數
學傳播35卷1期, pp. 15-28
最
小作用量原理
To move or not to move, that is a question!
林
琦焜
§
1 最小作用量原理之簡史:
『
迄今為止我們的經驗使我們有充分理由相信, 大自然是可構想出來的數學概念之實現。』
—Albert Einstein (1879 –1955) —
從古希臘時代以來, 追求數學上的簡單與完美成了探索大自然知識的原動力。這其中最重
要
的代表性人物當然首推畢達哥拉斯, 這個學派提出兩個信念: 第一、大自然是根據數學原理
建
立的, 第二、一旦數的結構被抓住, 我們就能揭示大自然的秩序。
聖經
創世紀: 上帝說: 要有光於是就有了光。對於光的追求應是人類歷史最重要的一件事。
歷
史上第一個利用極值原理推出光的物理定律可能是古希臘亞力山卓Hero 證明的反射定律。
當
光線由一介質到另一介質, 例如由空氣到水時, 不僅光速(率) v1要變化(比如變到v2), 而且
連
光線的方向也要變化, 後來由W. Snell(1580–626) 與法國數學家笛卡兒(R. Descarte;
1596–650)
發現, 光線所走的是這樣子的一條路線, 它使得v1 除以v2 等於sin θ1 除以
sin
θ2。爾後費馬(P. Fermat; 1601–665) 在他去逝的那一年提出一個神秘原理, 今天我們通
稱
為費馬原理。這原理證明了, 這條路線也是所需時間最少的路線。光所選擇的是使得它到達
目的
地所花時間最短的那條路線。這似乎暗示光是有人性, 它會選擇甚麼是對它最有利的途徑。
費馬
原理(Fermat’ principle) 在幾何光學的成功引導人們思考, 是不是力學系統也可以
用
類似此原理, 富有神學、哲學味道的說法導出呢? 答案是肯定的, 就是最小作用量原理(least
action principle),
形式與費馬原理略為不同。
15
16
數學傳播35卷1期民100年3月
圖
1. 費馬1601–665 圖2. Maupertuis 1698–759
最
小作用量原理是由18世紀的法國物理學家(Pierre L. M. de Maupertuis; 1698–1759) 所提, 其目的之一是想推廣費馬原理至一般力學系統, 他仍然是從光的理論著手而後宣
稱
『作
用是質量、速度和所遍歷路徑的乘積的總和, 自然界的行為就是要使這種作用, 及
其
總和在數學上的複合量, 儘可能的小。』
Maupertuis
從最小作用量原理出發, 成功地得到了各種力學、光學定律, 他提出這一原理是為
了
堅持其神學信仰, 他並且還宣稱這條原理不僅是自然界的普遍規律, 而且還是上帝存在的第
一
個科學證明。自此上帝由古希臘和文藝復興時代科學家認為的“幾何學家”搖身一變成為更博
學
的人物, 不單單是幾何學家, 更是對一切都精通的數學大師。
圖
3. Euler 1708-1783 圖4. Lagrange 1736–813
最
小作用量原理17
繼
Maupertuis 之後, L. Euler(1707–783) 亦堅持此信念對變分學(法) 與古典力學
作了
重要的貢獻, Euler處理的是單個質點運動, 然而Joseph-Louis Lagrange(1736–813)
則
處理多個質點交互作用的運動, 為此他引進廣義座標的概念而且他的方法比Euler 高明, 而
Euler
也展現高超的人格, 將已經整理好的文章擱置而讓Lagrange 先發表, 從此Lagrange
就
成為Euler 的科學繼承人, 我們將他們推導出來的微分方程稱為Euler-Lagrange 方程以表
揚
他們的貢獻。Lagrange 藉由變分法統一了力學, 而且如Hamilton 所言把它處理成“一首
科
學的詩” 這個代表作就是《分析力學》。
一
個好的理論有它自己的生命, 是受一種神秘的內在的邏輯支配的。最小作用量原理到19
世
紀得到進一步的完善推廣, 其中最重要的工作是愛爾蘭物理學家William Rowan Hamilton
(1805-1865),
他以類比法把牛頓力學發展成強調其與光學之波傳遞之類似性。他引進所謂的廣
義
動量及Hamiltonian 函數並將Euler-Lagrange 方程改寫為一階聯立微分方程組就是以他
為
名的Hamiltonian 系統, 自此牛頓力學獲得完美的詮釋並取得優雅與對稱的形式, 而其重要
性
在百年之後的量子力學才為人們所認識。
圖
5. Hamilton 1805-1865 圖6. Planck 1858–947
普朗
克(Max Karl Ernst Ludwig Planck; 1858一1947), 德國物理學家。他於1900年
研
究黑體輻射導出了能量量子和頻率之間的著名關係式
E
= ~ν
引
入了以他的名字命名的自然界的一個新常數~, 從而指出了輻射能量的量子性, 開創了物理
學
的新時代, 成為近代物理學的奠基者。令人驚訝的是普朗克常數~與作用量有相同之量綱,
[
~] = [E][ν] = ML2T−2L−1 = MLT−2 = [作用量]
這
也暗示量子力學可以透過最小作用量原理來詮釋, 最終使得普朗克成為這個原理最忠實的擁
護者
。
18
數學傳播35卷1期民100年3月
所有的
力學依最小作用量原理或按牛頓定律來描述, 實際上是等價的, 不多也不少。但是當
我
們對於物理學的認識超過牛頓力學時, 最小作用量原理的優越性就更加明顯。有別於牛頓定
律
, 它讓我們認識到整個過程是重要的,而且不受座標變換之影響,透過這個原理加上對稱(symmetry)
使人們對
於守恆律有了最深刻之認識。這些基本上構成了我們理解大自然的根本要素。
最
小作用量原理考慮了所有的路徑、經歷, 這似乎展現了大自然人性的一部分, 這也帶給人們無
限
的安慰, 也難怪有不少物理學家相信造物者是從最小作用量原理的角度來考慮問題。
『
當發現了自然界的第一批數學的、邏輯的統一性時, 人們為由此所導致明析的、美
麗
的和簡單性所陶醉,相信自己已真正辨認出全能上帝的永恆思想。上帝的心智在三
段式
論證中雷鳴與迴響。祂還以圓錐曲線、平方、開方和比例的方式思想, 與歐幾里
得
一樣作幾何。祂創造了刻卜勒定律讓行星去遵循;祂讓自由落體之速度隨時間成正
比
增加, 祂創造了正弦定律讓光在折射時遵循; . . . 祂想出了所有物體的原形, 並設
計
了其變體; 當我們對這些創造中的任一個進行再發現時, 我們把握了上帝的心意。』
—William James(1842 –1910; Pragmatism, 1907) —
§2 何謂作用量:
『
最小作用量原理在物理學定律中享有最崇高的地位..... 而且似乎統治著自然界中
所有
可逆的過程。』
—Max Planck (1845–918) —
作用量(action) 的中文翻譯並不是很精確, 我建議讀者查一下英英辭典(牛津), 其解釋如下
Action: the process of doing something in order to achieve a purpose.
所
謂作用量, 是指質點整個運動過程—從某個初始時刻到另一個終止時刻—的一個性質。
以
牛頓力學而言, 我們關心的是質點在每時每刻之狀態。作用在質點上的力是依照牛頓運
動
第二定律F = ma 來決定, 如果給定質點在這時刻的位置與速度就可以推出在下一時刻的
位
置與速度。通過不斷重複這個過程我們可以確定質點在任何時刻的位置與速度, 這整個過程
是
透過微分方程即微分法來描述。另一方面, 作用量原理則是考慮質點所有可能的路徑, 基本上
是從比
較結構性的角度看問題。
作
用量經由Leibniz(1646–716)、Maupertuis、Euler、Lagrange 之研究, 最後是愛爾蘭
物理
學家Hamilton 給予如下之定義, 作用量等於動能減位能再對時間做積分:
作
用量= (動能−位能) ×時間
最
小作用量原理19
其
量綱(因次) 為
[
作用量] = ML2T−1
動
能是“動”、位能是“靜” 所以作用量原理告訴我們如何在動、靜之間取得平衡。不同的路徑
的
作用量都不同, 因此我們的數學問題是要找出作用量最小的那條路徑。
§
3 費馬原理:
『
光線從一點行至另一點所遵循之路徑, 依所需之時間最短者。』
—
費馬(Fermat: 1601–665) —由費馬原理直接之推論便是折射定律: 假設光線從P(a, b) 點經過第一種介質在臨界面
上
的一點X(x, 0) 射入第二種介質, 到達Q(c, d) 點, 形成入射角θ1、折射角θ2, 而在兩個介
質
中之速率分別為v1、v2, 則光線從P 經過X 至Q 所需之時間為
T
= T(x) =
p
(
x −a)2 + b2
v
1
+
p
(
c −x)2 + d2
v
2
其
微分等於零(時間最短)
T
′(x) = 0 =⇒
x
−a
v
1
p
(
x −a)2 + b2
=
c
−x
v
2
p
(
c −x)2 + d2
但
sin
θ1 =
x
−a p
(
x −a)2 + b2
,
sin θ2 =
c
−x p
(
c −x)2 + d2
故
可得折射定律
sin
θ1
v
1
=
sin
θ2
v
2
(3.1)
圖
7. 折射定律
20
數學傳播35卷1期民100年3月
利
用微積分費馬證明了這條由正弦定律所決定的路徑, 正是使得光線由P點到Q點所需時
間
最短, 這樣Hero 的反射定律在1600年之後, 由一個類似且同樣重要的折射定律所補充。所
以藉由折射定律只要測量每一介質對真空的折射率, 就可以知道任何兩個介d
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