专稿
从微积分的发展看微积分的教学（续二）
齐民友
（武汉大学数学与统计学院武汉!"##$%）!
麦克斯韦指出，为了认识例如电场这样的向量
"! "（!#
，
!$
，
!%
），重要的是要知道两个积分，
一是
"! 经过某一曲面& 的通量
’ "
#(
!
)&("#(
"
!·&$("#(
!
#&$&%*!$&%&#*!%&#&$， （’）
另一个是
"! 沿某曲线+ 之环流
, "
%+
"
!·&$("%+
!
#&#*!$&$*!%&%。（(#）
尽管它们是由
"! 生成的，却是两类不同的物理量。（’）和（(#）的被积表达式称为二阶与一阶的微分
形式
!%
与
!(
。（
’）和（(#）本来都是很常见的第二型曲线积分与曲面积分。但是正如我们刚才说到
的，人们开始研究向量是从代数的、形式的角度来考察的，所以我们现在也从形式的角度来看待它
们，所以说它们是“微分形式在曲面
& 或曲线+ 上的积分”。以（’）式为例，我们都知道要把它化为
二重积分来计算，有时需将
& 分成若干块，而在每一块中或取（#，$）为自变量，或取（$，%）为自变
量⋯⋯。而如果
& 的某一部分是用参数（-，.）的方程来表示，则至少这一部分可以用（-，.）为自
变量。例如我们只看到第三项
#(!%
（
#，$，%）&#&$，而&的参数方程是#"#（-，.），$"$（-，.），
%"%
（-，.），则这一个积分应代以
#
!%
［
#（-，.），$（-，.），%（-，.）］"（#，$）
"
（-，.）&-&.。（((）
只写一项积分就相当繁冗，而实际上，（
’）作为一个整体才有物理意义，所以我们应该把三项都写
出来。如此以往自然不堪其繁。因此一个合理的办法是从“形式的”角度去处理它，以便得到与坐标
（即自变量）选取无关的结果。至于这种形式处理的实质则作为一个代数问题来研究。这就是我们
要从形式角度去看待向量的原因。还有一点也应该附带提及，（
((）式在现在教材中是作为二重积
分的变量变换讲的，因此雅可比行列式应该有绝对值，我们这里却没有绝对值，这也不是偶然的。问
题在于（
’）式中的&#&$应如何理解。在讲二重积分时，我们被告知，&#&$应理解为一个整体，即小
面积
&#，而不能看成一个以&#，&$为边长的小矩形之面积，从而不能看成&#与&$之乘积，只在化
为逐次积分时才能这样看。但这时又无法解释为何不能用
&#""#
"
-&-*"#
"
.&.，&$""$
"
-&-*"$
"
.&.，
而得
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"
-
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"
.
"
$
"
（ ）
-
&-&.*"#
"
.
"
$
"
.&.%，反而得出（((）中含雅可比行列式的表
达式。但我们不妨把
&#&$看作向量&#与向量&$的向量积&#/&$（以后&-，&.也看成向量）。因为这
样一来，利用向量积的反对称性
&
-/&-"# &-/&."0&./&- （(%）
%
高等数学研究
)*+,-.)-/0122.3.45*6.45*-0)
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本文是%##"年(#月(=日作者在“深化数学基础课程教学改革研讨会”（上海）上的大会报告。万方数据
就会有
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这就与（
""）至少形式上一致了。
但是把
!!!#“定义为”向量积!!"!#是不行的，至少在#维以上的空间不行。如果在(维空间定
义
!)""*应该要求它有(个分量，但是在#维情况我们就看到!)""*之分量，恰好是!)$（)"
⋯，
)(
），
* $
（*"
，⋯，
*(
）之分量所成的二阶子行列式（附以相应的符号），
($#，所以一共有"$
(
（(+"）$#
个。而且只有当
($#时才恰好是#个。于是我们看到，对于一般(维空间应该定义两个向量（格拉斯
曼称为简单量）的另一种乘积（现在称为外积，格拉斯曼则称之为线性积或补积）：
) #*。它应该有以
下的反对称性
)
#* $+* #)，因此) #) $%。（"#）
这样，定义通量的积分（
&）应理解为
, $
$)
)
!!’#!-&)#!-#!!&)-!!#!#， （"(）
但定义环流的积分（
"%）仍与原来一样。这样更容易看到这些积分确实是相应阶数的（外）微分形式
"
$%)."
⋯
./!!."#⋯#!!./
（加一个“外”字表示
!!.
之乘积都是“外”积）的积分。而某积分域
#之维数与"之阶数相同。所以，通
量与环流都是某“微分形式”
" 在某“微分流形”# 上的积分：
&
#"。（")）
这些讨论看起来都是形式的。用这些定义时自然会问到这种积分定义与上面讲的黎曼积分或勒
贝格积分有何关系。但是这并非重要问题。或者说，在什么是积分这个问题上并没有前进，而真正重要
的是这种形式化的处理实质何在，于是我们又回到格拉斯曼的思想。格拉斯曼研究代数（即我们今天
说的线性代数）是从一些未定义的元素开始的。他称这些未定义元素为“简单量”。今天看来，这些简单
量可以理解为向量，但是格拉斯曼没有说。不过可以肯定“简单量”不是数，因为数不可能如格拉斯曼
所希望地那样，按一定的运算律生成更高级的量。用格拉斯曼的原话来说就是：“我既把这些量称为
‘简单量’，而不直称它们为量，就是表示我还要向前走。还有种种其它的量在，称为“复合量”，它们之
间特性不同正如不同的简单量特性亦不相同一样。这些复合量是由高阶形式通过加法形成的”。例如
从简单量
!!，!#，!-出发，通过外积、乘以“系数”)!
，
)#
，
)-
，再相加就可得到（
"(）中的二阶微分形式。
如果一个简单量如
!!表示一个非%的有方向的量（“向量”），另一个与它不平行的简单量（格拉斯曼已
经提出过了简单量的线性相关性）的外积就是一个平行四边形，再用一个简单量与它作积，就会得到
一个三维的平行六面体。总之，（
")）中的各项都表示一些/维平行体作线性组合。但是/维平行体还
是自己的体积。体积是一个数。要把例如
!!."#⋯#!!./
与一个
/维平行体求比（*+,-.），这个比才是体
积。正如在最古老的《几何原本》中讲两个线段之比，比才可以作为线段之长度，才是一个数。希腊人正
是因为对于比是否一定为数有了怀疑（即不可公度性问题），所以《几何原本》中只讲量，不讲数（当然，
《几何原本》有相当一部分是讲素数的），只讲比例线段，不讲线段之长。同样，格拉斯曼也认识到有必
要对一个复合量
0定义一个“补元”"0，然后才能得到一个数’0"0称为0的数值。这个“补元”，即今
天我们说的霍奇算子
(。经过这样迂迥，我们终于发现（")）就是通常的积分。
第
/卷第#期齐民友：从微积分的发展看微积分的教学（续二） #
万方数据
说过了积分就要讲微分。由于有了外积，自然就会想到可以定义外微分。例如
!
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"
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⋯
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$&"!$!""⋯"!$!#
。（
"#）
求一次微分就出现一个
!$，所谓外微分就是说这个新出现的!$要与原来有的!$!""⋯"!$!#
求外
积而不是通常的乘。
外微分运算
!最重要的性质是
!
$%%， （"&）
即是说
!$作用到任何微分形式上均为%。为了证明这一点，用!再作用于（"#）有
!
$" %!（!!!
"
!"
⋯
!#
（
$）!$!""⋯"!$!#
）
%!’!&
!
!
!
$"!"
⋯
!#
!
$&!$’!$’"!$&"!$!""⋯"!$!(
。
上式右方没有
’&的项，因为有!$&"!$’%!$’"!$’%%’所以只余下&#’与&$’诸项。在
&
$’的诸项中把&与’互换，并利用
!
$’"!$&%)!$&"!$’，
即可将上式化为
!
$" %!&#’!!
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!
$’!$
%
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’
& (
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$&"!$’"!$!""⋯"!$!# %%
（注意，在这个领域内我们通常都考虑充分光滑的函数）。因此，（
"&）式固然来自二阶混合导数与求导
之次序无关（当
" 为%阶微分形式即一个函数时，（"&）式就是这个事实），但是更要紧的是，它是一个
组合学的事实。上面我们详细讨论了（
"&）的证明过程目的即在于此。
现在要问，（
"&）之逆定理是否成立？即是说，若在某区域#内!$%%，$是一个#*"阶微分形式，
是否一定存在一个
#阶微分形式" 使$%!"？这里#)%。于是我们有
波恩加莱引理若
# 关于其内某一点+ 为星形域，则一定存在" 使
$
%!" （"(）
所谓星形域即
# 中任一点$与+ 之联线全在# 内。这是一个重要的几何性质。通常我们对它不
太注意，实际上在许多甚至最基本的定理的证明中都用到了它。它的重要性在于：
$可能表示一个物理
量，于是
!$%%表示此物理量具有某种重要性质。波恩加莱引理告诉我们，一个物理量具有此种性质
时，则对星形域
#，必有另一物理量" 使$是它的外微分：$%!"，"称为$之势。这就联系到我们在
经典的场论中学的一些公式和概念。
如果
%（$）是一个%阶微分形式即一个函数，则
!
%%%$!$*%,!,*%-!- &（%$
，
%,
，
%-
）
%!"#$%。
如果
""
（
$）是一个"阶微分形式：
"
"%!"$!$*",!,*"-!- &*" %（"$
，
",
，
"-
），
则
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如果
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（
$）是一个二阶微分形式：
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$%"$!,"!-*",!-"!$*"-!$"!,&*" %（"$
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，
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），
则
.
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$ *!",
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（ ）
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!$"!,"!-&!)**"。
+
高等数学研究$%%+年,月
万方数据
因此，根据波恩加莱引理，如果对
! 加上如上的限制，则：
若一个向量场
!!（"，#，$）之旋度为!：!"#$!!%!（这种场称为无旋场），则一定存在一个函数"（"，
#
，$）称为!! 之（标量）势，使!! %%#&’"。
若一个向量场
!!（"，#，$）之散度为!："#$!! %!（这种场称为无散场），则一定存在一个向量"&（"，
#
，$）称为!! 之（矢量）势，使!! %!"#$"&。"。
这两个结论在经典的微积分教本中都可以找到，但是总使人感到不明不白：这两个向量场
!%
有什
么区别呢？用外微分形式来看就明白了：前一个命题中的
!%
是一个
&阶微分形式%’"’%)")(%*"*，
而后一个命题中的
!%
是一个
+阶外微分形式%’"##"$(!#"$#""(!$""#"#。二者之间总该有
一定的关系吧？确实是的，这里就用得着霍奇算子
$（亦即格拉斯曼称为“补元”&’的东西）。在三维
欧氏空间，即在赋有直角坐标系（
"，#，$）的(,中，我们规定：
$
&-""#"##"$； $""-"##"$ （以下按轮换对称变）；
$
"##"$#""（以下按轮换对称变）； $""#"##"$-&。
这样一来，梯度、旋度与散度就应写成
%#&’
"-""， "为!阶微分形式；
!"#$
!!-$"#， # 为&阶微分形式，即#-!!； （&.）
"#$
!!-$"（$#） # 仍为&阶微分形式。
但是我们要十分强调，（
&.）式只能用于“赋有直角坐标系（"，#，$）的(,”。不但维数高了不行，用
球坐标系也不行。麦克斯韦的电磁场理论只能放在
/维明可夫斯基时空(/
中。这时霍奇算子必须
重新定义。这一点格拉斯曼没有看到。但是难道我们不应该采取“春秋不责备贤者”的态度吗？
现在，我们已经有了一个积分运算，即一个
)阶微分形式# 在积分区域!（可以是平直空间()
中之区域，也可以是一个
)维微分流形上的区域）上之积分（&0），又有了一个微分运算"，现在问二者
之间有无某种逆运算关系？即是说，可否找到微积分的基本定理在这里的类似物？更具体地说，设
$
为一（
)1&）阶微分形式，于是"$是一个)阶微分形式，现在要问
%
!
"
$-？
这就涉及
! 的边缘的问题。应该着重提醒一下，! 的边缘与! 作为拓扑空间的子集之边界点集
合是两回事。前者粗略地说，就是把
! 化为半空间")&!后，")-!的像，记作’!，它有非常简单，易
于处理的几何构造，而后者，如果记为
*+!-! 1
1
! ! ，其构造比’! 复杂得多。’! 是一个)1&维流
形。所以
%!
"
$是有意义的。关于微分形式的积分的最重要的结果就是以下的
斯托克斯定理
%
!
"
$-%%!$ （+!）
法国数学家托姆说过一段话：“如果要问我，哪一个定理是数学中最深刻、最简明而又有明确无误
的物理意义，则斯托克斯定理当属首选。外微分形式是一个非常神秘的东西。它的秘密一直还隐藏
着”。很明显，
%与"是互相对偶的东西。例如，相应于"+-!，很容易证明
%
+-!。（+&）
而且，这又是一个非常简单的组合学事实。
那么，秘密究竞何在？外微分形式及其积分是刻划自然界的有力工具。现在以电磁场为例。我
们已经有了两个向量：电场强度
!’与磁场强度"&。但是二者大有区别。前者与坐标系的手征（左手系
或右手系）无关。后者则相反：若手征改变，即从右手坐标变为左手坐标系，则
"& 将会变号。前一类向
量称为真向量或极向量，后一类则称为贋向量或轴向量。这是一个深刻的区别。
第
2卷第,期齐民友：从微积分的发展看微积分的教学（续二） 0
万方数据
按我们上面讲的，应该考虑
!! 和"" 的通量与环流。先看通量，设# 是一个闭曲面：#!!"，" 是
一个区域，则高斯定律告诉我们
#
!"!$"%!##（" 中的电荷）
!#
##"
$
"&"’"(，
$
是电荷密度，于是由斯托克斯定理即有
"$%
!!!##$。（!）
现在看
"" 的通量。物理学告诉我们没有磁单极存在。因此仿照上式有
"$%
""!&。（"）
由环流也可以得出重要的方程。为此，取一条闭曲线
) 并设它是一“片”曲面# 的边缘：)!!#，
法拉第的电磁感应定理告诉我们：
!! 对) 之环流应该等于!""
!
*
过
# 之通量，我们常说的磁场的变化产
生电动势就是这个意思。于是我们有法拉第电磁感应定律的数学表示如下：
#
)
!
!·"$%!#!%
!
!·"$%!’+
#
%
!
""
!
（ ）
*
$
"
%,
由斯托克斯定理即有
!"#$
!!!’+
!
""
!
*
（
#）
于是余下的只有
")
的环流。安培定律告诉我们，电流会产生磁场。用准确的数学语言来说，用
$*
表示电流密度向量，我们应用
#
+
"
)
·
"$%!#!%
"
"·"$%!##
+
#%$-$"%
于是由斯托克斯定理应用
!"#$
""!##
+
$
-。
可是很遗憾，这是错的。它只适用于稳恒状态，即与
*无关的状态。麦克斯韦的重要贡献在于从
物理上发现了应该在上述方程中添加一项“位移电流”
(+!!!
!
*
，使得它成为
!"#$
""!(+
!
!!
!
*,##
+
$
- （$）。
从数学上使我们也可以“证明”，必须有这样一项。总之我们现在有了完整的麦克斯韦方程徂（
!———
$
）。
还有一个问题需要说明。上面我们指出了电场与磁场是很不相同的，但是它们又是密不可分地
联系在一起的。如果在某个坐标系（参考系）中，我们有静止的电荷，而没有电流，这时可以没有磁场
出现，即
""!&。如果换到另一个以匀速运动着的参考系，则静止的电荷成了电流，在这个新参考系
下，
!.，".%&，所以，不应该把二者分开。从物理上说我们已经懂得了磁性其实来自电子的自旋。费
曼的《物理学讲义》中说，磁性是电性质的相对论效应。所以，如果作一个相对论的参考系变换（即洛
伦兹变换），应该能由没有磁场（
"!&）的参考系变成有磁场（".%&）的参考系。这就告诉我们，应该用
一个统一的数学对象来刻划统一的电磁场，这恰好是一个
-阶微分形式
/
!（!("&(,!-"&-,!."&.）&"&&,"("&-&"&.,"-"&.&"&(,"."&(&"&-。（--）
这里记号有些不同，下标与上标的
(、-、.、分别相应于&，’，(，&&!+*，*是时间，+是光速。
上面我们说过，
!! 是真向量，!" 是贋向量，二者怎能混在一起？恰好现在它们都成了一个-阶
微分形式的组成部分。
-阶微分形式本身就有反对称性，这一点恰好照顾了!! 与!" 或者为真或者
/
高等数学研究-&&#年0月
万方数据
为贋都可以相安无事了。
那么，麦克斯韦方程又当如何呢？先看
!
!"#。（$%）
我们立刻就看出，它恰好是麦克斯韦的四个方程中两个齐次的方程（
!）与（"）即：磁单极的不
存在与法拉第的电磁感应定律。另外两个定律（
#）与（$）的导出要用到霍奇算子。前面我们说
过，前面定义的霍奇算子只适用于赋有直角坐标系的
!%。电磁现象本质上是相对论性质的，所以
麦克斯方程组（
#）———（$）的合适的框架是明可夫斯基的&维时空"&
，所以
!要另行定义。在
定义好了霍奇算子
!以后，我们将发现，麦克斯韦的另外两个非齐次的方程（#）与（$）将写成
!
!"&"#， （$&）
这里
!
"’!!!， （$(）
而
#
"（#，’$
%
)，’$
%
$，’$
%
%）
称为电磁一电流向量，它是一个
&维向量。
至此我们已看到，麦克斯韦方程组化为了极为简洁的两个方程（
$%）与（$&）。
把关于电磁现象的数学表述与牛顿力学的数学表述作一个比较就可以看见：现在物理量不仅
是表示为时间
&与空间变量（例如’，(，)）函数，而是如格拉斯曼说的表述为“复合的量”。而且不
止于此，这些复合的量还与一个空间图形（例如曲线
*，曲面+ 等等）的几何构造有关。这里的空
间图形的几何性质（准确些说是拓扑性质）与这些复合的量的数学性质（或者说是分析性质）有一种
对偶关系。例如
!$"#与$$"#就是互相对偶的。这种对偶关系中最主要的是斯托克斯定理。我
们既可以说它是微积分的基本定理的推广，更应该看到微积分的基本定理是最简单的对偶定理。
通量、环流之所以重要正是因为它们恰好是这些复合的量以及与之对偶的几何图形结合而成。
这样看来，如果把牛顿的微积分以及由它发展而来的许多数学分支看成一个数学框架，后牛顿
的数学框架应该不只有一个，而是随着数学刻划大自然的规律的发展与深化，会不断有新数学框架
""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
产生。（本节完，全文待续）
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“
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D卷第%期齐民友：从微积分的发展看微积分的教学（续二） D
万方数据
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