phymath999: math01 如果你的空間不是完備的，那麼利用柯西列去構造方程的解便沒有任何意義。但幸運的是，所有的賦距空間都包含於某個更大的完備賦距空間中

Friday, February 22, 2013

math01 如果你的空間不是完備的，那麼利用柯西列去構造方程的解便沒有任何意義。但幸運的是，所有的賦距空間都包含於某個更大的完備賦距空間中

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賦距空間的完備化

二月 24, 2012

完備化的基本定義

令 $(M,d)$ 為一個賦距空間。我們希望知道何時給定一個序列會是收斂序列，因此我們需要給出一些收斂序列的判別方法。在找出收斂數列的判別法之前，我們先來了解收斂數列的性質。
取 $M$ 上的一個序列 $(x_{n})$ 。如果序列 $(x_{n})$ 收斂其極限為 $x.$ 則任取 $\epsilon>0,$ 存在 $N>0$ 使得當 $n\geq N$ 時，恆有 $d(x_{n},x)<\epsilon/2.$ 如果 $n,m\geq N,$ 利用三角不等式可以知道

$d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{n},x)+d(x_{m},x)<\epsilon.$

這個不等式造成了Cauchy列定義的產生。
(柯西列)定義:如果對任意的 $\epsilon>0$ ，存在 $N$ 使得當 $n,m\geq N$ 時，恆有 $d(x_{n},x_{m})<\epsilon$ 。我們稱此數列為Cauchy序列。
收斂序列是柯西列，反之是否Cauchy列是否為收斂序列?我們先來看以下的例子，了解到一般的賦距空間中的柯西列未必是收斂數列。
範例1.令數列 $(a_{n})$ 定義如下

$a_{n+1}=a_{n}+1/n!,$ $a_{1}=1.$

則 $(a_{n})$ 是有理數數列。令 $M=\mathbb{Q}$ 且 $d(x,y)=|x-y|$ 。則 $(\mathbb{Q},d)$ 構成一個賦距空間。很容易証明數列 $(a_{n})$ 為Cauchy列，但不在 $\mathbb{Q}$ 裡收斂。
(完備空間)定義:如果一個賦距空間的所有Cauchy列都是收斂序列，則我們稱此賦距空間為完備的賦距空間(complete metric space)。
完備空間是相當重要的，因為我們希望透過利用空間中的Cauchy列去建構某種方程(線性或非線性微分或積分方程)的解。例如，我們希望建立積分方程

$\displaystyle f(x)=g(x)+\int_{a}^{b}k(x,y)f(y)dy$

的解。如果你的空間不是完備的，那麼利用柯西列去構造方程的解便沒有任何意義。但幸運的是，所有的賦距空間 $M$ 都包含於某個更大的完備賦距空間中。如果 $\overline{M}$ 是包含 $M$ 的完備賦距空間，並且 $M$ 是 $\overline{M}$ 的稠密子集，則我們稱 $\overline{M}$ 是 $M$ 的完備化(completion)。在進入完備化空間的數學定義之前，先讓我們熟悉一些賦距空間中的基本定義。

(保長映射)定義:假設 $(M,d)$ 與 $(M,\rho)$ 是兩個賦距空間，並且 $f:M\to N$ 是一個連續函數。如果對任意的 $x,y\in M,$

$\rho(f(x),f(y))=d(x,y)$

則我們稱函數 $f$ 為一個保長映射(isometry)。如果 $f:M\to N$ 是一個保長變換，並且 $f$ 本身是一個一對一且映成的函數，如果我們令 $g:N\to M$ 為 $f$ 的反函數，那麼 $g$ 本身也是保長變換。
(賦距空間的同構)定義:如果存在一個一對一且映成的函數 $f:M\to N$ 使得 $f$ 是一個保長變換，則我們稱 $f$ 是 $M$ 與 $N$ 之間的同構(isomorphism)，此時我們稱賦距空間 $M$ 與 $N$ 同構(isomorphic),並記為 $M\cong N.$
附註:我們可以定義一個關係如下:任給兩個賦距空間 $M,N,$ 我們說 $M\sim N$ 若且唯若 $M$ 與 $N$ 是同構的賦距空間。則我們可以證明 $\sim$ 是一個等價關係(equivalence relation)。
(稠密)定義:令 $M$ 為一個賦距空間，且 $D$ 是 $M$ 的一個子集。如果 $\overline{D}=M$ ，則我們稱 $D$ 是 $M$ 的一個稠密子集(dense subset)。
(完備化)定義:令 $M$ 為一個賦距空間。如果序對 $(f,N)$ 滿足下列條件，則我們稱序對 $(f,N)$ 是 $M$ 的一個完備化:
(1) $f:M\to N$ 是一個保長映射。
(2) $f(M)$ 是 $N$ 的一個稠密子集。
命題:如果 $(f,N)$ 與 $(f',N')$ 是 $M$ 的完備化，則 $N$ 與 $N'$ 是同構的賦距空間。
(完備化)定義:令 $\overline{M}$ 表示 $M$ 的所有完備化空間的等價類所構成的集合。我們稱 $\overline{M}$ 為 $M$ 的完備化。
說明:為了方便起見，通常我們會把 $\overline{M}$ 當作是等價類中的元素。但由於等價類中的元素都是同構的賦距空間，所以以賦距空間的性質來看，我們無須去區分等價類元素的差異。所以只要取出一個完備化 $(f,N)$ ，我們就把這個完備化 $N$ 記作 $\overline{M}$ 並且把 $M$ 看成是 $f(M).$

完備化空間的建構

令 $C_{M}$ 表示所有定義在 $M$ 上的柯西列所形成的集合。任給兩個 $M$ 上Cauchy列 $(x_{n}),\ (y_{n})$ ，我們希望定義一個關係 $(x_{n})\sim (y_{n}).$ 定義的方法如下:我們稱 $R: (x_{n})\sim (y_{n})$ 若且唯若

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}d(x_{n},y_{n})=0.$

不難証明 $\sim$ 是一個等價關係(equivalence relation)。給定一個Cauchy 列 $(x_{n})$ ，我們記 $[(x_{n})]$ 為所有與 $(x_{n})$ 等價的柯西列所成的集合。令 $C_{M}/R$ 是所有 $\sim$ 等價類所成的集合。我們稱 $C_{M}/R$ 為此等價關係的商空間(quotient space)。在這個集合上，我們定義一個函數 $\rho$ 如下

$\displaystyle\rho([(x_{n})],[(y_{n})])=\lim_{n\to\infty}d(x_{n},y_{n}).$

那麼可以証明 $\rho$ 定義了 $C_{M}/R$ 上的一個距離並且這個距離概念跟 $(x_{n})$ 與 $(y_{n})$ 的選擇無關。
命題: $(C_{M}/R,\rho)$ 是一個完備的賦距空間。
如果 $x$ 是 $M$ 上的一個點，我們定義一個序列 $P^{x}$ 如下: $P_{n}^{x}=x,$ $m\geq 1.$ 則 $P^{x}$ 是 $M$ 上的柯西列。我們定義 $f(x)=[P^{x}].$
命題: $f:M\to C_{M}/R$ 是一個保長映射，並且 $f(M)$ 是 $C/R$ 中的稠密子集。換句話說， $(f,C_{M}/R)$ 是 $M$ 的一個完備化。