Tuesday, December 25, 2012

光線A入射水滴表面的入射角為a，水的折射率為n，分別求出透出光線B與入射光線A之間的偏向角b，以及透出光線C與A之間的偏向角c，以a和n 表示之

設光線A入射水滴表面的入射角為a，水的折射率為n，分別求出透出光線B與入射光線A之間的偏向角b，以及透出光線C與A之間的偏向角c，以a和n 表示之

光線折射進入水滴內 的結果 (無引號)：


物理奧林匹克競賽試題與解答
 
林明瑞
國立台灣師範大學物理系
E-mail: mjlin@phy.ntnu.edu.tw 
 
本刊徵得物理奧林匹亞選訓委員會的同意，每期精選若干試題和解答，以饗讀者。本期刊登二道光學題。


【本期試題評註】
前三期所選的試題都未涉及光學，本期特選兩道有趣的幾何光學試題。第一題求解彩虹的仰角問題。彩虹是由於射入水滴內的光線，經由折射和反射所產生，故僅僅利用司乃耳折射定律便可解出。第二題求解琥珀球內小蟲的視覺位置。琥珀為上百萬年的樹脂化石，陷在其內的小蟲當然也是百萬年之久的小精靈，我們在欣賞之餘，也不忘以物理的角度來觀賞。
 
 

1、如下圖所示，從太陽射來的一條光線A，進入球形的水滴後，經一次折射後，沿光線B的方向透出水滴；另有經一次內反射及一次折射後，沿光線C的方向透出水滴。回答下列問題：

 

(1)    設光線A入射水滴表面的入射角為a，水的折射率為n，分別求出透出光線B與入射光線A之間的偏向角b，以及透出光線C與A之間的偏向角c，以a和n 表示之。

(2)    當有一束平行光線入射水滴表面時，光束內的每一條入射光線有不同的入射角a，因此透出水滴的光線對應有不同的偏向角。如果偏向角有極值(即極大或極小)時，表示在此角度附近的透出光線較為集中，即光強較大。從光線C的反方向看出去，即是虹的仰角。已知水滴的對紅光和紫光的折射率分別為1.331和1.344，求彩虹中紅色環和紫色環的仰角各為何？

(3)   
A

B

C

a

b

c

如果從光線B的反方向看出去，能否看到類似彩虹的色環？


 

解：

(1)      由下圖中的幾何關係，可得


由司乃耳折射定律得


 

a

θ

θ

θ

b

c

á

A

C

B

b
 


 

 

 

 


故


(2)      如果c 有極值，則



對紅光而言，n = 1.331，代入上式，得 ，所對應的仰角為



對紫光而言，n = 1.344，得 ，所對應的仰角為 。

 

(3)      如果b有極值，則


n=1是不可能的！所以從光線B的反方向看出去不可能看到類似彩虹的色環。

2、在一透明的琥珀球體內，嵌有一隻小蟲。小蟲P的位置和球心O之間的距離為r，如右圖所示。已知球的半徑為R，琥珀的折射率為n，回答下列問題：

(a) 試討論在什麼角度範圍內（對小蟲的張角）觀察該球，才可以看到小蟲？

(b) 若從A點的右方，沿著直徑（A→B）的方向觀察小蟲，則所見到的小蟲位置離球心有多遠？比小蟲的真正位置要深些？還是淺些？

(c) 同(b)題，但改從B點的左方，沿著直徑（B→A）的方向來觀察小蟲。

解：

(a) 考慮一條從P點所射出到達C點的光線，其與法線之間的夾角為α。若α小於臨界角αc，則光線可透出球外，觀察者可看到小蟲；若α大於臨界角αc，則光線將全反射，由於是球對稱，此光線將持續在球內全反射，無法透出球外。

利用正弦定律，由三角形OPC可得


………….(1)

設 為臨界角，則 ， 。

討論：

 

 

(1) 若 ，則 ，即βC無解。從P點所射出到達球面的所有光線，其入射角都小於臨界角，皆可折射出球體外，因此從球外任何方向都可看到這隻小蟲。

 

【註】：由(1)式可知 ，從圖上可看出當 時，所對應的 角最大，所以 。

(2)若 ，則 ，即 有解。從P點所射出的光線中，只有那些與直徑AB所夾成的銳角小於 者，才能透出球外。因此從球體外觀察，必須在以OP連線為中心軸的兩角錐內（對P點的張角為 ），才可看到小蟲。在上圖中，若 ，則P點在角錐CPD和角錐EPF的範圍內所射出的光線，可透出球外。

(b)利用球面的折射公式 ，可求得小蟲的成像位置，式中r為曲率半徑。

…(2)

從球外沿著直徑（A→B）的方向觀察小蟲，則所見到的小蟲位置在P點的左方，顯得深些，其與球心之間的距離為

 

 (3)

 

【註】：參考下圖，追蹤折射的光線亦可求出小蟲的成像位置。


 

上圖中 為所求的小蟲的像位置。由於觀察者的視線是沿著直徑AB的方向，所以圖中的所有角度都很小。設 ，利用正弦定律可得

在三角形 中 ，但 …………………(4).                      (4)

在三角形 中 ………(5)

又由司乃耳折射定律得                  ……….(6)

由(4)、(5)、和(6)三式可得

………(7)                               (7)

(c)仿照(b)題，利用球面的折射公式，可得

………(8)                                (8)

從球外沿著直徑（B→A）的方向觀察小蟲，則所見到的小蟲位置在P點的左方，顯得淺些，其與球心之間的距離為
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