一個空間不變系統不會產生出新的空間頻率

2-2

基礎數學－傅立葉轉換

2–2–1

線性系統與光學系統相應關係

在光學上的應用，傳氏轉換意味著光譜訊號

(波數)與干涉強度訊

號

(波長)之間的交換，要利用此數學工具時要注意到一點，就是，所

有的光訊號必需是線性的形式

[13]。但實際上，沒有一個光學系統是

絕對的線性，總是要在一定的限制下才是線性化。一個系統若為線性

系統，它的必要條件是：在此系統內部的所有元素必須是可行重疊原

理的。在數學上則 是所謂只存有一次項而任何高次項都不存在的情

況下才稱之為線性

[13]。

圖

2-5中所表示的，當輸入一個訊號f1(x, y)所產生的響應為g1(x, y)，

而另一個輸入訊號為

f2 (x, y)其相對應的響應為g2 (x, y)。分別以下式表

之

f

1(x, y) → g1(x, y)

f

2 (x, y) → g2 (x, y)

f

(x, y) g(x, y)

線性系統

圖

2-5 線性系統

利用干涉術研究紅外線光譜

逢

43 甲大學e-Thesys( 91 學年度)

若對於線性系統而言，則有下式的關係

f

1(x, y) + f2 (x, y)→g1(x, y) + g2 (x, y)

而在之前的討論下，我們得知，當波與波彼此之間的頻率差值非

常小時，我們可將干涉強度視之為許多單頻光之疊加干涉，符合重疊

原理。且線性系統還要有另一項物理特性，就是空間不變性，若系統

的輸入

f (x, y)為x和y的函數，其空間頻率為p和q，若輸出的響應

g

(x, y)是具有相同的空間頻率p和q的函數，那麼系統稱為具有空間不

變性。也即一個空間不變系統不會產生出新的空間頻率。

2–2–2

傅立葉轉換

一

. 傅立葉級數

由數學級數的關念，對於任意周期訊號可由下式表之

f

(t) = f (t + nT )

n

為任意整數

T

為周期

周期性訊號展成傅氏級數通常有兩種形式，即三角級數形式與指數級

形式，其各有表達上的優點

[15]，在此我們要利用傅氏級數這個數學

利用干涉術研究紅外線光譜

逢

44 甲大學e-Thesys( 91 學年度)

方法引出訊號頻譜的概念，並從頻域角度對周期信號進行分析。

(1).

三角形式的傅氏級數

因為訊息是由各個不同頻率的訊號所組成的，由此我們可將周期

信號展成不同頻率的正弦或餘弦三角函數的線性組合。即

f

(t) = a0 + a1 cosω1t + b1 sinω1t + a2cod2ω1t + b2 sin 2ω1t + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+

an cosω1t + bn sinω1t

( )

Σ

∞

=

= + +

1

0 1 1

n

a a

n cos n

ω t bn sinω t (2-43)

可清楚看出各個波的頻率，但在計算上較為繁複。

(2).

指數形式的傅立葉級數

由

(a)可導出指數形的傅立葉級數如下：

( )

f (t)e dt

T

F n

t T

t

∫

in t + − = 0 1

0

1

1

1

ω

ω (2-44)

T

1為某一時間區間

式中的

n = −∞ ~ +∞的整數

此種表達方式，在計算上較為方便

傅立葉積分

當傅立葉分析被利用在分析某一函數時而它的週期呈現出無窮

大時，這個結果將以傅立葉積分表示。

在此，週期無窮大代表著此函數不會有相同的規律性出現。也就

是說，當一個函數的週期愈大，此函數的基本頻率

(frequency of the

fundamental)

會愈小，而當函數的週期趨近無窮大時，其基本頻率趨

近於零

[15]。這個結果意味著，若基本頻率趨近於零時，可將所要處

理的訊號範圍內的所有頻率包含在內了，也就是說，利用傅立葉積分

時可表現出所有的頻率。

因此若將

(b)式中的時間區間T1→∞時，這相當於在頻域上，譜線

間隔

ω1=

1

2

T

π

將逐漸變小而趨近於零，則在時域上周期信號變成了非周

期信號，這意味著原本離散頻譜轉變為連續頻譜

[17]。

因此當有無限多個訊號疊加時，便產生非周期性訊號

氏積分來處理，積分本身的意義就是無限多個數集合

[14]。當無限個

調合波疊加一起時，所現出來的波不再是個有周期性變化的形式了