這是
http://wulixb.iphy.ac.cn/CN/article/downloadArticleFile.do?attachType=PDF&id=5412
的 HTML 檔。
G o o g l e 在網路漫遊時會自動將檔案轉換成 HTML 網頁。
G o o g l e 在網路漫遊時會自動將檔案轉換成 HTML 網頁。
Sunday, December 9, 2012
联系微分方程与迭代方程的重要纽带,反馈时间硕与驰豫时间
联系微分方程与迭代方程的重要纽带
光学双稳态离散模型的动力学行为
中国科学院物理研究所，北京
I0008o
1993年7月 ‖
日收到
对描写光学双稳系统的延时微分方程作了离散化处理，在N=
1的情况下，得到一个二维
迭代方程，研究结果表明:
系统刚失稳时不是单模振荡，而是四模同时振荡， 并且各自以独立
的方式随着参数以而变化并以倍周期分叉道路进人混沌.
同时， 在周期三窗口发现了另一个
共存的吸引子，其吸引域具有类似二维Mandeblon集的分形结构.
PAcc:
0545
一、 引
言
Ikcda
在1979年对含有非线性介质的环形腔的光学双稳态迸行了理论分 析m, 当延
迟反馈时间 OK)
远大于介质弛豫时间 (7ˉl〉 时，随着输人光强的增大， 该系统将失稳，
并经过倍周期分叉道路进人混沌.
接着人们对长延迟反馈光学双稳系统中的动力学行为
无论在理论上还是在实验上都作了详细的研究"肌.
然而对短延迟反馈的光学双稳系统
人们了解得还很少，当延迟时间薰x
与系统弛豫时间 厂1接近时，两者之间的剧烈竞争， 使
系统变得十分复杂，在实验中已经观察到准周期运动和锁频现象m，
最近又发现了多个吸
引子共存及吸引域分形结构囚.
本文讨论在短延迟反馈光学双稳系统中，
延迟微分方程经离散化后得到一个二维迭
代方程，研究了它的动力学行为包括稳定性分析、多模振荡、振荡周期随参数的变化、多吸
引子共存和吸引域的分形结构.
二、
阈值附近的振荡模式
一个具有延迟反馈的混合光电系统可由下面方程来描述m:
7叶奥童赁) = 一 囊(z) +
z儡sinz[X(z 一 版) 一 X&]. (l)
这里， XO)
禾口/更分另丨j正比于输出输人光彗虽，zR 为信号反馈的延迟时间， 7ˉl 为系统
的弛豫时间， X薰
则代表加在非线性介质上的偏压.
当人们用数值计算方法解这个延迟微分方程时，
实质上就是一种离散化过程m. (1)
式离散化后可写成
7-l X.+l 一
X.
本!
这里N是整数， 山:
zR/N，X. = X(7薰牵z)，N 越大，山越小， 解的精度越高，所求
出的解也就越接近于真实的微分方程的解.
现在我们引人参数 以: 7Az一
7lk/N，得到 (N+1)维离散化方程:
X_+l 一 (1 一 d)X_
十 ozz豇sinz(薰r，_N 一 X薰)， (3)
可以看到，当 鹰一o，N 和薰R
为常数时， 则延迟微分方程退化为一般常微分方程. 如果
d= 1，
则方程就简化为一个迭代方程，因此，鹰是联系微分方程与迭代方程的重要纽带，
它的物理意义是十分清楚的，是反馈时间硕与驰豫时间
7ˉI 之比.
我们设定 N= 1，
这是最简单的低维情况，此时延迟微分方程转化为一个两维的差
分方程:
的动力学行为在文献[8]中已有过较为详细的描述.
但在下面我们将会看到，我们所研究
的结果与递归方程有其相似和不同之处.
1。
由此可以得到本征值为
下面针对具体参数作一分析;
取 0乡= o.9，X薰，=
一1.2，在N=1的情况下，仅一薰k7，取d一M 的值相当于反馈信
号的延时比较接近于系统的驰豫时间.
在失稳边界, 其方程的解可写 为: ~exp〔〈浑 十
由此可以得到， m 一
afg(兄+) 一 87。 十 0.4058
这说明在几的平面上，
系统伴随着一个旋转频率 m= 87。 而离开固定点， 也就是
说，系统失稳后有四个模同时出现，因为360o/87。膨4，而慢变部分的频率为0.4058.
(S)
从图1中可以看到 缍曰 L20
时数值计算结果，振荡波形有四个波同时振荡，这说明
稳定性分析与数值计算结果一致.
'l
0 80 100 2三o 320
400
N
图1 系统刚失稳时…:
1.zo)的振荡波形
三0
振荡波形和周期随参数月值的变化
在失稳阈值附近(/更= 1.20
时)，如图1所示，这四个同时振荡的波近似于正弦波形，
并随着及值的增大(图 2)
逐渐演化成阶梯波，同时，其振荡周期也逐渐加长，到 /覆:1.58
xm
0.0 一
'一
0.0
图 三 z， : 1.58
时的柑图
1.0
图4
系统分叉图
时，系统输出的时间序列变为在四个点上的迭代，
在相图上(图3)和系统分叉图上(图 4)
类似一个 “P4”
的迭代，但它与一般的倍周期分叉的 P4 不同，在倍周期分叉情况下， 按
U序列凹:
最高叶最低叶次高叶次低叶最高一>…，而我们所研究的系统的“已”，其时间序
列却是最高叶次高叶次低韩最低今最高叶…，ˉ
这说明在我们的系统中出现的“已”并不是
真正的已，是四个模重迭的缘故，从图4中可以看到，系统在乙=
2.35 之后，这四个模各
自以倍周期分叉道路进人混沌状态.
四、
吸引子共存时的分形域结构
在 /薰曰- 3.05
时，我们发现,系统同时存在着两个吸引子，一个是周期三吸引子，另一
0 (a) - '
(b)
(a) 周期三吸引子的相图
(b) 周期六吸引子的相图
图夏
个是周期六吸引子,如图5所示，我们让系统的初值在
0一z 范围内扫描，得到了这两个吸
引子的吸引域，图 6(a),
(b)，(c)，(d)， (e), 其中打黑点的是周期三吸引子的吸引域， 图
5(b)，(c)，(d)，(e)
分别是前者画框部分的放大，可以看到其吸弓丨域是一个无限嵌套的自相
似结构， 并可看成如图 6(a)
中点线框内结构顺时针右旋(每次 ~90。)， 同时在尺度上逐
渐缩小的复制过程.
THE DYNAMICAL
BEHAVIoR oF A DISCRETE MoDEL
oF oPTICAL
BISTABLE SYSTEM
ABsTBAcT
The differential
equation vvith delayed feedback of the optical bistable systen1
is discretized
into a tWo-diInensional nlapping. It is shoWn that the four-fold
oscil-
1ation I11ode
PTesents inStead of single-n】ode oScillation upon the loss of stability
of
the syste【n and
that the four n】odes enteT chaos With peTiod-doubling cascade
indePe`
odently vvith the
change of paraIneter A. In addition， 3 coexiSting attTactor is
found
io the vvindoW of
petiod-th【ec. The basin of the coexisting atttacto= is 8 fricta1
StT一
uctute si【I1ilaT
to the tvvo-din1ensional Mandeblo【t sot.
1，Acc;
0545
Subscribe to:
Post Comments (Atom)
No comments:
Post a Comment