量子信息是非局域储存 编织拓扑物态中神奇的准粒子

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PhysicsToday

攫英

编织拓扑物态中神奇的准粒子

本栏目是经美国物理联合会

(AIP)授权,与PhysicsToday 合作的

项目

1)暋

在真实世界中的有限系统内,准粒子态能量的简并不是严格的.

由于局域激发能隙的存在

,准粒子态能量间隙随准粒子之间距

离的增加而指数衰减

.由于所对应的特征长度是一个微观小尺

度

,因此在实际中准粒子态的简并假设是合理的.———译者注

暋暋2012

年7月出版的PhysicsToday 杂志刊登了耶鲁大

学

NicholasRead教授撰写的《拓扑物态和准粒子编织》一

文

.文章深入浅出地介绍了拓扑物态的基本性质,准粒子交

换和非阿贝尔统计

,拓扑物态的物理实现及其在拓扑量子计

算中的潜在应用

.下面摘译其中的主要内容.

我们熟知的固液气三相以及其他常规物态可以通过局

域性质来区分

,例如系统中某一点的粒子密度,或者某一点

附近一个小区域内的粒子数

.传统凝聚态物理的观点是,如

果在参数空间里的两相无法用任意一条路径光滑连接的话

,

这两相的对称性质一定存在着差别

.例如固态冰破缺了液态

水的平移对称性

,粒子密度出现了空间上的周期调制———从

无到有的调制表征了水到冰的相变

.

当温度非常低或者说在零温下时

,量子力学效应往往比

热涨落更为重要

.这时系统处于量子物态,粒子占据能量最

低的基态

.系统哈密顿量中参数的变化可以诱发量子相变,

从而导致系统的对称性发生变化

.量子力学中可观测量是由

算符来描述的

,其中局域观测量由局域算符来描述,只影响

算符所在位置附近小范围内的系统

.

拓扑物态中受能隙保护的基态

在传统的理解中

,冰和水是不同的物态,它们有不同的

对称性

;另一方面,晶格冰有简并的基态,但由对称性相联

系

.这些传统的普适对称特征现在看来并不完备,物态可能

只有拓扑性质的差别

,基态的简并可以不涉及对称性,而涉

及非局域的操作

.在过去的30年里,理论物理学家发现了这

种完善我们认识的量子物态

,即拓扑物态.

考虑真空中或周期势中一群没有内部结构的点粒子

.局

域性意味着粒子之间只有短程相互作用

,从而哈密顿量可以

表示成局域算符之和

.作用在基态上的局域算符一般把系统

激发到高能态上

.相对于基态而言,产生局域激发的最小能

量称为能隙

.如果系统的粒子数密度保持不变而粒子数趋向

于无穷大时能隙持续存在,我们说系统处在拓扑物态.当哈

密顿量稍作改变时,系统的能隙依然存在.

无限大的系统中可以存在无法用局域算符产生的能态,

它们的激发能可能为零,即与基态简并.有意思的是,这些简

并的基态可能既无法用任何局域算符互相映射,也无法用任

何局域算符的期待值来区分.在这种情况下,哈密顿量的小

变化无法改变基态的简并度.拓扑物态的基态简并度依赖于

物态本身和边界条件,可以用来区分不同的拓扑物态.在拓

扑物态中不改变的性质称为拓扑性质,包括能隙的存在以及

给定边界条件下基态的简并度.拓扑性质不受哈密顿量被微

扰的影响;事实上,这一点类似于数学中的拓扑学,后者研究

不随描述物体形状的参数而改变的几何性质.

如果说基态简并度不可能通过在哈密顿量中加入微小

的局域算符来解除的话,那么这些简并基态从局部看上去应

该完全相同.在非常大的尺度上它们会有不同,但不可能从

局部来探测这种差别.所以拓扑性质是全局的,是集体效应,

但有别于传统物态中的集体效应.可以把这些态想象为液

体,而波函数是粒子很多不同组态的量子叠加.拓扑性质依

赖于长程的量子纠缠,而不是传统意义上的关联.

准粒子激发及其统计性质

拓扑物态中存在无法用局域算符产生或消灭的激发.从

能量上说,这些激发态与基态不简并;也就是说,在空间中某

些区域,可以用局域算符把这些态和基态区分开.这些区域

通常是点状的缺陷(而不是线状的),无法用局域算符消除.

这些需要非局域算符产生的缺陷被称为准粒子,它们的位置

大致说来就是缺陷的中心.除去准粒子,这些激发态和基态

没有区别,而准粒子的位置可以用局域算符来改变.从而准

粒子就像粒子一样,可以有动能和有效质量.如果在哈密顿

量中加入合适的局域项,它们也可以受到来自相应位置的吸

引力或排斥力.

与基态类似,由给定位置而间隔又足够远的准粒子组成

的激发态也可以是简并的

1).这种简并的解除无法通过在哈

密顿量中添加局域项来实现,特别是用来调控准粒子位置的

局域算符,所以这些简并的准粒子态在局域是不可区分的.

对于给定准粒子位置的系统来说,准粒子态的简并度随粒子

数增加而指数增长.

准粒子态的拓扑简并暗示着拓扑物态在量子信息科学

中有潜在的应用.在简并的准粒子态空间,量子信息是非局

域储存的.当系统与环境耦合在一起时,这种存储的好处是

显然的.如果起耦合效应的相互作用项是局域的,那么初始

存储的信息无法在简并的子空间内退相干,这是相比其他量

子计算方案来说最吸引人的地方.

如何对存储在简并准粒子态中的信息实现操控,也就是

实现拓扑量子计算? 为此,我们需要研究拓扑物态中准粒子

的量子统计,也就是说,系统波函数在全同准粒子的交换下

如何改变.从技术上说来,我们需要绝热地移动准粒子以实

现交换.绝热保证了粒子移动时系统状态不被激发,从而准

粒子交换的结果使系统获得了一个贝里相因子(不简并情

·

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暋

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况),或是在简并的准粒子态空间变换.后者等价于一个与初

始状态无关的幺正矩阵操作.

我们可以用时空中的路径,即世界线,来描述准粒子的

交换过程.当一个由世界线组成的图可以连续形变到另一个

时(同时保持世界线的端点不动),我们说它们是拓扑等价

的,或者说属于同一个等价类;它们对系统状态的影响也是

相同的.值得指出的是,在三维空间内所有实现相同准粒子

置换的交换过程都是等价的,所以只能有玻色和费米统计.

在一维空间不存在交换过程,因为相应的世界线必定交叉.

但在二维空间中,相互环绕的两条世界线和相互不环绕的两

条世界线不等价(见图1).从而,在二维空间中存在无穷多

个不同的等价类———它们被形象地称为辫子.

图1暋拓扑物态中全同准粒子的交换可以用有两根空间轴和一

个时间方向组成的图中的世界线来描述.特别地,相互环绕的两

条世界线和相互不环绕的两条世界线不等价

所有的辫子组成一个群(即辫子群),可以用交换邻近的

准粒子来生成,从而同一类型准粒子的统计可以用与这些基

本交换对应的数或矩阵来描述.在二维空间中,基本交换可

以对应于任意相因子e

i毴,其中毴称为相角.当毴不是毿的整

数倍时,准粒子被称为任意子,具有分数统计性质.因为相因

子是可以交换的数,我们说,对应的任意子统计性质是阿贝

尔的.

二 维空间中的基本交换也可以对应作用在简并准粒子

态空间上的矩阵.在这种情况下,准粒子统计性质是非阿贝

尔的,因为不同交换的矩阵一般不对易.数学上,非阿贝尔统

计和VaughanJones等人发现的拓扑不变的扭结多项式有

关,后者可以用Chern-Simons规范场理论和二维共形场论

来诠释.由于简并态中的准粒子有非阿贝尔统计性质,我们

可以调控这些态中存储的信息.换句话说,这些简并态可以

用来实现拓扑量子计算,这与传统的量子计算相比具有同样

强大的计算能力.

拓扑物态的物理实现

最早发现的具有拓扑性质的物态是整数量子霍尔效应,

产生于垂直磁场下的二维电子气,其中局域激发的能隙源于

量子化的回旋运动.对每一个非零整数

毻,存在一个不同的整

数量子霍尔态.特别地,量子化的电导率与

毻成正比,而有限

系统存在无能隙的手征边缘激发态.其后发现的分数量子霍

尔效应产生于类似的实验条件,但

毻可以是有理分数,而能

隙源于电子之间的相互作用.除量子化的电导率和无能隙的

边缘激发外,后者支持带分数电子电荷的准粒子激发,并且

在某些边界条件下基态是简并的.绝大多数分数量子霍尔态

属于阿贝尔态,即准粒子是服从阿贝尔统计的任意子.

1991年,GregoryMoore和NickolasRead提出了可以

支持非阿贝尔统计性质的一类新的分数量子霍尔态,其中

n

个相互远离的准粒子可以形成2n/2个量子态.这个态可以

在填充因子

毻=5/2处实现,而实验上在这个条件下观测到

了分数量子霍尔效应.数值研究显示,观测到的态是Moore

-Read态,或者它的粒子-空穴共轭态.

毻= 5/2态是目前

实验关注的焦点,有可能是第一个支持非阿贝尔准粒子的真

实系统,但其性质有待实验进一步确认.

除了量子霍尔系统外,拓扑物态也可能出现在二维

p+

i

p 超导体中.在弱耦合条件下,超导体处在拓扑态,存在无

能隙的手征边缘激发态,支持两种准粒子:反粒子是自身的

Majorana费米子和带量子磁通为

hc/2e 的涡旋.在每个涡核

存在一个局域的自伴费米零模算符,暗示

n 个相互远离的涡

旋形成2

n/2个简并态,从而涡旋服从非阿贝尔统计2).利用复

合费米子理论,Moore-Read量子霍尔态中的准粒子可以理

解为与这里的涡旋类似.

2)暋值得强调的是,把涡旋称为Majorana费米子是错误的.Majora灢

na零模算符不激发准粒子,但改变由已经存在的涡旋形成的

2

n/2维低能简并空间中的量子态.因为简并态空间中涡旋交换

的效应可以用被交换的涡旋上的零模算符来描述,所以零模算

符构成非阿贝尔统计的一个表示.可参见A.Stern

etal.Phys.

Rev.B,2004,70:205338.———译者注

与

p+ip 超导态有些类似的拓扑态还包括一维、二维

和三维的拓扑绝缘体.在拓扑绝缘体和超导体耦合的系统中

寻找Majorana零模汇聚了目前大量的实验方面的工作,并

有可能在最近的实验中得到了一些证据.拓扑超导体和拓扑

绝缘体的研究指出,对于拓扑物态来说,强关联不是必要的,

必要的是基态中的长程纠缠.同样有吸引力的拓扑系统还包

括分数拓扑绝缘体和量子自旋的晶格系统.

正是这些研究让我们逐步认识到不同物态可能只有拓

扑性质的差别,特别是基态简并度以及准粒子统计性质.当

准粒子态简并时,准粒子服从非阿贝尔统计.这个量子物质

中异乎寻常的概念也许会改变我们量子计算的模式.

(

浙江大学万歆编译自NicholasRead.PhysicsToday,

2012

,(7):38,原文详见http://ptonline.aip.org)

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