Sunday, December 9, 2012

驰豫时间　反映了分布函数恢复平衡所需的时间;引入驰豫时间后，玻耳兹曼方程

驰豫时间　反映了分布函数恢复平衡所需的时间

引入驰豫时间后，玻耳兹曼方程

[PDF]

6-4 驰豫时间近似和电导率公式

class.htu.cn/gutiwl/dizijiaoan/...6/08-guti-ch6-s4.pdf - 轉為繁體網頁
檔案類型: PDF/Adobe Acrobat - 快速檢視
Θ. ′. ′. ′. = −. Θ. ∫. ∫. K. K. K. K. K. K K. K. K. K. K K. 玻耳兹曼方程：. 是一个积分----- 微分方程. §6-4 驰豫时间近似和导电率公式. 其中：. 1.外场和温度梯度存在 ...

這是 http://class.htu.cn/gutiwl/dizijiaoan/chapter-6/08-guti-ch6-s4.pdf 的 HTML 檔。
G o o g l e 在網路漫遊時會自動將檔案轉換成 HTML 網頁。

Page 1
1
01/ 22
( )
k
q
E
f k
b a
−
⋅∇
= −
K
K
=
3
3
( , )[1
( , )] ( , )[
]
(2 )
( , )[1
( , )] ( , )[
]
(2 )
k
k
dk
b
f k t
f k t
k k
dk
a
f k t
f k t
k k
π
π
′
′
′
′
′
=
−
Θ
′
′
′
=
−
Θ
∫
∫
K
K
K
K
K
K K
K
K
K
K K
玻耳兹曼方程：
是一个积分 ----- 微分方程
§6-4 驰豫时间近似和导电率公式
其中：
1.外场和温度梯度存在
T
T
f
f
r
r
∇
∂
∂
=
∇
)
(
Bv
e
k
K
K
K
=
K
×
+
−
=
ε
τ
0
f
f
a
b
f
k
f
r
k
r
−
−
=
−
=
∇
+
∇
K
K
K
K
)(
)
(
)
(
1
0
k
f
f
f
Bv
e
T
f
T
E
k
k
τ
ε
−
−
=
∇
⋅
×
+
−
∂
∂
∇
⋅
∇
K
K
K
K
K
=
=
玻尔兹曼方程为：
E
r
k
∇
=
⋅
=
1
一、弛豫时间近似
τ
τ
f
k
ff
ab
t
f
t
f
Δ
−
=
−
=
−
∂
∂
=
∂
∂
)(
0
－
＝
碰
0
0
)(f
ff
Δ
+
=
电子的分布函数偏离了平衡分布，系统依赖碰撞恢复平衡
分布
，
0
)(f
Δ
表示分布函数对平衡的偏离
2.无外场，无温度梯度
0
=
∂
∂
漂
t
f
/
0
( )
t
t
f
f e
τ
−
=
Δ = Δ
只有碰撞的情形
驰豫时间　反映了分布函数恢复平衡所需的时间
τ
总之有了外场和温度梯度，系统的分布才会偏离平衡，无
休止的漂移；有了碰撞，就会使漂移受到遏制，被限制在一定
程度而达到稳定分布。
引入驰豫时间后，玻耳兹曼方程为：
0
( )
k
q
f f
E
f k
τ
−
−
⋅∇
= −
K
K
=
0
1
2
f f
f f
=
+
+
+"
1. 欧姆定律
求解玻耳兹曼方程得到：
可以将分布函数f 按电场强度E的幂级数展开
第一、第二、第三项分别是电场强度的零次、一次、
二次幂 ……项
二、　电导率公式
),,,(
kEEEff
z
y
x
K
=
1
2
0
1
2
k
k
k
q
q
q
f
f
E
f
E
f
E
f
τ
τ
−
⋅∇
−
⋅∇
−
⋅∇
+ = −
−
+
K
K
K
"
"
=
=
=
1
0
2
1
k
k
f q
E
f
f
q
E
f
τ
τ
=
⋅∇
=
⋅∇
K
=
K
=
1
0
k
q
f
E
f
τ
=
⋅∇
K
=
是能量
的显函数
0
f
( )
E k
K
0
1
( )( )
k
q
f
f
E
E k
E
τ
∂
=
⋅∇
∂
K
K
=
方程两边同次幂的项相等，即：
将展开式59代入玻耳兹曼方程(6-58),得:
2
0
1
( )( )
k
q
f
f
E
E k
E
τ
∂
=
⋅∇
∂
K
K
=
1
( )
( )
k
v k
E k
= ∇
K
K
K
=
0
1
( )( )
f
f q E v k
E
τ
∂
=
⋅
∂
K
K K
在一般电导问题中，电流与电场成正比，只考虑分布函
数中电场的一次项，所以有：
0
1
f f
f
=
+
0
0
( )( )
f
f q E v k
E
τ
∂
=
+
⋅
∂
K
K K
3
2
( ) ( )
(2 )
dk
j
q f k v k
π
= − ∫
K
K
K
K
K
0
1
3
3
2
( )
2 ( )
(2 )
(2 )
dk
dk
j
q
fvk
q
fvk
π
π
= −
−
∫
∫
K
K
K
K
K
K
K
1
3
2 ( )
(2 )
dk
j
q
fv k
π
= − ∫
K
K
K
K
2
0
3
2
( )[ ( ) ]( )
(2 )
f
dk
j
q
v k v k E
E
τ
π
∂
= −
⋅
∂
∫
K
K
K K
K
K
K
电流密度
当平衡分布时，第一项积分结果为零，上式为:
将所求的f1代入上式，得到欧姆定律的一般表示式：
（6-63）
kd
E
f
Ekvkv
q
j
K
K
∂
∂
•
−
=
∫
0
3
2
]
)()[(
4
τ
π
即
a
j
E
αβ
β
β
σ
= ∑
2
0
3
2
( ) ( ) ( )( )
(2 )
f
dk
q
k v k v k
E
αβ
α
β
σ
τ
π
∂
= −
∂
∫
K
K
K
K
K
K
2. 导电率公式
分量式为：
2
0
3
2
( )[ ( ) ]( )
(2 )
f
dk
j
q
v k v k E
E
τ
π
∂
= −
⋅
∂
∫
K
K
K K
K
K
K
可见，导电率是一个二阶张量。
其中：
2
0
3
2
( ) ( ) ( )( )
(2 )
f
dk
q
k v k v k
E
αβ
α
β
σ
τ
π
∂
= −
∂
∫
K
K
K
K
K
K
导电率主要取决于费米面附近电子的贡献
所以积分的贡献主要来自E=EF附近，
这样上述积分简化为在费米面SF上的面积分。
),
(
F
0
EE
E
f
−
=
∂
∂
−
δ
∫
∇
⋅
=
F
d
)
(
π
4 3
2
S
k E
s
vEv
q
j
K
K
K
K
τ
可以写为
2 2
*
2
k
E
m
=
=
对于各向同性的固体，导带中的电子具有单一的有效质量，
电子的能量可以写为：
电子的速度分量：
2
2
0
*2
3
2
( )( )
(2 )
f
dk
q
k k k
m
E
αβ
α β
σ
τ
π
∂
= −
∂
∫
K
K
=
*
)(
1
m
k
k
kE
v
α
α
α
=
K
=
=
∂
∂
=
各向同性意味着电子的速度分量与k无关，因此：
只要
2
2
0
*2
3
2
( )( )
(2 )
f
dk
q
k k k
m
E
αβ
α β
σ
τ
π
∂
= −
∂
∫
K
K
=
各向同性下，驰豫时间
与
无关
( )k
τ
K
k
K
k
k
α
β
≠
0
αβ
σ =
积分中其余的因子都是球对称的，积分结果为奇函数
导电率
3
2
4
dk
k dk
π
=
K
2
*
k
dE
dk
m
=
=
2
2
0
*2
3
2
( )( )
(2 )
f
dk
q
k k k
m
E
αβ
α β
σ
τ
π
∂
= −
∂
∫
K
K
=
各向同性
11
22
33
0
11
22
33
1
(
)
3
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
=
=
=
=
+
+
2
2
2
2
2
0
0
1
2
3
*2
3
2
(
) ( )( )
3
(2 )
q
f
dk
k
k
k
k
m
E
σ
τ
π
∂
= −
+
+
∂
∫
K
=
2 2
*
2
k
E
m
=
=
0
0
2
3
2
*
[ ( ()]
)
3
q
f
dE
m
k k
E
π
τ
σ
∂
=
−
∂
∫
导电率
对比金属电子总数的积分式和结果，忽略不计
0
2
0
2
( )(
)
( )
( )
( )(
)
6
F
F
F
B
f
N
Q E
dE
E
Q E
Q E
Q E
k T
π
∞
∂
=
−
∂
′′
=
+
∫
2
0
(
)
B
F
k T
E
0
3
3
0
[ ( )](
)
[ ( )]
F
E
f
k k
dE
k k
E
τ
τ
∂
−
=
∂
∫
2 2
0
0
*
2
F
k
E
m
=
=
2
3
0
0
0
*
2
( )
3
q k
k
m
σ
τ
π
=
3
0
3
4
2
(2 ) 3
V
k
N
π
π
⋅
=
3
0
2
3
N
k
n
V
π
=
=
2
0
0
*
( )F
nq E
m
τ
σ =
导电率：
0
F
E E
=
在k空间的等能面是球面
等能面内的状态数
电子密度
所以导电率：
本节内容完
Posted by at

No comments:

Post a Comment

Subscribe to: Post Comments (Atom)