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:飋飋www.wuli.ac.cn暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋物理·41卷(2012年)7期
PhysicsToday
攫英
编织拓扑物态中神奇的准粒子
本栏目是经美国物理联合会
(AIP)授权,与PhysicsToday 合作的
项目
1)暋
在真实世界中的有限系统内,准粒子态能量的简并不是严格的.
由于局域激发能隙的存在
,准粒子态能量间隙随准粒子之间距
离的增加而指数衰减
.由于所对应的特征长度是一个微观小尺
度
,因此在实际中准粒子态的简并假设是合理的.———译者注
暋暋2012
年7月出版的PhysicsToday 杂志刊登了耶鲁大
学
NicholasRead教授撰写的《拓扑物态和准粒子编织》一
文
.文章深入浅出地介绍了拓扑物态的基本性质,准粒子交
换和非阿贝尔统计
,拓扑物态的物理实现及其在拓扑量子计
算中的潜在应用
.下面摘译其中的主要内容.
我们熟知的固液气三相以及其他常规物态可以通过局
域性质来区分
,例如系统中某一点的粒子密度,或者某一点
附近一个小区域内的粒子数
.传统凝聚态物理的观点是,如
果在参数空间里的两相无法用任意一条路径光滑连接的话
,
这两相的对称性质一定存在着差别
.例如固态冰破缺了液态
水的平移对称性
,粒子密度出现了空间上的周期调制———从
无到有的调制表征了水到冰的相变
.
当温度非常低或者说在零温下时
,量子力学效应往往比
热涨落更为重要
.这时系统处于量子物态,粒子占据能量最
低的基态
.系统哈密顿量中参数的变化可以诱发量子相变,
从而导致系统的对称性发生变化
.量子力学中可观测量是由
算符来描述的
,其中局域观测量由局域算符来描述,只影响
算符所在位置附近小范围内的系统
.
拓扑物态中受能隙保护的基态
在传统的理解中
,冰和水是不同的物态,它们有不同的
对称性
;另一方面,晶格冰有简并的基态,但由对称性相联
系
.这些传统的普适对称特征现在看来并不完备,物态可能
只有拓扑性质的差别
,基态的简并可以不涉及对称性,而涉
及非局域的操作
.在过去的30年里,理论物理学家发现了这
种完善我们认识的量子物态
,即拓扑物态.
考虑真空中或周期势中一群没有内部结构的点粒子
.局
域性意味着粒子之间只有短程相互作用
,从而哈密顿量可以
表示成局域算符之和
.作用在基态上的局域算符一般把系统
激发到高能态上
.相对于基态而言,产生局域激发的最小能
量称为能隙
.如果系统的粒子数密度保持不变而粒子数趋向
于无穷大时能隙持续存在,我们说系统处在拓扑物态.当哈
密顿量稍作改变时,系统的能隙依然存在.
无限大的系统中可以存在无法用局域算符产生的能态,
它们的激发能可能为零,即与基态简并.有意思的是,这些简
并的基态可能既无法用任何局域算符互相映射,也无法用任
何局域算符的期待值来区分.在这种情况下,哈密顿量的小
变化无法改变基态的简并度.拓扑物态的基态简并度依赖于
物态本身和边界条件,可以用来区分不同的拓扑物态.在拓
扑物态中不改变的性质称为拓扑性质,包括能隙的存在以及
给定边界条件下基态的简并度.拓扑性质不受哈密顿量被微
扰的影响;事实上,这一点类似于数学中的拓扑学,后者研究
不随描述物体形状的参数而改变的几何性质.
如果说基态简并度不可能通过在哈密顿量中加入微小
的局域算符来解除的话,那么这些简并基态从局部看上去应
该完全相同.在非常大的尺度上它们会有不同,但不可能从
局部来探测这种差别.所以拓扑性质是全局的,是集体效应,
但有别于传统物态中的集体效应.可以把这些态想象为液
体,而波函数是粒子很多不同组态的量子叠加.拓扑性质依
赖于长程的量子纠缠,而不是传统意义上的关联.
准粒子激发及其统计性质
拓扑物态中存在无法用局域算符产生或消灭的激发.从
能量上说,这些激发态与基态不简并;也就是说,在空间中某
些区域,可以用局域算符把这些态和基态区分开.这些区域
通常是点状的缺陷(而不是线状的),无法用局域算符消除.
这些需要非局域算符产生的缺陷被称为准粒子,它们的位置
大致说来就是缺陷的中心.除去准粒子,这些激发态和基态
没有区别,而准粒子的位置可以用局域算符来改变.从而准
粒子就像粒子一样,可以有动能和有效质量.如果在哈密顿
量中加入合适的局域项,它们也可以受到来自相应位置的吸
引力或排斥力.
与基态类似,由给定位置而间隔又足够远的准粒子组成
的激发态也可以是简并的
1).这种简并的解除无法通过在哈
密顿量中添加局域项来实现,特别是用来调控准粒子位置的
局域算符,所以这些简并的准粒子态在局域是不可区分的.
对于给定准粒子位置的系统来说,准粒子态的简并度随粒子
数增加而指数增长.
准粒子态的拓扑简并暗示着拓扑物态在量子信息科学
中有潜在的应用.在简并的准粒子态空间,量子信息是非局
域储存的.当系统与环境耦合在一起时,这种存储的好处是
显然的.如果起耦合效应的相互作用项是局域的,那么初始
存储的信息无法在简并的子空间内退相干,这是相比其他量
子计算方案来说最吸引人的地方.
如何对存储在简并准粒子态中的信息实现操控,也就是
实现拓扑量子计算? 为此,我们需要研究拓扑物态中准粒子
的量子统计,也就是说,系统波函数在全同准粒子的交换下
如何改变.从技术上说来,我们需要绝热地移动准粒子以实
现交换.绝热保证了粒子移动时系统状态不被激发,从而准
粒子交换的结果使系统获得了一个贝里相因子(不简并情
·
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暋
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况),或是在简并的准粒子态空间变换.后者等价于一个与初
始状态无关的幺正矩阵操作.
我们可以用时空中的路径,即世界线,来描述准粒子的
交换过程.当一个由世界线组成的图可以连续形变到另一个
时(同时保持世界线的端点不动),我们说它们是拓扑等价
的,或者说属于同一个等价类;它们对系统状态的影响也是
相同的.值得指出的是,在三维空间内所有实现相同准粒子
置换的交换过程都是等价的,所以只能有玻色和费米统计.
在一维空间不存在交换过程,因为相应的世界线必定交叉.
但在二维空间中,相互环绕的两条世界线和相互不环绕的两
条世界线不等价(见图1).从而,在二维空间中存在无穷多
个不同的等价类———它们被形象地称为辫子.
图1暋拓扑物态中全同准粒子的交换可以用有两根空间轴和一
个时间方向组成的图中的世界线来描述.特别地,相互环绕的两
条世界线和相互不环绕的两条世界线不等价
所有的辫子组成一个群(即辫子群),可以用交换邻近的
准粒子来生成,从而同一类型准粒子的统计可以用与这些基
本交换对应的数或矩阵来描述.在二维空间中,基本交换可
以对应于任意相因子e
i毴,其中毴称为相角.当毴不是毿的整
数倍时,准粒子被称为任意子,具有分数统计性质.因为相因
子是可以交换的数,我们说,对应的任意子统计性质是阿贝
尔的.
二 维空间中的基本交换也可以对应作用在简并准粒子
态空间上的矩阵.在这种情况下,准粒子统计性质是非阿贝
尔的,因为不同交换的矩阵一般不对易.数学上,非阿贝尔统
计和VaughanJones等人发现的拓扑不变的扭结多项式有
关,后者可以用Chern-Simons规范场理论和二维共形场论
来诠释.由于简并态中的准粒子有非阿贝尔统计性质,我们
可以调控这些态中存储的信息.换句话说,这些简并态可以
用来实现拓扑量子计算,这与传统的量子计算相比具有同样
强大的计算能力.
拓扑物态的物理实现
最早发现的具有拓扑性质的物态是整数量子霍尔效应,
产生于垂直磁场下的二维电子气,其中局域激发的能隙源于
量子化的回旋运动.对每一个非零整数
毻,存在一个不同的整
数量子霍尔态.特别地,量子化的电导率与
毻成正比,而有限
系统存在无能隙的手征边缘激发态.其后发现的分数量子霍
尔效应产生于类似的实验条件,但
毻可以是有理分数,而能
隙源于电子之间的相互作用.除量子化的电导率和无能隙的
边缘激发外,后者支持带分数电子电荷的准粒子激发,并且
在某些边界条件下基态是简并的.绝大多数分数量子霍尔态
属于阿贝尔态,即准粒子是服从阿贝尔统计的任意子.
1991年,GregoryMoore和NickolasRead提出了可以
支持非阿贝尔统计性质的一类新的分数量子霍尔态,其中
n
个相互远离的准粒子可以形成2n/2个量子态.这个态可以
在填充因子
毻=5/2处实现,而实验上在这个条件下观测到
了分数量子霍尔效应.数值研究显示,观测到的态是Moore
-Read态,或者它的粒子-空穴共轭态.
毻= 5/2态是目前
实验关注的焦点,有可能是第一个支持非阿贝尔准粒子的真
实系统,但其性质有待实验进一步确认.
除了量子霍尔系统外,拓扑物态也可能出现在二维
p+
i
p 超导体中.在弱耦合条件下,超导体处在拓扑态,存在无
能隙的手征边缘激发态,支持两种准粒子:反粒子是自身的
Majorana费米子和带量子磁通为
hc/2e 的涡旋.在每个涡核
存在一个局域的自伴费米零模算符,暗示
n 个相互远离的涡
旋形成2
n/2个简并态,从而涡旋服从非阿贝尔统计2).利用复
合费米子理论,Moore-Read量子霍尔态中的准粒子可以理
解为与这里的涡旋类似.
2)暋值得强调的是,把涡旋称为Majorana费米子是错误的.Majora灢
na零模算符不激发准粒子,但改变由已经存在的涡旋形成的
2
n/2维低能简并空间中的量子态.因为简并态空间中涡旋交换
的效应可以用被交换的涡旋上的零模算符来描述,所以零模算
符构成非阿贝尔统计的一个表示.可参见A.Stern
etal.Phys.
Rev.B,2004,70:205338.———译者注
与
p+ip 超导态有些类似的拓扑态还包括一维、二维
和三维的拓扑绝缘体.在拓扑绝缘体和超导体耦合的系统中
寻找Majorana零模汇聚了目前大量的实验方面的工作,并
有可能在最近的实验中得到了一些证据.拓扑超导体和拓扑
绝缘体的研究指出,对于拓扑物态来说,强关联不是必要的,
必要的是基态中的长程纠缠.同样有吸引力的拓扑系统还包
括分数拓扑绝缘体和量子自旋的晶格系统.
正是这些研究让我们逐步认识到不同物态可能只有拓
扑性质的差别,特别是基态简并度以及准粒子统计性质.当
准粒子态简并时,准粒子服从非阿贝尔统计.这个量子物质
中异乎寻常的概念也许会改变我们量子计算的模式.
(
浙江大学万歆编译自NicholasRead.PhysicsToday,
2012
,(7):38,原文详见http://ptonline.aip.org)
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