机器学习和计算机视觉有关的数学
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Banach Space 巴拿赫空间，是1920年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。巴拿赫的主要贡献是引进了线性赋范空间概念，建立了其上的线性算子理论，证明了作为泛函分析基础的三个定理，哈恩--巴拿赫延拓定理，巴拿赫--斯坦豪斯定理即共鸣之定理、闭图像定理。
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Convergence 收敛，The property or manner of approaching a limit, such as a point, line, surface, or value. 接近某一极限（如点、线、面或值等）的性质或方式。
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Countable set 可数集 In mathematics, a countable set is a set with the same cardinality (number of elements) as some subset of the set of natural numbers. A set that is not countable is called uncountable. The term was originated by Georg Cantor. The elements of a countable set can be counted one at a time — although the counting may never finish, every element of the set will eventually be associated with a natural number. 可数集（countable set），是能与自然数集N建立一一对应的集合，又称可列集。如果将可数集的每个元素标上与它对应的那个自然数记号，那么可数集的元素就可以按自然数的顺序排成一个无穷序列a1，a2，a3，…an，…。比如全体正偶数的集合是一个可数集，全体正奇数的集合也是可数集，它们与自然数集可以建立如下的一一对应。可数集的一个定义是“能与自然数集的某个子集一一对应的集合”。在这个意义下不是可数集的集合称为不可数集。这个术语是康托尔创造的。可数集的元素，正如其名，是“可以计数”的：尽管计数可能永远无法终止，集合中每一个特定的元素都将对应一个自然数。
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Ergodic 遍历的，Ergodic Theory, 遍历理论又称各态历经理论，研究保测变换的渐近性态的数学分支。Ergodic Theory是奥地利物理学家玻耳兹曼（L. Boltzmann, 1844－1906) 于1781年提出来的，其大意是：一个系统必将经过或已经经过其总能量与当时状态相同的另外的任何状态。从测度论角度，设(χ,b,μ)是一个测度空间，通常假定μ(χ)=1,即μ为概率测度,φ是χ的一个变换。 如果任意可测集b∈b的原像集φ-1b仍是可测集(即φ-1b∈b),那么φ就称为可测变换。如果可测变换φ使得μ(φ-1b)=μ(b)对任意b∈b成立，那么φ就称为保测变换（更详细一些，φ称为是保持测度μ不变的变换,μ称为关于φ不变的测度）。
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Functional Analysis 泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。它是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。简单的说， 泛函就是定义域是一个函数集，而值域是实数集或者实数集的一个子集，推广开来，泛函就是从任意的向量空间到标量的映射。也就是说，它是从函数空间到数域的映射。 是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对函数的变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家維多·沃爾泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。从现代观点来看，泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。这类空间是量子力学数学描述的基础。更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。这类算子可以导出C*代数和其他算子代数的基本概念。
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Hilbert Space 希尔伯特空间，又叫完备的内积空间是有限维欧几里得空间的一个推广，使之不局限于实的情形和有限的维数，但又不失完备性（而不像一般的欧几里得空间那样破坏了完备性）。与欧几里得空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念）。此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西列等价于收敛列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。任何有限维内积空间（如欧几里得空间及其上的点积）都是希尔伯特空间。
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Hausdorff Distance Hausdorff距离，是描述两组点集之间相似程度的一种量度，它是两个点集之间距离的一种定义形式：假设有两组集合A={a1,…,ap},B={b1,…,bq},则这两个点集合之间的Hausdorff距离定义为H(A,B)=max(h(A,B),h(B,A)) (1) 其中, h(A,B)=max(a∈A)min(b∈B)‖a-b‖ (2) h(B,A)=max(b∈B)min(a∈A)‖b-a‖ (3)‖·‖是点集A和B点集间的距离范式(如：L2或Euclidean距离)。 这里，式(1)称为双向Hausdorff距离，是Hausdorff距离的最基本形式；式(2)中的h(A,B)和h(B,A)分别称为从A集合到B集合和从B集合到A集合的单向Hausdorff距离。即h(A,B)实际上首先对点集A中的每个点ai到距离此点ai最近的B集合中点bj之间的距离‖ai-bj‖进行排序，然后取该距离中的最大值作为h(A,B)的值。h(B,A)同理可得。由式(1)知，双向Hausdorff距离H(A,B)是单向距离h(A,B)和h(B,A)两者中的较大者，它度量了两个点集间的最大不匹配程度。
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Hausdorff Space Hausdorff空间，如果空间中任意两点有不交的邻域。注意有些拓扑空间不是Hausdorff空间，如定义了平凡拓扑的空间，连续函数芽集等。
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Lebesgue Measure 勒贝格测度，是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予一个体积的集合被称为勒贝格可测；勒贝格可测集A的体积或者说测度记作λ(A)。一个值为∞的勒贝格测度是可能的，但是即使如此，在假设选择公理成立时，Rn的所有子集也不都是勒贝格可测的。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。
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Lebesgue Integration 勒贝格积分，是现代数学中的一个积分概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中。在最简单的情况下，对一个单元非负值的函数的积分可以看作是求其函数图像与x轴之间的面积。勒贝格积分则将积分运算扩展到其它函数，并且也扩展了这些函数的定义域。最早对积分运算的定义是对于非负值和足够光滑的函数来说，其积分相当于使用求极限的手段来计算一个多边形的面积。但是随着对更加不规则的函数的积分运算的需要不断产生（比如为了确定数学分析的极限，或者出于概率论的需求），很快就产生了对更加广义的求极限手段的要求来定义相应的积分运算。勒贝格积分是以昂利·勒贝格命名的，他于1904年引入了这个积分定义。今天勒贝格积分有狭义和广义两种意义。广义地说是勒贝格引入的在一个测度内的函数的积分理论。狭义则是指相对于勒贝格测度在实直线的亚域中定义的函数的积分。
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Lp Space the Lp spaces are function spaces defined using natural generalizations of p-norms for finite-dimensional vector spaces. Lp 空间是由p次可积函数组成的空间；对应的 ℓp 空间是由p次可和序列组成的空间。它们有时叫做勒贝格空间，以昂利·勒贝格命名（Dunford & Schwartz 1958, III.3）。在泛函分析和拓扑向量空间中，他们构成了巴拿赫空间一类重要的例子。
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Martingale 鞅，Martingale是随机过程中的一个概念，《说文》里说，鞅即为马的颈靼：套在马脖子上的皮带。联系一下Martingale复杂的数学表达式，从形象的角度理解：套在马颈上的皮带应该就是控制马的最好工具，当马跑得快了的时候，可以勒一下，马跑慢了的时候，可以松一下。因此套了皮带的马，未来的期望速度应该就是现在的速度。
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Measure Theory 测度论，是研究一般集合上的测度和积分的理论。它是勒贝格测度Lebesgue Measure和勒贝格积分理论的进一步抽象和发展，又称为抽象测度论或抽象积分论，是现代分析数学中重要工具之一。 测度理论是实变函数论的基础。纵观勒贝格积分和勒贝格－斯蒂尔杰斯Lebesgue -Stieltjes积分理论，不难发现它们都有三个基本要素。第一，一个基本空间（即 n维欧几里得空间Rη）以及这个空间的某些子集构成的集类即L（勒贝格）可测集或某L-S（勒贝格-斯蒂尔杰斯）可测集全体，这个集类对集的代数运算和极限运算封闭。第二，一个与这个集类有关的函数类（即L可测函数或某L-S可测函数全体）。第三,一个与上述集类有关的测度（即L测度或某L-S测度）。在三个要素的基础上，它们都是运用完全类似的定义和推理过程获得完全类似的一整套测度、可测函数、积分的定理（见勒贝格积分、贝尔函数）。测度论正是基于这些基本共同点所形成一般理论。
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Preimage 前象，逆象，原象
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Probability Measure A probability measure is a real-valued function defined on a set of events in a probability space that satisfies measure properties such as countable additivity. The difference between a probability measure and the more general notion of measure (which includes concepts like area or volume) is that a probability measure must assign 1 to the entire probability space. The requirements for a function μ to be a probability measure on a probability space are that: μ must return results in the unit interval [0, 1], returning 0 for the empty set and 1 for the entire space; μ must satisfy the countable additivity property that for all countable collections {Ei} of pairwise disjoint sets:
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Probability Space 概率空间(Ω, F, P)是一個总测度为1的测度空间(即P(Ω)=1). 第一项Ω是一个非空集合，有时称作“样本空间”。Ω 的集合元素称作“样本输出”，可写作ω。第二项F是样本空间Ω的幂集的一个非空子集。F的集合元素成为事件Σ。事件Σ是样本空间Ω的子集。集合F必須是一个σ-代数，(Ω, F)合起来称为可测空间。事件就是样本输出的集合，在此集合上可定义其概率。
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Proper Difference 严格差
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Radon-Nikodym Theorem In mathematics, the Radon–Nikodym theorem is a result in functional analysis that states that, given a measurable space (X,Σ), if a σ-finite measure ν on (X,Σ) is absolutely continuous with respect to a σ-finite measure μ on (X,Σ), then there is a measurable function f on X and taking values in [0,∞), such that
for any measurable set A.The theorem is named after Johann Radon, who proved the theorem for the special case where the underlying space is RN in 1913, and for Otton Nikodym who proved the general case in 1930. -
Real Analysis 实分析或实数分析，是处理实数及实函数的数学分析。专门研究数列，数列极限，微分，积分及函数序列，以及实函数的连续性，光滑性以及其他相关性质。实分析常以基础集合论，函数概念定义等等开始。
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Set Function In mathematics, a set function is a function whose input is a set. The output is usually a number. Often the input is a set of real numbers, a set of points in Euclidean space, or a set of points in some measure space. 集函数：设Ψ是上的非空集合类。若对于每个一个A∈Ψ,都有一个实数或者±∞之一与之对应(为确定起见，下面假定只取+∞)，记为φ(A)，且至少有一个A∈Ψ,使得φ(A)取有限值，称φ(A)为定义在Ψ上的集函数。
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Shannon-Mcmillan Theory Shannon-McMillan定理，熵定理
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sigma-algebra, σ-algebra By definition, a σ-algebra over a set X is a nonempty collection Σ of subsets of X (including X itself) that is closed under complementation and countable unions of its members. It is an algebra of sets, completed to include countably infinite operations. The pair (X, Σ) is also a field of sets, called a measurable space. sigma代数，Σ 是一个样本空间（Ω）的子集的非空集合，其元素满足一下特征：1. Ω∈Σ ；2. 如果A∈Σ，那么Ac（A的补集）也属于Σ；3. Σ内可数个元素的并也属于Σ 。
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Symmetric Difference 对称差
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Topological Space 拓扑空间，赋予拓扑结构的集合。如果对一个非空集合X给予适当的结构，使之能引入微积分中的极限和连续的概念，这样的结构就称为拓扑，具有拓扑结构的空间称为拓扑空间。引入拓扑结构的方法有多种，如邻域系、开集系、闭集系、闭包系、内部系等不同方法。拓扑空间是一种数学结构，可以在上面形式化地定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。
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