由于有序化动能(如简并能)不参加热过程

第

33卷第11期 西南大学学报(自然科学版) 2011年11月

Vol.33 No.11 JournalofSouthwestUniversity

(NaturalScienceEdition) Nov. 2011

文章编号

:1673 9868(2011)011 0055 08

自引力系统能态热力学

①

邓昭镜

西南大学物理科学与技术学院

,重庆400715

摘要

:以自引力系统能量密度函数为模板建立了自引力系统中大尺度热力学,首先介绍了自引力系统的内能(总结

合能

)和能量密度函数,其次以动力学内能密度函数为模板建立各种能量密度函数的统计平均.在此基础上引入温

度

、热量、熵和自引力功等热力学函数,最后建立了自引力系统热力学的第0定律、第一定律、第二定律和第三定

律

,完善了自引力系统热力学的基本理论结构.

关 键 词

:能量密度函数;熵;热量;温度

中图分类号

:O414.1 文献标志码:A

目前

,黑洞主流学派所建立的自引力系统热力学理论基本上是将Clausius热力学形式地搬用到黑洞系

统上的结果

,由此所建立的“热力学”面临许多不可克服的困难.为了能建立与黑洞系统适配的热力学理

论

,本研究特在负能谱热力学理论基础上进一步提出自引力系统能态热力学.

1

能量密度函数和能量密度守恒

为简化分析

,选择球对称星体的弯曲时空作为建立大尺度热力学的典型对象.球对称星体的总结合

能

[1] 为

E

=Es -E0 =∫R

0

4

πr2 ρ(r)- m0Nn(r)

1

-2Gm (r)

é

ë

êêê

ù

û

úúú

r

dr=∫R

0

4

πr2ε(r)dr (1)

式中

:ES 是星体在弯曲时空中的固有总能量;E0 是处于完全分散状态中,星前态总能量;ρ(r)是星体在弯

曲时空中的固有密度

;m0N 是核子静质量;n(r)为星前初始态数密度;R 是星云外半径.引入参量Γ =

(

g44)-12

[

2]

后

,则星体的内能密度(或结合能密度)表示为ε(r)≡ρ(r)-Γm0Nn(r).

引入弯曲时空中的总能量

:

췍

E ≡∫R

0

4

πr2ρ(r)dr

1

-2Gm (r) r

=

∫R

0

4

πr2Γρ(r)dr=∫R

0

4

πr2췍ε(r)dr (2)

于是星体的总动能和总势能分别为

:

E

k ≡∫R

0

4

πr2Γ[ρ(r)-m0Nn(r)]dr=∫R

0

4

πr2εk(r)dr ≥0 (3)

E

v ≡∫R

0

4

πr2[1-Γ]ρ(r)dr=∫R

0

4

πr2εv(r)dr ≤0 (4)

由

(1)、(3)、(4)式引入3个基本的能量密度函数,即内能密度ε(r)、动能密度εk(r)和引力势能密度εv(r),

①

收稿日期:2010 11 24

作者简介

:邓昭镜(1932 ),男,湖北宜昌人,教授,主要从事热力学与统计物理的研究.

这

3个能量密度函数遵从能量密度守恒:

ε

(r)=εk(r)+εv(r) (5)

这

3个密度函数分别表示为:

ε

(r)=ρ(r)-Γm0Nn(r);εk(r)=Γ[ρ(r)-m0Nn(r)];εv(r)=(1-Γ)ρ(r) (6)

式中

:Γ= (g44 )-1,在球对称椭圆时空中Γ= 1-2Gm æè

ç

öø

÷

r

-

12

;

ρ(r)是粒子在弯曲时空中的固有密度.这3个

密度对不同的时空

(即不同的g44)将分别具有相对不同的分布,尤其是内能密度ε(r),它在平直时空和双曲时

空中内能密度恒正

,而在椭圆时空中恒负.图1绘制了在球对称椭圆时空中强引力源系统的内能密度曲线,图

2

绘制了在近平直时空中弱引力系统的内能密度曲线,图3则是在双曲时空中斥力系统的内能密度曲线.

图

1 强引力源中粒子的能量密度曲线图2 近平直时空中粒子的能量密度曲线

图

3 自排斥的双曲时空中的能量密度曲线

2

以动力学能量密度为模板建立能态热力学

前面由

(1)式到(5)式所建立的能量和能量密度函

数

,都是动力学(即引力场论)中引入的精确的动力学变

量

.这里每一个量都是精确的,没有随机性.现在我们

研究的是热力学系统

,是有“热”过程参与的热力学系

统

.这时系统中的总结合能E、总动能Ek 和总引力势能

E

v 都不再是精确的动力学函数,而是具有随机性的统计

力学函数

.现在以内能密度函数ε(r)为谱(或称模板),

引入温度参量函数

β(r),按以下三式建立3个能量密度

平均

[3],即:内能密度平均<ε(r)>, 动能密度平均

<

εk(r)>和引力势能密度平均<εv(r)>,表示为:

<

ε(r)>=Σi

ε

(i)g(ε(i))e-βεi

Σ

i

g

(ε(i))e-βεi =∫∞

0

ε

(r)g(ε)e-βεdε

∫

∞

0

g

(ε)e-βεdε

<

εk(r)>=Σi

ε

k(i)g(ε(i))e-βε(i)

Σ

i

g

(ε(i))e-βε(i) =∫∞

0

ε

k(r)g(ε)e-βεdε

∫

∞

0

g

(ε)e-βεdε

<

εv(r)>=Σi

ε

v(i)g(ε(i))e-βε(i)

Σ

i

g

(ε(i))e-βε(i) =∫∞

0

ε

v(r)g(ε)e-βεdε

∫

∞

0

g

(ε)e-βεd

ü

þ

ý

ïïïïïïïïïï

ïïïïïïïïï

ε

ï

(7)

56

西南大学学报(自然科学版) http://xbbjb.swu.cn 第33卷

式中

g(ε(r))是处在能谱ε(r)上的态密度.

3

系统的温度和温度符号的决定

系统的温度是系统中单粒子平均内能密度的宏观反映

.因此,本文提出一个对所有时空结构普适的温

度内能密度关系

,表述为:一切达到热平衡的系统,其温度只是平均内能密度<ε(r)>的正相关函数.当充

分热激发时

,系统的温度T(ri)将正比于系统单粒子平均内能密度<ε(r)>.

T

(ri)=f(<ε(r)>) 热充分激发时→

C

k

B<ε(r)> (8)

式中

:C 是常数,kB 是Boltzman系数.对于平直时空,可示例于下[4]:

T

= 2

3

kB<ε> 经典理态气体

T

= 1

3

kB<ε> 相对论理想气体

T

=<ε> 理想谐振子系统

T

= 30 π4kB

ζ

(3) <ε> 光子系统

当系统未充分激发时

,粒子数可变,例如Bose系统由于Bose凝聚,Fermi系统由于Fermi简并,都可

减少激发粒子数

,使Ne 减少,这时有[5]:

T

= 2

3

kB

g

32

(

z)

g

52

(

z)<ε> Bose系统

T

= 2

3

kB

f

32

(

z)

f

52

(

z)<ε> Fermi系统

(9)

式中

gn(z)和fn(z)分别是n阶Bose和Fermi函数,当z→0时,它们都趋向经典理想气体的温度表示.以上

表明平直时空完全符合本文提出的普适关系

.当进入到弯曲时空时,这里的T 对<ε>的正相关性仍然保留.

既然温度

T(r)是内能密度函数<ε(r)>的正相关函数,因此温度的符号完全由系统内能密度的符号决

定

,即正定的内能密度<ε(r)>≥0,决定正定的温度分布:T(r)≥0;负定的内能密度<ε(r)>≤0,决定负定

的温度分布

:T(r)≤0.

4

自引力系统中热量đQ 与TdS 之间的关系

为简化计

,仅分析球对称自引力系统中输入与输出的热đQ.从统计物理考虑,自引力系统的热量是两

点上粒子动能密度差产生的宏观反映

,因此,它应当是动能密度差的平均,表示为[6]

đ

Q =ΣΠ

i=

1 [εk(ri +dri,θi,φi)-εk(ri,θi,φi)]=ΣΠ

i=

1

N

id<εk(ri)> (10)

式中

:εk(ri)是ri 层中单粒子动能,其中包含有粒子的无序化动能和有序化动能.由于有序化动能(如简并

能

、环流运动动能等)都不参加热过程,因此,(10)式中两点粒子动能差只代表无序化动能差的贡献.根据

能量密度守恒

,即ε(ri)=εk(ri)+εv(ri),đQ 可以化为

đ

Q =ΣΠ

i=

1

N

i{d<ε(ri)>-d<εv(ri)>}=

Σ

Π

i=

1

<

ε(ri)> kB

k

BNid<ε(ri)>

{

<ε(ri)>-Nidε[ v(ri)] }=

Σ

Π

i=

1

<

ε(ri)> kB

k

BNi

d<

ε(ri)> ω0 <ε(ri)> ω0

-

Nidε[ v(ri ]

ì

î

í

ïï

ïï

ü

þ

ý

ïï

ïï

)

=

第

11期 邓昭镜:自引力系统能态热力学57

Σ

Π

i=

1

<

ε(ri)> kB

k

Bdln( <ε(ri)> ω0 { )Ni -Nidε( v(ri)) }=

Σ

Π

i=

1

[

T(ri)dS(ri)-đWg(ri)]=Σrε

i=

0đQ(ri) (11)

(11)

式是以球对称引力场按ri 分层引入的一组热力学函数,它们分别是:Ti———第ri 层的温度;

đ

Qi———ri 层输入的热量;dSi———第ri 层的熵增.显然,由(11)式给出ri 层的热量应表示为

đ

Qi =TidSi -đWg(i) (12)

(12)

式表明,对于自引力系统,当达到“热引力”交换平衡时,系统吸收的热đQi 并不等于TidSi,只

有当反抗自引力的功

—đWg(i)=0时,才有đQi =TidSi.也就是说只有当反抗自引力的功为零时,系统才

允许有可逆的热过程存在

.因此,与自引力相联系的热过程不可能是可逆的[7].此外,(11)式中引入了第

r

i层中单粒子的最小能量ω0≤ ε[ (ri)] ,这个最小能量的引入是必需的,否则会出现负熵、负几率状态.

这个最小能量的存在只有通过量子统计得到证明

(见第8节)[8],还有一点必需指出,(11)式中的ε[ (ri)] 当

它进入对数符号

ln后只取绝对值,实际上ε[ (ri)] 的符号当它进入ln后必然有ln<ε(r)>=d<ε(r)>

<

ε(r)>=

d

|<ε(r)>|

|

<ε(r)>| =ln|<ε(r)>|,结果只剩下绝对值.

5

自引力系统中热力学第0定律

Tolman

根据协变原理,将平直时空的热力学第0定律协变地推广到弯曲时空中,给出了这样的第0定

律表述

:当系统达到热平衡时,存在一个满足以下关系的温度函数[9]:

T

(xi) g44 =T(xi)1Γ

=C

0 (13)

但是这样的协变规律只能将平直时空中正定的温度函数协变到正定温度的弯曲时空中

,也即只能变换

到双曲时空中

;不可能将正定的平直时空中的温度协变到负定的弯曲时空中,也即椭圆时空中.正因为如

此

,Tolman建立的相对论热力学第0定律不能描述椭圆时空中温度函数[9].然而在实际中存在着大量的椭

圆时空的自引力系统

,这就要求修正Tolman的相对论热力学第0定律.为此,对Tolman的相对论热力学

第

0定律特提出如下的符号修正:

T

(xi)1Γ

=

<ε(xi)>

<

ε(xi)>C0 (14)

或者将符号

<ε(xi)>

<

ε(xi)> =±1吸收到常数C0 中,则有

T

(xi)1Γ

=C

0 ≥0 正能态系统(平直+ 双曲时空)

≤0

负能态系统(椭圆时空{ ) (15)

图

4 两组互不复盖的温度(当数)

提出这一修改方案的根据是

:一方面双

曲时空中正定的内能密度曲线

ε(r),当r →

∞

时,有lim r→ж

ε

(r)→0+;另一方面在椭圆时

空中

,负定的内能密度曲线ε(r),当r → ∞

时

,有lim r→ж

ε

(r)→0-.即是说这两条曲线当

r

→ ∞ 时,都要切于r 轴,只不过一个从r

轴的上部切于

r 轴,另一个从下部切于r 轴

(

图4).而平直时空中的ε(r)≥0,因此它只能从r轴的上部切于r 轴.既然Tolman在建立的热力学第0定

律时

,采用从正定ε(r)的平直时空协变到弯曲时空中的ε(r),显然这个弯曲时空只能是双曲时空.现在引

58 西南大学学报

(自然科学版) http://xbbjb.swu.cn 第33卷

入符号

<ε(r)> |<ε(r)>|后,就可以确定协变中不同时空的温度在平直时空的正负,从而保证了协变变换能在所

需求的温度域中进行

.

6

自引力系统热力学第一定律

当存在自引力时

,热力学第一定律应作相应的修正,表示为

d

E =đQ +đW =Σn

i

[TidSi -đWg(i)]+ Σn

i

đW (i) (16)

式中

:i是对ri 从1→n 求和.对每一个ri 层当达到“热引力”交换平衡时,每一层必然有稳定的内能增量

d

Ei,这时对每一层就可以写出它的热力学第一定律,表示为[10]

d

Ei =TidSi +đ[W (i)-Wg(i)] (17)

式中

:dEi 是ri 层内能的增量,TidSi 是ri 层输入的热,đ[W (i)-Wg(i)]是该层输入的功.可以看出在这

个表示中

đ[W (i)-Wg(i)]将自动包含有反抗自引力作功的贡献.这里-đ[Wg(i)]的出现已自动地反映了

由

đ<εk(r)>定义的热量đQi 与由态密度g(Ei)定义的热量TidSi 之间的微小差异.前者只有粒子的无序动

能产生的热

,后者则除无序动能产生的热以外还包含有位形空间中无序分布(即无序引力势能分布)的贡

献

,因此,-đWg(i)的出现反映了时空弯曲产生的热效应,这个效应是不可逆的.

7

熵的演化,自引力系统热力学第二定律

对自引力系统热力学第二定律

,这里集中分析自引力系统熵的自发演化规律,即当系统不作外功时,

đ

W =0的情形,而且假定系统内部(各层间)已达到“热引力”交换平衡.因此系统的第一定律应表示为

d

E =đQ =ΣΠ

i

đQi =ΣΠ

i

[TidSi -đWg(i)] (18)

既然系统内部已达到

“热引力”交换平衡,则对每一ri 层有

d

Ei =đQi =TidSi -đWg(i) (19)

式中

dEi 是ri 层的内能增量.(19)式是分析自引力系统熵自发演化过程的基本方程,为了便于今后对熵的

演化分析

,这里需要将TidSi 用内能密度<ε(ri)>的差表示,为此,特将(19)式表示为

T

idSi =đQi +đWg(ri)=

N

i[d<εk(ri)>+d<εv(ri)>]=

N

id<ε(ri)>=Ni[<ε(rf)>- <ε(ri)>]

(20)

现在可以根据

(19)、(20)两式来具体讨论自引力系统中熵的自发演化规律了.首先研究吸引型自引力

系统熵的自发演化规律

.由于吸引型自引力系统又分强引力源系统和弱引力源系统,图1和图2分别绘制

了强引力源系统和近平直的弱引力源系统的能量密度分布曲线

.对于椭圆时空中强引力源系统,在强引力

势作用下不断地吸收周围物质

,增大星体的质量和半径,因此,强引力源系统的自发过程是星体的半径不

断长大的过程

.同时注意,椭圆时空中的星体在吸热过程中其热量包含两部分:第一部分是由粒子的固有

质量携带的无序化能量

(主要是无序化分布的势能);第二部分则是由粒子质量中可变部分所携带的无序

化能量

(主要是无序化动能).显然第一部分热量是粒子携带热能中的主要部分.当粒子进入星体并与星体

表面碰撞时

,第二部分能量将以热辐射形式释放到太空中,结果只剩下第一部分热能被星体吸收.现在令

星体在自发吸收物质的过程中

,第ri 层吸收的热是đQi ≥0,同时注意到强引力源系统的内能密度是负定

的

,即ε(ri)≤0,由此决定的系统的温度Ti ≤0,根据(19)式则有

đ

Qi =- Ti dS-dWg(ri) (21)

由于星体在吸引物质过程中必然增加

ri,从而使<εr(rf)>- <εv(ri)>≥0.由此可得:dWg(ri)≥0,于是

最后有

第11期 邓昭镜

:自引力系统能态热力学59

d

Si =-đQi +dWg(ri) Ti ≤0 (22)

(22)

式表明星体在自发吸收物质的过程中,星体的熵必然自发地减少,因此,强引力源系统的自吸收过程

是一个熵减少过程

.

反之

,星体在释放热时,必然使ri 减少,从而有<ε(rf)>- <ε(ri)>≤0.因此有:

T

idSi =Ni[<ε(rf)>- <ε(ri)>]≤0

d

Si =Ni[<ε(rf)>- <ε(ri)>] Ti

= N

i[<ε(rf)>- <ε(ri)>] Ti ≥0 (23)

(23)

式表明星体在放热(释放物质)过程中必将导致熵增加,但这样的熵增加过程对于椭圆时空中强引力

源系统

(除丁霍金辐射外)一般是不可能自发地实现的.

对于近平直时空的弱引力系统

,它的能量密度曲线如图2所示,这种系统引力势很弱,起支配作用的

是粒子的动能密度

.因此系统的内能密度ε(ri)≥0,导致系统的温度Ti ≥0,根据(19)、(20)两式可知,当

系统吸热

(或吸收物质)时ri 增加,有đQi ≥0,[<εr( f ) >-<εr( i) >]≤0,由此可得

T

iđSi =đQi +dWg(ri)=Ni[<ε(rf)>- <ε(ri)>]≤0

从而有

d

Si = 1 Ti

N

i[<ε(rf)>- <ε(ri)>]≤0 (24)

(24)

式表明在近平直时空中,弱引力系统的吸热(或吸收物质)的过程是系统的熵减少过程.

对于近平直时空的弱引力系统在放热时

,ri 减少,有đQi ≤0,Ti ≥0,以及<ε(rf)>- <ε(ri)>≥0,由

此

,可得:

T

idSi =đQi +đWg(ri)=Ni[<ε(rf)>- <ε(ri)>]≥0 (25)

d

Si =Ni[<ε(rf)>- <ε(ri)>] Ti ≥0 (26)

(26)

式表明平直时空中弱引力场系统在放热(或释放物质)过程中引起系统的熵增加,就是说近平直弱引

力场系统

,吸热时熵减少,放热时熵增加.因此,热流同时伴随有相反的熵流传送.但由于近平直的引力时

空中的系统

,其动能密度大于引力势能密度,使得系统的自发过程更趋向自膨胀过程.这就是说,熵增加

过程是这类系统自发演化的基本特征

.

最后讨论双曲时空中自排斥系统

,自排斥系统的能量密度曲线如图3所示,当自斥力系统吸收物质(也

吸收热

)时,系统的ri 增加(由ri 增至rf),从而导致<ε(r)>减少,即<ε(rf)>- <ε(ri)>≤0,同时又考虑到

自斥力系统的

Ti ≥0,由此有

d

Si =Ni[<ε(rf)>- <ε(ri)>] Ti ≤0 (27)

(27)

式表明自排斥系统在自聚集过程中必然导致熵减少.

当自斥力系统辐射物质

(也辐射热)时,系统的ri 减少,从而导致系统的<ε(ri)>增加,即<ε(rf)>-

<

ε(ri)≥0,同时又考虑到Ti ≥0,于是有

d

Si =Ni[<ε(rf)>- <ε(ri)>] Ti ≥0 (28)

(28)

式表明自斥力系统在自辐射、自膨胀过程中必然导致熵增加.由于双曲时空中的自斥力系统的自发过

程是自膨胀

、自辐射的过程,因此双曲时空中的自斥力系统在其自发演化中必然导致熵增加.

综上所述

,自引力系统的自发演化规律,即热力学第二定律可以表述如下:① 强引力源系统必将在自

聚集过程中导致熵自发地减少

;② 平直时空中弱引力场系统在自膨胀、自辐射的放热过程中导致熵自发地

增加

;③ 双曲时空中自排斥作用系统,在自排斥、自辐射物质过程中,必然导致系统的熵自发地增加.

60 西南大学学报

(自然科学版) http://xbbjb.swu.cn 第33卷

8

熵的极限规律,热力学第三定律

由于

ε+ (r)和ε- (r)是分别定义于两个互不复盖的正、负能域中的内能密度.例如在椭圆时空的强引

力原系统中其内能密度恒负

,而在双曲时空和平直时空中内能密度恒正.正、负内能密度定义域是互相不

复盖的

(见图4),ε+ (r),ε- (r)分别定义于以下能域中:

O

+≤ε+ (r)< ∞

O

-≥ε+ (r)>- ∞ (29)

数域

[0+, + ∞]和[0-, - ∞]是不覆盖的两个数集,尤其是0+≠0≠0-1,尽管在r → ∞ 时,0+,0和0-,彼

此可以无限地逼近

,但它们不会重合.既然由(8)式定义的温度T+ (r)和T- (r)在充分热激发时将分别正

比于

ε+ (r)和ε- (r),因此,当r → ∞ 时,有

lim

r→∞

T

+ (r)=lim r→∞

C

+

k

B <ε+ (r)>→0+

lim

r→∞

T

- (r)=lim r→∞

Ck

B

<

ε- (r)>→0->→0 (30)

注意

,ε+ (r)逼近r轴的过程是正能态系统的降温过程,同样ε- (r)逼近r轴的过程则是负能态系统的升温

过程

.(30)式表明正能态系统通过任何有限次降温过程都不可能达到绝对零度,同样在负能态系统中任何

有限次升温过程都不可能达到绝对零度

,只有通过无限次升温(或降温),即r → ∞ 时才能使系统的温度逼

近绝对零度

.

另外

,物系的熵由(11)式可以被定义为:

S

±=NikBln <ε± (ri)> ±ω

é

ë êê

ù

û úú

0

=k

BlnΩ±

N

i Ω±=<ε± (ri)> ±ω0 ≥1 (31)

在

(31)式中,对正、负能域分别引入引入单粒子能量绝对值最小相体积|ω0|,这是非常必要的,其理由如

下

:① 量子力学中不确定原理确认相空间中每一点附近存在一个量级为(h)Ni 的“不确定”的相体积,这就

有理由认为在相空间中可识别的代表点的相体积存在一个由

(h)Ni 标示的极限下限相体积.因此有必要引

入

|ω0|Ni =(hν0)Ni ;② 定义熵的对数函数只能定义于正实数域中,这就要求Ω± 是一个正实数,如果还要

求不会出现负熵值和负几率

,则进一步要求Ω±≥1.因此必需引入极限体积±ω0=±hν0.经实验证明这里

的

ν0 ≈[8].就是说在正、负能态中所引入的极限相体积±ω0,正相当于谐振频率ν0 =1的谐振子能量.

必须指出

,按(31)式由考虑了极限相体积ωNi 0 的贡献所定义的熵,称为绝对熵,而将一般未考虑ωNi 0 贡

献的熵称为一般热力学熵

.很容易看出,系统在降温(或升温)过程中,当其温度Ti 接近T0i

=|ω

0|

k

B

=hν

0

k

B

≈.8

×10-11 K时,系统的绝对熵将按下式迅速地趋于零:

lim

Ti→T0i

(

S±)= lim |<ε(r)>|→ω0

N
ikBln <ε±

由于有序化动能

(如简并

能
、环流运动动能等)都不参加热过程,因此,(10)式中两点粒子动能差只代表无序化动能差的贡献