偏微分方程及其应用*
闫 萍 盛其荣 吕 腾
新疆大学数学与系统科学学院，乌鲁木齐 830046
关键词： 偏微分方程 人口模型 传染病动力学模型
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偏微分方程概述
偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程。早在微积分理论刚形成后不久，人们就开始用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将所得到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效，显示了偏微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性。逐渐地，以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内容，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法，不断地促进着许多相关数学分支(如泛函分析、微分几何、计算数学等)的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。
在国外，对偏微分方程的应用发展是相当重视的。很多大学和研究单位都有应用偏微分方程的研究集体，并得到国家工业、科学部门及军方、航空航天等方面的大力资助。比如在国际上有重大影响的美国的Courant研究所、法国的信息与自动化国立研究所等都集中了相当多的偏微分方程的研究人员，并把数学模型、数学方法、应用软件及实际应用融为一体，在解决实际课题、推动学科发展及加速培养人才等方面都起了很大的作用。
在我国，偏微分方程的研究起步较晚。但解放后，在党和国家的大力号召和积极支持下，我国偏微分方程的研究工作发展比较迅速，涌现出一批在这一领域中做出杰出工作的数学家，如谷超豪院士、李大潜院士等，并在一些研究方向上达到了国际先进水平。但总体来说，偏微分方程的研究队伍的组织和水平
、研究工作的广度和深度与世界先进水平相比还有很大的差距。因此，我们必须继续努力，大力加强应用偏微分方程的研究，逐步缩小与世界先进水平的差距。
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偏微分方程的应用
在科技和经济发展中，很多重要的实际课题都需要求解偏微分方程，为相应的工程设计提供必要的数据，保证工程安全可靠且高效地完成任务。
在很多的实际课题中，有不少课题(特别是国防课题)是不能或很难用工程试验的方法来进行研究的(一方面是危险系数大，另一方面是耗费大)，因此就需要尽可能地减少试验的次数或在试验前给出比较准确的预计。
随着电子计算机的出现及计算技术的发展，电子计算机成为解决这些实际课题的重要工具。但是有效地利用电子计算机，必须具备如下先决条件：
针对所考虑的实际问题建立合理的数学模型，而这些能精确描述问题的模型大都是通过偏微分方程给出的。
对相应的偏微分方程模型进行定性的研究。
根据所进行的定性研究，寻求或选择有效的求解方法。
编制高效率的程序或建立相应的应用软件，利用电子计算机对实际问题进行模拟。
因此，总体上来说，上述这些先决条件都属于偏微分方程应用的研究范围，这些问题解决的好坏直接影响到使用电子计算机所得结果的精确性及耗费的大小。如果解决得好，就会对整个问题的解决起到事半功倍的效果。
到目前为止，偏微分方程已经在解决有关人口问题、传染病动力学、高速飞行、石油开发及城市交通等方面的实际课题中做出了重大的贡献。
下面以大家比较熟悉的人口问题及传染病动力学问题为例，详细阐述偏微分方程在解决实际问题中的应用。
2.1 偏微分方程在人口问题中的应用
人口问题是大家都很感兴趣的问题(这里所说的人口是广义的，并不一定限于人，可以是任何一个与人有类似性质的生命群体)。对人口的发展进行研究最先所采用的大多是常微分方程模型。例如，马尔萨斯模型［1］：
其中
表示
时刻的人口总数，
为初始时刻
时的人口总数，
表示人口净增长率。
马尔萨斯模型只在群体总数不太大时才合理。因为当生物群体总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间、有限的自然资源及食物等原因，就要进行生存竞争。而马尔萨斯模型仅考虑了群体总数的自然线性增长项
，没有考虑生存竞争对群体总数增长的抵消作用。因此在群体总数大了以后，马尔萨斯模型就不再能预见群体发展趋势，这时就要采用威尔霍斯特模型［2］：
其中，
称为生命系数，而且
比
要小很多。
就是考虑到生存竞争而引入的竞争项。当群体总数
不太大时，由于
比
小很多，则可以略去上面方程中右端的第二项而回到马尔萨斯模型。但是当群体总数增大到一定程度时，上面方程中右端的第二项所产生的影响就不能忽略。
不论是马尔萨斯模型还是威尔霍斯特模型，它们都是将生物群体中的每一个个体视为同等地位来对待的，这个原则只适用于低等动物。对于人类群体来说，必须考虑不同个体之间的差别，特别是年龄因素的影响。人口的数量不仅和时间有关，还应该和年龄有关，而且人口的出生、死亡等都和年龄有关。不考虑年龄因素就不能正确地把握人口的发展动态。这时，就必须给出用偏微分方程描述的人口模型［2］：
其中，
表示任意时刻
按年龄
的人口分布密度，
表示年龄为
的人口死亡率，
表示年龄为
的人的生育率，
表示可以生育的最低年龄，
表示人的最大年龄。
对于上述偏微分方程模型成立如下结论：
定理1：对偏微分方程的初值问题(1)－(3)，如果下列条件成立：
(I)
在区间
上，
且适当光滑；
(II)
在区间
上，
且适当光滑，并且当
时，
及
；
(III)
；
(IV)
。
则该初边值问题(1)－(3)存在唯一的整体解
并且满足
且
。
该模型在经过适当的简化假设后，例如假设
常数，
常数，就可以回到前面的常微分方程模型。但在偏微分方程模型中
、
均与年龄有关，这与现实情况相符。因此，偏微分方程模型确实更进一步、更能精确地描述人口分布的发展过程。
2.2 偏微分方程在传染病动力学中的应用
自去年“非典”疫情蔓延后，人们对传染病也开始给予更多的关注，不同领域的研究人员都在各自的领域中开始对传染病进行深入细致的研究。另一方面，由于传染病本身所特有的传染性、潜伏性等，不仅给人们的工作学习带来了极大的影响，而且也给研究工作带来了许多难以克服的困难。为了减少传染病带来的负面影响，就非常有必要对传染病的发展趋势和发展规律进行研究，以便能够采取适当的措施对传染病的流行加以预防和控制。
现在用数学方法来考察传染病的理论，对它的发展机理、动态过程及发展趋势进行研究，已经逐渐成为一个非常活跃的研究领域。早在1979年，R. M. 安德森就给出了一个传染病动力学的常微分方程模型［3］：
其中，
分别表示三类人的人口总数(
对应健康而可能被传染的一类人；
对应已经患病的人；
对应具有免疫力的人)，
表示出生率，
表示自然死亡率，
表示传染病的死亡率，
表示治愈率，
表示传染病的发病率，
表示免疫力失去率。
对上述常微分方程组进行分析求解，就可以了解不同时刻传染病的动力学特征(比如：传染病病情的发展趋势，即各类人的人口数量
的分布情况)。
但是，上述常微分方程模型没有考虑到年龄因素对传染病发病情况的影响。而实际上，对传染病而言，除极少数传染病(如出血热)外，传染病的发病情况均与年龄有关，而且发病率、治愈率以及死亡率等也均与年龄有关。因此，在建立传染病动力学模型时，必须考虑年龄因素的影响；同时，传染病的发病情况还和发病时间的长短(病程)有关，治愈率及死亡率等也可能与病程有关。那么，能够精确地反映传染病动力学特征的模型就应该是不仅考虑时间因素的影响，而且还要考虑年龄因素及病程因素影响的偏微分方程组形式的数学模型［4~6］。
由于偏微分方程组模型能够比较精确地反映传染病动力学的发展动态及发展趋势，因此对它的研究自二十世纪八十年代以来一直都是一个非常活跃的研究领域，并且也已经取得了许多不错的结果［4~7］。
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结束语
由于同一类型的偏微分方程往往可以用来描述许多性质上颇不相同的自然现象，对一些重要的偏微分方程开展研究，可以有多方面的应用前景，并可望在新兴学科或边缘学科的开发中及时地发挥作用。
参考文献
〔2〕 G. F. Webb, Theory of
Age-Dependent Population Dynamics, Marcel Dekker, INC., 1985.
〔3〕 R. M. Anderson, The persistence
of direct life cycle infectious disease with populations of hosts, Lecture on
Math in the Life Science, AMS 12(1979)，1-67.
〔4〕李大潜，传染病动力学的一个偏微分方程模型，高校应用数学学报，1(1986)，17-26.
〔5〕李大潜，非终身免疫型传染病动力学的偏微分方程模型，生物数学学报，1(1986)，29-36.
〔6〕闫萍 等，无免疫型传染病动力学的微分模型，已投稿，2004.
〔7〕姚勇，传染病动力学方程组解的整体存在唯一性，数学年刊，12A(1991)，218-230.
作者简介 闫萍，女，32岁，博士，新疆大学，应用数学专业。地址：新疆大学数学与系统科学学院，邮编：830046.
电话：8582013. E-mail: yanp2002cn@163.com
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