(71)第3篇 庞加莱：第一个研究混沌运动的科学家
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远古时代人们对大自然的变幻无常怀着神秘莫测的恐惧。几千年的文明进步使人类逐渐认识到，大自然是有些规律可循的。经典力学在天文学上的预言获得辉煌的成就，无疑给予了人们巨大的信心，以致在18世纪里把宇宙看作一架庞大时钟的机械宇宙观占了统治地位。
伟大的法国数学家拉普拉斯（Pierre Simon de Laplace)的一段名言把这种彻底的决定论思想发挥到了顶峰：设想有位智者在每一瞬间得知激励大自然的所有的力，以及组成它的所有物体的相互位置，如果这位智者如此博大精深，他能对这样众多的数据进行分析，把宇宙间最庞大物体和最轻微原子的运动凝聚到一个公式之中，对他来说没有什么事情是不确定的，将来就像过去一样展现在他的眼前。
牛顿力学在天文上处理得最成功的，是两体问题，譬如地球和太阳的问题。两个天体在万有引力作用下，围绕它们共同的质心作严格的周期运动。正因为如此，我们地球上的人类才有个安宁舒适的家园。但是太阳系中远不只两个成员，第三者的介入会不会动摇这种稳定与和谐？长期以来天文学上按牛顿力学来处理这类问题，用所谓“摄动法”即把其它天体的作用看作是微小的扰动，以计算对两体轨道的修正。
拉普拉斯用这种方法“证明”了三体的运动也是稳定的。当拿破仑问他这个证明中上帝起了什么作用时，他的回答是“陛下，我不需要这样的假设”。拉普拉斯否定了上帝，然而他的结论却是错的，因为他所用的摄动法级数不收敛。第一个意识到三体问题全部复杂性的也是位法国数学家，他叫庞加莱（HenriPoincare)。
庞加莱是19、20世纪之交最伟大的数学家，当今有关“混沌”理论最深刻的思想，都已经在他的头脑里形成了。只不过那时没有强有力的计算机，把他的思想清晰地表达出来。1887年瑞典国王奥斯卡二世（Oscar )以2500克朗为资金征文，题目是天文学上的基本问题：“太阳系稳定吗？”庞加莱是最渊博的数学家，他谙熟当时数学的每个领域，对奥斯卡国王的问题自然要试一下身手。庞加莱并没有最终解决它，事后表明，此问题的复杂性是人们没有预料的。但由于他的工作对这个领域产生的深刻影响，庞加莱还是获得了奖。
在万有引力作用下三体的运动方程，可以按照牛顿定律严格地给出，但由于它们是非线性的，谁也不会把它们的解表达式成解析形式（事后证明这是不可能的；不仅三体问题的运动方程不可能，而绝大多数非线性微分方程的解都不可能写成解析形式）。
庞加莱另辟蹊径，发明了相图和拓扑学的方法，在不求出解的情况下，通过直接考查微分方程本身的结构去研究它的解的性质。庞加莱开拓了整整一个数学的新领域----微分方程的定性理论，至今有着极其深远的影响。
十足的三体问题太复杂了，庞加莱采用了美国数学家希尔（Hill)提出的简化模型：假定有两个天体，它们在万有引力作用下，围绕共同的质心，沿着椭圆形的轨道，作严格的周期性运动（这种运动叫做“开普勒运动”）；另有一颗宇宙尘埃，在这两个天体的引力中游荡。两天体可完全不必理会这颗粒产生的引力对它们轨道的影响，更不会动摇它们之间运动的和谐，因为颗粒的质量相对它们自己来说实在太小了。
可是颗粒的运动会是怎样的呢？这简化模型现称之为“限制性三体问题”。庞加莱用自己的发明的独特方法穿探寻着，这颗粒有没有周期性轨道。他在相间的截面上发现，颗粒的运动竟是没完没了的自我缠结，密密麻麻地交织成如此错综复杂的蜘蛛网。要知道，当时并没有计算机把这一切显示在屏幕上，上述复杂图象是庞加莱靠逻辑思维在自己的头脑里形成的。他在论文中写道：“为这图形的复杂性所震惊，我都不想把它画出来。”这样复杂的运动是高度不稳定的，任何微小的扰动都会使粒子的轨道在一段时间以后有显著的偏离。因此，这样的运动在一段时间以后是不可预测的，因为在初始条件或计算过程中任何微小的误差，都会导致计算结果严重失实。
庞加莱的发现告诉我们，简单的物理模型（如限制性三体问题）会产生非常复杂的运动，决定论的方程（拉普拉斯意义下的）可导致无法预测的结果。
虽然庞加莱的发现已有100多年了，而且在此期间许多优秀的数学家继庞加莱之后作出了卓越的贡献，直到1975年学术界才创造了“混沌（chaos）”这个古怪的词儿，来刻画这类复杂的运动。本世纪七八十年代在学术界掀起了理论的热潮，从数学、力学、化学、生物学等自然科学。在新闻媒体的报导下，又将“混沌”一词传播到社会上，难免被渲染上几分神秘的色彩。
什么是混沌？撇开数学上严格的定义不谈，我们可以说混沌是在决定性（deterministic）动力学系统中出现的一种貌似随机的运动。动力学系统通常由微分方程、差分方程或简单的迭代方程所描述，“决定性”的指方程中的系数都是确定的，没有概率性的因素。从数学上说，对于确定的初始值，决定性的方程应给出确定的解，描述着系统确定的行为。但在某些非线性系统中，这种过程会因初始值极微小的扰动而产生很大的变化，即系统对初值依赖的敏感性。由于这种初值敏感性，从物理上看，过程好像是随机的。这种“假随机性”与方程中有反映外界干扰的随机项或随机系数而引起的随机性不同，是决定系统内部所固有的，可称之为内禀随机性（intrinsic stochasticity）。的确，计算机数值计算和真实的物理实验都表明，在一定的参数下，在单摆和倒摆的受迫振动中都会出现混沌运动。待开始一段暂态过程过去后，周期运动的相轨道趋于闭合曲线，即极限环；混沌运动的相轨则趋于非常复杂的吸引子，叫做奇怪吸引子(strange attractor)或混沌吸引子(chaotic attractor)。（网络下载）
杨鸿智 发表于：2006/5/2 21:05:00
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