*(a1+a2+...an)=顶点数*2Pi
面数*n是边的数目的2倍，因为每条边都被两个面共用，所以：
面数*n=边数*2
再考虑球的表面积公式：表面积=4Pi*r^2
所有这些全部代入（2）
4Pi*r^2=(顶点数*2Pi-边数*2Pi+面数*2Pi)*r^2
化简得：
顶点数-边数+面数=2
通常，证明两个拓扑空间同胚比较容易，找到两个空间的一个同胚映射即可，但证明两个拓扑空间不同胚，则相当困难，我们不可能罗列两空间的所有映射，证明它们都不是同胚映射。
证明两个空间不同胚，通常是构造同胚映射下的不变量，然后证明两个空间的不变量不相等，从而证明两空间不可能建立同胚映射，从而不同胚。
同胚就说这么多了，比同胚更复杂的概念还有同伦，同调，同痕，这些都不说了，一来我没有能力细说，二来说了大家听不大懂。
把拓扑空间看作橡皮做的，只要一个拓扑空间能够形变成另一个，并保证橡皮没有被拉断，并且橡皮上的任何两点没有被粘合成一点，则这两个拓扑空间就是同胚的。
注意：形变过程中是允许把橡皮拉断的，只要最后所有拉断的地方都被重新粘起来即可，也就是只要最后不是拉断的就可以。
举个例子说一下同胚的应用：
大家都知道，对于通常的多面体，有一个欧拉公式：
令e=顶点数-边数+面数
则e=2
事实上，并不是对所有的多面体都有e=2，所以我用了一个“通常的多面体”
严格的说，只有同胚于球面的多面体才满足e=2，什么叫做同胚于球面的多面体呢？直观的说，把多面体看作橡皮膜做得，吹起来可以变成一个球面的多面体就是同胚于球面的多面体。
显然，通常的多面体都满足这一点。
对于一些比较怪的多面体，比如吹起来可变成一个环面的多面体，则是e=1
所以，e虽然是从多面体出发定义的，但其反映的其实是多面体所在的拓扑空间的性质，e叫做欧拉示性数。
现在，我们从球面出发，利用同胚来证明所有同胚于球面的多面体有e=2
首先，我们要把一个多面体“吹”成一个球面，多面体的顶点，面，边都相应的变成球面上的点，面，测地线（这是可以做到的）
熟悉球面几何就会知道，球面n边形的面积：
S=(a1+a2+...an-(n-2)Pi)*r^2 （1）（a1...an是n边形n个角的角度,r为球半径）
球面上的多面体表面积为：
表面积=面数*S
把（1）代进来得：
表面积=(面数*(a1+a2+...an)-面数*n*Pi+面数*2Pi)*r^2 （2）
面数*(a1+a2+...an)是所有顶角的和，我们把它按顶点重新分组，每个顶点处的顶角加起来正好是2Pi,所以
面数*(a1+a2+...an)=顶点数*2Pi
面数*n是边的数目的2倍，因为每条边都被两个面共用，所以：
面数*n=边数*2
再考虑球的表面积公式：表面积=4Pi*r^2
所有这些全部代入（2）
4Pi*r^2=(顶点数*2Pi-边数*2Pi+面数*2Pi)*r^2
化简得：
顶点数-边数+面数=2
通常，证明两个拓扑空间同胚比较容易，找到两个空间的一个同胚映射即可，但证明两个拓扑空间不同胚，则相当困难，我们不可能罗列两空间的所有映射，证明它们都不是同胚映射。
证明两个空间不同胚，通常是构造同胚映射下的不变量，然后证明两个空间的不变量不相等，从而证明两空间不可能建立同胚映射，从而不同胚。
同胚就说这么多了，比同胚更复杂的概念还有同伦，同调，同痕，这些都不说了，一来我没有能力细说，二来说了大家听不大懂。
豪斯多夫空间：
对于一般的拓扑空间，我们施加一个限制：对拓扑空间中任意两个点x，y,存在x的邻域U(x)和y的邻域U(y)，使U(x)∩U(y)=空集。
满足这种限制的拓扑空间称为豪斯多夫空间。
这种对拓扑空间施加的限制被通称为分离公理，这里的这个具体的限制叫T2公理，施加弱一些的分离公理T0和T1，会得到比豪斯多夫空间弱一些的T0和T1空间。
各位可能觉得上面完全在讲废话，空间任意两个点有不相交的邻域，这不是显然的么？欧几里德空间中，不管两个点距离多么近，总能找到更小的两个邻域使它们不相交
但是，别忘了，拓扑学研究的是一般的拓扑空间，对于一般的拓扑空间，这并不总是成立的。
事实上，我们所碰到的绝大部分的拓扑空间都是豪斯多夫空间，如实数空间，欧几里德空间，微分流形等等，所以它的普适性非常之广，豪斯多夫空间具有很多美好的性质，比如只含一个元素的子集一定是闭集等(这听上去也很像废话），这些性质非常有必要专门拿出来深入研究，所以建立这个数学概念是很有必要的。
对于一般的拓扑空间，我们施加一个限制：对拓扑空间中任意两个点x，y,存在x的邻域U(x)和y的邻域U(y)，使U(x)∩U(y)=空集。
满足这种限制的拓扑空间称为豪斯多夫空间。
这种对拓扑空间施加的限制被通称为分离公理，这里的这个具体的限制叫T2公理，施加弱一些的分离公理T0和T1，会得到比豪斯多夫空间弱一些的T0和T1空间。
各位可能觉得上面完全在讲废话，空间任意两个点有不相交的邻域，这不是显然的么？欧几里德空间中，不管两个点距离多么近，总能找到更小的两个邻域使它们不相交
但是，别忘了，拓扑学研究的是一般的拓扑空间，对于一般的拓扑空间，这并不总是成立的。
事实上，我们所碰到的绝大部分的拓扑空间都是豪斯多夫空间，如实数空间，欧几里德空间，微分流形等等，所以它的普适性非常之广，豪斯多夫空间具有很多美好的性质，比如只含一个元素的子集一定是闭集等(这听上去也很像废话），这些性质非常有必要专门拿出来深入研究，所以建立这个数学概念是很有必要的。
拓扑流形：
设M是豪斯多夫空间,如果其中任一点x都存在一个邻域U(x)同胚于m维欧氏空间R^m的一个开集，则称M是一个m维的拓扑流形（或称流形）。
举个例子：
一个圆，和1维欧氏空间的子集（线段）不同胚，但我们在圆上任意位置取一个小邻域，就是一小段圆弧，因为圆弧和线段同胚，所以，圆是一个1维流形。
直观的说：流形就是一块块“欧氏空间”粘在一起拼成的
所以，流形在局部具有欧氏空间的性质，这是非常好的性质。
设M是豪斯多夫空间,如果其中任一点x都存在一个邻域U(x)同胚于m维欧氏空间R^m的一个开集，则称M是一个m维的拓扑流形（或称流形）。
举个例子：
一个圆，和1维欧氏空间的子集（线段）不同胚，但我们在圆上任意位置取一个小邻域，就是一小段圆弧，因为圆弧和线段同胚，所以，圆是一个1维流形。
直观的说：流形就是一块块“欧氏空间”粘在一起拼成的
所以，流形在局部具有欧氏空间的性质，这是非常好的性质。
现在建立的概念都是为了引出微分流形
坐标卡：
对于m维拓扑流形M中的某邻域U，建立到欧氏空间R^m的一个开集的同胚映射f，我们把(U,f)这个结构叫做M的坐标卡
坐标图册：
就是坐标卡集，比如{(U1,f1),(U2,f2),...,(Ui,fi)}就是一个坐标图册
坐标卡的相容性：
给定m维拓扑流形M的两个坐标卡(U1,f1),(U2,f2),则f1(U1∩U2)和f2(U1∩U2)分别对应R^m中两个开集，对任一点x∈U1∩U2，从f1(x)到f2(x)构成了R^m中两个m维向量的可逆映射，记为g，显然，g和其逆映射g^-1都各自对应m个实函数，如果这些实函数的所有r阶偏导都存在并连续，则称坐标卡(U1,f1)和(U2,f2)是C^r相容的。
微分结构：
设M是一个拓扑流形，如果在M上给定了一个坐标图册A={(U1,f1),(U2,f2),...,(Ui,fi)}，若A满足下列条件，则称A是M的一个C^r微分结构：
(1）{U1,U2,...,Ui}是M的一个开覆盖
(2）A中的任意两个坐标卡是C^r相容的
(3）A是极大的，也就是说任意一个不属于A的坐标卡添加进A都会破坏条件(2）
微分流形：
若拓扑流形M上给定了一个C^r微分结构，则称M为C^r微分流形,给定的微分结构中的坐标卡称为M的容许坐标卡。
坐标卡：
对于m维拓扑流形M中的某邻域U，建立到欧氏空间R^m的一个开集的同胚映射f，我们把(U,f)这个结构叫做M的坐标卡
坐标图册：
就是坐标卡集，比如{(U1,f1),(U2,f2),...,(Ui,fi)}就是一个坐标图册
坐标卡的相容性：
给定m维拓扑流形M的两个坐标卡(U1,f1),(U2,f2),则f1(U1∩U2)和f2(U1∩U2)分别对应R^m中两个开集，对任一点x∈U1∩U2，从f1(x)到f2(x)构成了R^m中两个m维向量的可逆映射，记为g，显然，g和其逆映射g^-1都各自对应m个实函数，如果这些实函数的所有r阶偏导都存在并连续，则称坐标卡(U1,f1)和(U2,f2)是C^r相容的。
微分结构：
设M是一个拓扑流形，如果在M上给定了一个坐标图册A={(U1,f1),(U2,f2),...,(Ui,fi)}，若A满足下列条件，则称A是M的一个C^r微分结构：
(1）{U1,U2,...,Ui}是M的一个开覆盖
(2）A中的任意两个坐标卡是C^r相容的
(3）A是极大的，也就是说任意一个不属于A的坐标卡添加进A都会破坏条件(2）
微分流形：
若拓扑流形M上给定了一个C^r微分结构，则称M为C^r微分流形,给定的微分结构中的坐标卡称为M的容许坐标卡。
以下部分摘自《微分几何和广义相对论入门》第一章第一节：
一元函数f:R→R的连续性在微积分中有定义（ε-δ定义）：
若对任何ε>0，存在一个δ>0使得当|x'-x|<δ时，有|f(x')-f(x)|<ε，则称函数f在x点连续。这一定义依赖于R1（1维实数集）中的距离概念。
而ε-δ定义可以用开区间概念（而无需距离概念）重新表述如下：
设集和X = 集和Y = R（实数集），若Y中任一开区间的“逆像”都是X的开区间之并（或者是空集），则映射f:X→Y称作连续的。
见下图的三种情况：
一元函数f:R→R的连续性在微积分中有定义（ε-δ定义）：
若对任何ε>0，存在一个δ>0使得当|x'-x|<δ时，有|f(x')-f(x)|<ε，则称函数f在x点连续。这一定义依赖于R1（1维实数集）中的距离概念。
而ε-δ定义可以用开区间概念（而无需距离概念）重新表述如下：
设集和X = 集和Y = R（实数集），若Y中任一开区间的“逆像”都是X的开区间之并（或者是空集），则映射f:X→Y称作连续的。
见下图的三种情况：
这个例子从一个侧面说明“开区间之并”这一概念的用处：可以定义映射f:集和→集和（是函数的推广概念）的连续性。
我们把R的任一可以表示为开区间的子集（包括空集）称为开子集。为了把开子集的概念推广到任意集和，应先找出R的开子集的本质的、抽象的性质：(1)、R和空集都是开子集；(2)、有限个开子集之交仍然是开子集；(3)、任意个开子集之并仍然是开子集。把这里的R用集和来取代，那就给集和定义了开子集的规范。定义了符合规范的开子集的集和，称作拓扑空间。
我们把R的任一可以表示为开区间的子集（包括空集）称为开子集。为了把开子集的概念推广到任意集和，应先找出R的开子集的本质的、抽象的性质：(1)、R和空集都是开子集；(2)、有限个开子集之交仍然是开子集；(3)、任意个开子集之并仍然是开子集。把这里的R用集和来取代，那就给集和定义了开子集的规范。定义了符合规范的开子集的集和，称作拓扑空间。
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