问题了，但是Fourier大牛干了件对信号处理最重要的事，他发现可以把边界条件按温度
的空间频域分布展开
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- 主题:为什么我总感觉频域像另一个世界
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为何不一定？
只有周期信号才有频率的概念，难道你说的是把某个信号的某个时间点看成是周期信号吗？
【 在 zc (小胖) 的大作中提到: 】
: 不一定
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FROM 211.160.21.* -
傅立叶变换后的结果一般就说是频域信息吧？
【 在 mayi (蚂蚁) 的大作中提到: 】
: 为何不一定？
: 只有周期信号才有频率的概念，难道你说的是把某个信号的某个时间点看成是周期信号吗？
--
FROM 116.229.18.* -
所有信号都有对应的频域啊，不论是否是周期的。
【 在 mayi (蚂蚁) 的大作中提到: 】
: 为何不一定？
: 只有周期信号才有频率的概念，难道你说的是把某个信号的某个时间点看成是周期信号吗？
--
FROM 124.42.82.* -
举个例子
f(t) = sin(t) ( 0 < t < 2*pi)
请问这个信号的频率是多少？
【 在 rocqu (roc) 的大作中提到: 】
: 所有信号都有对应的频域啊，不论是否是周期的。
--
FROM 211.160.21.* -
有这感觉就对了。。
【 在 chineloong (amazingloong) 的大作中提到: 】
: 总感觉很抽象很抽象……
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FROM 202.96.60.* -
呵呵，转贴两篇文章
=-=-=-=-=-=
发信人: nirvanajay (小蒋), 信区: Signal
标 题: Re: 弱问：为什么信号处理时要用傅里叶变换到频域
发信站: 瀚海星云 (2009年02月25日18:03:14 星期三), 站内信件 WWWPOST
还是车兄讲得最好
在这里补充几句，
"正余弦函数正好是lti系统的特征函数" - 其实特征函数应该是e^jwt，这包含了阻尼振荡
的情况，谐波函数只是无阻尼的情况
再说下去，e^jwt是线性时不变系统作为算子的谱，从这里展开就可以把很多领域联系在一
起，对于有限维情形就是矩阵的特征向量
我们注意到，特征向量有一个非常特殊的性质，就是系统，或者说是算子对于特征向量的作
用只改变大小，不改变方向，并且特征向
量空间是对整个向量空间的直和分解，因此，从这个意义上来说，特征向量空间同时完备表
征所有的向量和这一算子。因此，对于线
性时不变系统，谱是他们完备且最清晰的描述。
问题在于，对于非线性系统，这一切本质上完全不成立。
这里引述我和车的一份邮件告个段落..详情下回分解
“...其实很重要的一点，为什么Fourier Trans会失效，它是线性系统的特征函数，而对非
线性系统失效，对非线性系统有更好的办法吗? 是不是可以刻划一大类非线性系统可以通过
一些非线性系统的某种组合得到? 至少要比wavelet好...”
【 在 chejiaxing 的大作中提到: 】
: 正余弦函数正好是lti系统的特征函数，所以用频域上各个频点的特征值可以完全表征一
个
: LTI系统，到变换域研究问题的一个最大优势就是把原来时域上的卷积运算转化为频域上
的
: 相乘运算了，可以用绘图的方法来计算通过LTI后输出信号的的频谱。也就是说用频谱去
描
: 述信号和LTI系统的特征，就特别容易的得到信号通过LTI系统后的特征，计算方便，而且
也
: 容易直观想象。
: 另外，我们的人耳好像也是将一维的时域信号转换到时频域进行分析的，就是把声音变成
一
: 个pattern或者pattern序列，便于神经网络的识别。（可以认为我们人脑的指令集所能识
别
: 的数据格式，就是pattern而不是时间序列）换句话说我们耳朵不是听到声音而是“看”
到
: 声音的。
: 也就是说我们人脑本质上来说来就对pattern比较敏感，一切时域上的东西，都是通过延
: 迟，局部反馈回路等网络结构变换到频域上的，有点像梳状滤波一样的结构，本质上可能
是
: 靠局部神经回路的谐振来工作的，而且这些频域采样单元的采样点是按指数规律的频点进
行
: 采样的，这就是为什么我们听到的音节都是以2的某个指数为倍率进行增长的。当然在指
数
: 频点上采样，还具有其他一些优势，正如时域上的指数量化有着信噪比不随信号幅度变化
的
: 特点。
: 频点采样的指数量化应该有着相对频率灵敏度在整个频域是一致的这个特点。
: 指数频点采样背后有什么信息论的背景，欢迎各位继续探讨。
: 我们之所以能够感受到音律的美，就是因为这些音律所产生的pattern的图案是有规律
的。
: 或
: 者是一个漂亮的图案。
: (以下引言省略...)
--
FROM 218.22.21.* -
看来您刚学完傅里叶级数，还没到傅里叶变换呢
【 在 mayi (蚂蚁) 的大作中提到: 】
: 频域研究的一定是周期信号吧。而周期信号，仅仅是现实世界中，很少的一些信号。
--
FROM 220.231.12.* -
发信人: nirvanajay (for J.S.Bach), 信区: Signal
标 题: a lifeloong to the pursuit of signal
发信站: 瀚海星云 (2009年10月24日03:48:41 星期六), 站内信件 WWWPOST
A Lifeloong Journey to the Pursuit of Signal,
from the Bell to Listening Less Hearing More
nirvanajay, 2009-Oct, whSIG*
Abstract - 考虑到版大烧香，版二杀鸡，大家都不在版面上灌水，signal确实冷静了许
多，趁明天che就要放出来的机会发文预祝che杀鸡顺利~`
呃，标题起得比较雷人希望大家继续看多多拍砖 :-P
I - Fourier/Laplace Transform vs. Convolution vs. Inner product
先说个简单的事情，敲一口钟辉煌洪亮然后声音逐渐减小直到听不见，初中物理/矿石收
音机入门就告诉我们LC选频回路惯性元件存储一点能量然后在LC中间来回交换越来越
小.. .包络服从一条指数曲线。单独给RC充电直接就是指数曲线，更好玩的事有日光灯
管的余辉，MRI的核磁共振响应，当然还有放射性衰变与银行利息。
我怎么知道日光灯.. .? 这是亲手在频域上测的，一开始我也很吃惊，最后从理论上推
出来~`
很明显，这都是一阶和二阶系统产生信号的例子，说到底呢，有些可以看成统计规律，
有些是物质本性。线性性和时不变性的必然结果是一切系统都可以展开成一阶与二阶系
统的复频域乘法，传递函数。因为我们只有对偶的两种惯性投影在实数和虚数上，讨论
四元数倒是个好问题~`
另一个角度正好说明一口钟的声音如何慢慢小到听不见。包含实部的二阶系统可以看成
一阶系统与仅含虚部的理想单色滤波器（eg: LC谐振Q无穷大）在时域上乘法，频域上就
卷积了，正好说明收音机/晶体滤波器的带宽由敲一口钟余音的长度决定，和同样条件下
子弹在水中减速的速度一样（不考虑雷诺数，compiler不要骂我~`）风马牛不相及的类
比说明同样的事实。
还有一个重要而在钟的世界中不好对偶的就是时滞，机械波波速总比我们能见到的物质
尺度大的多我们很难直观想象这样的场景，但当我们考虑一个星际尺度的Delta-Sigma调
制器时这样的问题就是很严重的限制了[3]，当然如果你愿意可以说KaraOKe也算。
我们描述一口钟的是PDE偏微分方程，描述电抗网络的是ODE常微分方程，这里面自然有
区别，怎么能这么瞎类比呢?
问题在于简正模式，ODE只能是一维的，变化量正比于总体的局部线性规律必然导致单一
的复指数解，只有一种简正模式。想想唯一导数正比于本身的函数就是指数函数，微分
学函数论第一课。这可能是世界上最重要最基本的局部性原则导致的全局特性，如果不
算牛顿第一定理，结果算子对角化解耦后还是线性。而更高维的问题就远不是这么回事
了，从二维开始弦振动方程，一维弦加上时间成为二维，结果就像我们看到的这根弦在
时间和空间上分别振动。问题在于它会有无数但可列种简正模式，这还是对有界弦，对
无界弦就变成了无数不可列种简正模式必须要整个实数轴来表示! 很有趣，有界弦还是
l2空间而无界弦就是L2空间了。而高维的波动方程，流形上的波动方程，光寻找这些广
泛出现在量子力学/引力波/听鼓问题中的简正模式就可以是很了不起的工作（我不知道
这些对线性的情况是不是已经存在一般解，但是后面小波的进展对这个领域也有帮
助）。再细说一维的有界弦振动方程，尽管存在多到可列种简正模式，但它们都可以表
现成纯音的正弦波的线性叠加，它们正好都是基频的整数倍。这就是为什么石英振荡器
正好可以产生整数倍频而LC振荡器正好不行。LC也想要整数倍频吗？削波试一试，非线
性时不变了~` 我们听钢琴的时候会注意到有和声，这就是不同的基频和泛音之间在拍
频。如何把乐音用纯频的弦音展开就是Harmonic Analysis调和分析，这是个数学家和音
乐家共用的词，直到现在微分方程论与调和分析都是数学界相互独立而又彼此相关的两
大分支。
在后面还会再讲到这可列种简正模式与线性时变系统，以及数据压缩。
顺便提一下热传导和Poisson/Laplace调和方程，热传导本身没有振荡不存在简正模式的
问题了，但是Fourier大牛干了件对信号处理最重要的事，他发现可以把边界条件按温度
的空间频域分布展开。对热传导最重要的是和弦的情况完全一样，只是初值条件展开的
Fourier系数随着分解空间频率增大指数衰减也越来越大。这是个很有趣的事实，热量变
化得越快扩散得越快，热扩散和温度梯度成正比。另一个角度来说，看过一个证明用高
斯函数展开热传导方程的解，也非常之自然非常之美。e^-x^2是高斯大牛找到的一个很
重要的函数，对于傅立叶还有一个很重要的property就是它是唯一Fourier trans等于它
本身的函数。话说回来傅立叶这么解热传导可能是对整个Signal Process Community来
说最重要的一件事。
调和方程的问题就复杂了，本质上是寻找，比如满足Cauchy-Riemann方程的一组复函。
这里引出的复分析这又是个宏大的领域，学力有限暂时看不出与signal的联系暂且不
表，大家补充，compiler谈流体也行~`
说了这么多就跑题了这么多，现在来说卷积，信号与系统，受迫弦~`
每一点初值条件对系统的影响都是线性时不变，把无始无终的每一点边界条件都当成初
值与简正模式一乘加就成了卷积。对弦就是每一时刻每一点的力，对导热平板就是边界
上的热量流失与补充依赖区域决定区域影响区域；对电感电容，就是给它什么吐出来什
么。当然这个要讲清楚就有很多事情可干了，急减函数缓增函数，广义函数分布函数函
数论，直到大学毕业也说不清狄拉克这个创造与卷积，结果数学系的ODE只好不讲非齐次
卷积求解搞点猜答案的多项式了事，这个是数学严谨化~`
正如小标题一样，这一节最后讲到内积。
Fourier trans在L2空间上看就是个内积，这和我们日常生活的三维Euclid空间是完全一
样的，三维空间中我们有角度有距离。向量空间中我们可以用内积在向量直接投影，简
单的说就是看看你在我这个方向有多长，我们之间有多像。而傅立叶变换就是在一组基
上（其实大多数情况是框架，后面会提到）做内积。而L2/l2空间的内积和卷积其实是一
样的，唯一的区别是它从卷出一个函数变成了t=0这一点的卷积结果，从L2 -> L2 变成
了L2 -> C/R，从算子变成了复/实泛函。说白了就是滤波器在零时刻的响应，滤波器在
零时刻的响应! 这么说Fourier/Laplace trans就是一个滤波器组在零时刻所有滤波器的
响应，传递函数就是单位冲击响应在一个滤波器组上的零时刻所有表现，这就揭示了线
性时不变系统的全部特征。而这些特征说明什么，是不是也揭示了信号的所有结构呢，
这潭水很深，放到后面两节说。
II. 题目还没想好
full length outline~`:
LC LPF 内积 卷积
softrock 时频 两个域 不确定原理
再说内积/卷积/Fourier trans/Laplase trans
the Physical Laplace trans, Eigenvalue
inspired from foobar
- compress and information redundant 构造一个计算中的物理系统
- lead to
赋范/拟赋范 谱 算子 - 解耦，oracle
Delta-Sigma - non-linear - AWGN Hypothsis - limited of signal community
dynamical system - frame - Daubechies
拖把凳子算极限环，oversampling frame
shannon wavelet
compressive sensing - over LTI - statistical property in data - sparse/剃刀
structure - spectral out of F/L trans - Beyond wavelet - manifold - RIP
Statistics and harmonic analysis
第一天，要有集合，使我们物有所指；
公理/定义/引理/定理/推论
=-=-=-=-=-=-=-=
Postscript and Acknowledge:
突然无厘头的起了个lifeloong的名字，只好说说怎么lifeloong，扯远一点.
小时候玩收音机，很明显能调台，之后造过来复再生，没响，造超再生，勉勉强强。造
电台/电源/功放，CW/AM/FM/USB/LSB/SSB复合立体声导频信号同步解调，最后还有电视
信号用VSB，记得这个郑君里面试学生把学生雷到了~ 那时候最爱想的事情是能不能造一
种调制器没有带宽就靠一个频点摆动调频/调幅。要说和signal有什么关系还敲过钟敲过
木鱼拉过锯弹过二胡，拿万用表校吉他弦硬是活生生拉断，要现在肯定接个话筒做FFT，
其实还是靠定音器拍频最准，人为制造AM.
高中造数字通讯还是没搞清香农容限，想不出在什么带限环境下怎么采点能正好，在现
在看来香农容限和香农采样实在是一回事.
然后就这么昏昏噩噩进了大学.
开始一段时间Robocon造电力电子，两个域和不确定原理的感觉总模模糊糊萦绕脑中，那
时还想在反射传感器里干的一件事是放出一束几安培超短的光脉冲抑制杂散光干扰，被
che指在BPF下频域能量同样衰减，尽管貌似还有效。现在想来靠CDMA同样的原理同步解
调是没问题的，一方面看线性时变了一方面从内积看还是线性时变，结果发现这个msdos
果然有干过~，再叹RIP.
然后遇见softrock让我知道了I and Q，于是就有了上面的故事.
*Support by the funding of "the Vivid World", a life loong.
Reference:
[1] YoungBlood, Software defind Radio for Masses, 2002, QXT.
[3] with chejiaxing, personal communication, 2008.
[4] B.P.Lathi, Linear System and Signal, Cambridge Press, 2002.
[5] Modern Contral Theory.
[6] nirvanajay, manuscript, 2008, whSIG.
[7] Ozgur Yilmaz, Alternative number representations for robust analog-to-
digital.., 2007.
[8] nirvanajay, preprint, 2008, whSIG.
[9] R.Adams, Sigma-Delta New algorithms and Techniques
[10] Darpa, A-to-I.
--
修改:nirvanajay FROM 210.45.70.83
FROM 218.22.21.* -
你能不能直接回答以下，别卖关子好不好？
【 在 mickeyzhang (mickeyzhang) 的大作中提到: 】
: 看来您刚学完傅里叶级数，还没到傅里叶变换呢
--
FROM 211.160.21.* -
如果f(t)在区间(0,2\pi)之外是0的话，那么它包含有从负无穷到正无穷的各种频率成分。
【 在 mayi (蚂蚁) 的大作中提到: 】
: 举个例子
: f(t) = sin(t) ( 0 < t < 2*pi)
: 请问这个信号的频率是多少？
: ...................
--
FROM 116.229.18.*
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