Monday, December 17, 2012

矢量点源的并矢格林函数，反映了空间场对源的响应特性

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Page 1
１９９９，１９（１）：１７－２２
一类广义矢量偏微分方程的并矢格林函数解及其应用
崔元顺
（淮阴师范学院物理系　江苏淮阴２２３００１）
摘要　利用傅里叶变换、留数定理，求解了一类广义矢量偏微分方程的并矢格林函数，研究了无
界空间的积分解，并应用于具体物理实例．
关键词　广义矢量偏微分方程，并矢格林函数，积分关系．
犕犚（１９９１）主题分类　７８
１　引言
文献［１］［２］根据具体物理问题建立和求解了相应矢量场的偏微分方程，在理论和应用
上有一定实际意义，现将其推广至一般形式
２狑
＋犪·狑
＋犫 ×狑
＋犮２狑
＝λ犉
．
（１）
式中狑
、犉
分别为空间坐标的场函数和源函数，犪、犫、犮及λ 均为常系数参量．在（１）式中，包含
有算子对矢函数的全面场论运算形式，当犪＝犫＝０时，（１）式即退化为通常的亥姆霍兹方
程．对于由（１）式描述的线性物理系统，本文用并矢格林函数法求解其无界空间的积分解，并
应用于物理实际问题．结果表明，当常系数参量取不同值时，其对应解的物理意义将不同；当
把解应用于复杂媒质中的电磁问题时，表现出电磁模式不同程度的分裂．
２　无界空间定解问题的并矢格林函数
就无界空间而言，求解方程（１），实际上归结至求解相应特殊问题
２犌

（狉
；狉
′）＋犪·犌

（狉
；狉
′）＋犫 × 犌

（狉
；狉
′）＋犮２犌

（狉
；狉
′）
＝　犐

δ（狉
－狉
′）
（２）
的解———并矢格林函数　犌

（狉
；狉
′）．式中　犐

为单位并矢．
对（２）式两端施行傅氏变换
犌

（狉
；狉
′）＝
１
（２π）３
∞
－∞
犵

（犘
）ｅ犻犘
·（狉
－狉
′）ｄ３犘
，
δ（狉
－狉
′）＝
１
（２π）３
∞
－∞
ｅ犻犘
·（狉
－狉
′）犱３犘
烅
烄
烆
，
（３）
江苏省教委自然科学基金资助课题
１９９６１１１８日收到
式中犘
和ｄ３犘
分别代表犘
空间的位置矢和体元，犵

（犘
）为相应空间的并矢格林函数．设犘
空间球系变量为（狆，θ，α），则犱３犘
＝狆２ｓｉｎθｄ狆ｄθｄα，狆２＝犘
·犘
．将（３）式代入（２）式，用→犻犘
得
（犮２　－狆２）犵

－犪犘
犘
·犵

＋犻犫犘
× 犵

＝　犐

．
（４）
以犘
左点乘（４）式两端，得
犘
·犵

＝
１
犮２　－（１＋犪）狆２犘
．
（５）
以犘
左叉乘（４）式两端，得
犘
× 犵

＝
犻犫（狆２犵

－犘
犘
·犵

）＋犘
× 犐

犮２　－狆２
，
（６）
由（４）～（６）式可解出，
犵

（犘
）＝犳１（狆２）犘
犘
＋犳２（狆２）犘
× 犐

＋犳３（狆２）犐

．
（７）
式中系数函数分别为
犳１（狆２）＝
犪（犮２　－狆２）－犫２
［（犮２　－狆２）２　－犫２狆２］［犮２　－（１＋犪）狆２］
，
（８ａ）
犳２（狆２）＝－
犻犫
（犮２　－狆２）２　－犫２狆２，
（８ｂ）
犳３（狆２）＝
犮２　－狆２
（犮２　－狆２）２　－犫２狆２．
（８ｃ）
　　将（７）式代回（３）式，并作犘
→－犻可得
犌

（狉
；狉
′）＝
１
８π３　－ 
∞
－∞
犳１（狆２）ｅ犻犘
·（狉
－狉
′）ｄ３犘
－犻 × 犐

∞
－∞
犳２（狆２）ｅ犻犘
·（狉
－狉
′）ｄ３犘
［
］
｛
＋犐

∞
－∞
犳３（狆２）ｅ犻犘
·（狉
－狉
′）ｄ３犘｝
．
（９）
　　现结合（８）式运用留数定理计算（９）式中的三项积分．在犘
空间取球系极轴沿犚
＝狉
－
狉
′方向，则ｅ犻犘
·（狉
－狉
′）＝ｅ犻狆犚ｃｏｓθ，由于（８）式各系数函数均为狆的偶函数，故各项积分有如下形
式
犐犼≡
∞
－∞
犳犼（狆２）ｅ犻狆犚ｃｏｓθｄ３犘
＝∫
∞
－∞
犳犼（狆２）狆２ｄ狆∫
π
０
ｅ犻狆犚ｃｏｓθｓｉｎθｄθ∫
２π
０
ｄα
＝
２π
犻犚∫
∞
－∞
狆犳犼（狆２）ｅ犻狆犚ｄ狆．
（１０）
在（１０）式中，犼＝１，２，３，将犘
空间的体积分化成了一维积分．由于犚＞０，据约当引理，在犘
空间的复平面上取上半平面的围线积分，有
犐犼　＝
２π
犻犚∮上半平面
狆犳犼（狆２）ｅ犻狆犚ｄ狆＝
４π２
犚
Ｒｅｓ｛狆犳犼（狆２）ｅ犻狆犚｝，
（１１）
由（８）式可见，（１１）式中被积函数具有数个一阶极点，其留数可由极点求出．令犳犼（狆２）的分
母为零，求出对应极点分别为
狆１　＝±犽１，±犽２，±犽３
狆２　＝狆３　＝±犽１，±犽　｝２
，
（１２）
８
１
数　学　物　理　学　报　　　　　　　　　　　Ｖｏｌ．１９
式中，
犽１　＝
１
２
（犫＋　犫２　＋４犮
槡
２），犽２　＝
１
２
（－犫＋　犫２　＋４犮
槡
２），
（１３ａ）
犽３　＝
犮
１＋
槡　犪
．
（１３ｂ）
犽１，犽２　和犽３　的值均由方程（１）的常系数参数确定．由于极点对称地分布于犘
空间复平面的
实轴上，故将（８）、（１２）式代入（１１）式求得的积分结果将含有对称的复数共轭指数项，即
犐１　＝
２π２
犚
犪（犮２　－犽２
１）－犫２
（犽２
１　－犽２
２）（犽２
１　－犽２
３）
（ｅ犻犽１犚　＋ｅ－犻犽１犚）＋
犪（犮２　－犽２
２）－犫２
（犽２
２　－犽２
１）（犽２
２　－犽２
３）
（ｅ犻犽２犚　＋ｅ－犻犽２犚
［
）
＋
犪（犮２　－犽２
３）－犫２
（犽２
３　－犽２
１）（犽２
３　－犽２
２）
（ｅ犻犽３犚　＋ｅ－犻犽３犚
］），
（１４）
犐２　＝－
犻犫
犽２
１　－犽２
２
２π２
犚
（ｅ犻犽１犚　＋ｅ－犻犽１犚）－（ｅ犻犽２犚　＋ｅ－犻犽２犚
［
］
），
（１５）
犐３　＝
１
犽２
１　－犽２
２
２π２
犚
（犮２　－犽２
１）（ｅ犻犽１犚　＋ｅ－犻犽１犚）－（犮２　－犽２
２）（ｅ犻犽２犚　＋ｅ－犻犽２犚
［
］
）．
（１６）
　　将（１４）～（１６）式代入（９）式，便给出方程（２）的并矢格林函数　犌

（狉
；狉
′）为
犌

（狉
；狉
′）＝
１
４π

犪（犮２　－犽２
１）－犫２
（犽２
１　－犽２
２）（犽２
１　－犽２
３）
·ｅ
犻犽１犚
犚
＋
犪（犮２　－犽２
２）－犫２
（犽２
２　－犽２
１）（犽２
２　－犽２
３）
·ｅ
犻犽２犚
［
｛
犚
＋
犪（犮２　－犽２
３）－犫２
（犽２
３　－犽２
１）（犽２
３　－犽２
２）
·ｅ
犻犽３犚
］
犚
－
犫
犽２
１　－犽２
２
 × 犐

（
ｅ犻犽１犚
犚
－
ｅ犻犽２犚
犚
［
］）
＋
１
犽２
１　－犽２
２
犐

（犮２　－犽２
１）
ｅ犻犽１犚
犚
－（犮２　－犽２
２）
ｅ犻犽２犚
［
］｝
犚
＋Ｃ．Ｃ．，
（１７）
式中Ｃ．Ｃ．表示复数共轭，且犽犼（犼＝１，２，３）具有波数的量纲．
３　无界空间的积分公式
（１７）式是矢量点源的并矢格林函数，反映了空间场对源的响应特性．由于方程（１）是线
性方程，故其解可表示成［３，４］
狑
（狉
）＝λ犌

（狉
；狉
′）·犉
（狉
′）ｄ３狉
′，
（１８）
式中积分对源函数分布区域积分．将（１７）代入（１８）即为无界空间中方程（１）解的积分公式．
若源函数具有δ函数形式，如犉
（狉
）＝狀
δ（狉
），则由（１８）式给出
狑
（狉
）＝λ犌

（狉
；０）·狀
，
（１９）
式中狀
为矢量点源取向的单位矢．这一类问题的典型实例是时谐偶极辐射［５］．
此外，在（１７）或（１８）式中，各项含有算子运算的情况有别，因而各项将含有１
犚
的不同
次幂，在划分区域线度研究问题时，各项对结果的贡献将不同［６］．
从模式理论看，（１７）或（１８）式中通常包含有波数分别为犽１，犽２　和犽３　的不同波模，且每
一种波模又包括有正反向两种传播方式，当只考虑正向波动时，可略去（１７）式中的复数共轭
项．对于每一传播方向的波动，由（１３）式可见，当犫＝０而犪≠０时，出现犽１＝犽２＝犮的模式部
分简并；只当犪＝犫＝０时，才出现模式的全简并．也就是说，对于通常的亥姆霍兹方程，其解
是单模的，而对于广义亥姆霍兹方程，其解则出现模式分裂，且这种分裂程度还因方程（１）的
９
１
Ｎｏ．１　　　　崔元顺：一类广义矢量偏微分方程的并矢格林函数解及其应用
常系数参数的不同而异．
值得指出，在以下的应用中我们将遇到犪＝－１而犮≠０的情况，此时将不存在犽３　模式，
而使解成为双模的，这一点可从（８ａ）式分母中第二个因子看出．
４　应用
随着人工合成技术和材料科学的发展，在实际工程的应用中，旋波媒质的电磁特性日趋
为人们所重视．关于旋波媒质电磁特性的理论分析和可能的实际工程应用的研究，现有文献
多采用场矢量进行直接分析和计算，还尚未见用势函数进行研究的报道［７１０］．从理论上讲，
用势函数分析电磁问题比用场矢量方便．本文分别从场和势两个方面给出方程（１）在复杂电
磁媒质中的应用，并对结果进行比较，首次报道旋波媒质中电磁势三模式的存在．
４．１　旋波媒质中的电磁场
在时谐情况下（取ｅ－犻狑狋），由麦克斯韦方程结合旋波媒质的本构关系
犇
＝ε犈
＋犻γ犅
，犎
＝犻γ犈
＋
１
μ
犅
．
（２０）
可导出电场犈
满足的波动方程如下
 ×  ×犈
－２狑μγ ×犈
－犽２犈
＝犻狑μ犑
．
（２１）
式中犑
为辐射源电流密度，犽２＝狑２
με，γ 为旋波因子．γ 的数值可以是正、负或零，它们分别
对应于右旋、左旋或无旋电磁媒质；对于均匀无耗电磁媒质，ε、μ和γ 均为实常数．
比较（１）式和（２１）式，令
犪＝－１，犫＝２狑μγ，犮＝犽，λ＝－犻狑μ．
（２２）
（１）式即化为（２１）式形式．将（２２）式代入（１３）式可给出
犽１　＝狑μγ＋犽′，犽２　＝－狑μγ＋犽′．
（２３）
式中犽′＝　（狑μγ）２＋犽
槡
２≥犽，犽１，犽２　正是旋波媒质中传播的电磁场矢量左、右旋圆（或椭圆）
极化波本征模的波数［８，１１］．当γ＞０时，有犽１＞犽＞犽２＞０，相速狑
犽１
＜
狑
犽
＜
狑
犽２
，犽１　对应慢波模，犽２
对应快波模；当γ＜０时，有犽２＞犽＞犽１＞０，相速狑
犽１
＞
狑
犽
＞
狑
犽２
，犽１　对应快波模，犽２　对应慢波模；
当γ＝０时，则退化为简单媒质情况，出现如前所述的电磁模式完全简并，相应的波数为犽．γ
取不同值时其对应波数的分裂情况如图１所示，其中间隔Δ犽＝｜狑μγ｜．
图１
０
２
数　学　物　理　学　报　　　　　　　　　　　Ｖｏｌ．１９
考虑到在犪＝－１时不存在犽３　模式，结合得到（１４）式的过程，将（２２）、（２３）式代入（１７）
式相应的形式，可给出旋波媒质中方程（２１）式满足辐射条件的正向传播双模场矢量的并矢
格林函数为
犌

犈（狉
；狉
′）＝－
１
犽１　＋犽２
１
犽２  犽２
ｅ犻犽１犚
４π犚
＋犽１
ｅ犻犽２犚
４π
（
）
［
犚
＋犐

× 
ｅ犻犽１犚
４π犚
－
ｅ犻犽２犚
４π
（
）犚
＋犐

犽１
ｅ犻犽１犚
４π犚
＋犽２
ｅ犻犽２犚
４π
（
）］
犚
．
（２４）
其中用到关系×（φ犐

）＝犐

×φ．对应无界空间的积分解为
犈
（狉
）＝－犻狑μ犌

犈（狉
；狉
′）·犑
（狉
′）ｄ３狉
′．
（２５）
当γ＝０时，（２４）式简化为
犌

犈（狉
；狉
′）＝－（犐

＋
１
犽２ ）
ｅ犻犽犚
４π犚
．
（２６）
此式与已有结果相一致［１２］．
４．２　旋波媒质中的磁矢势
引入势函数（犃
，
φ）
和洛仑兹条件如下
犅
＝  ×犃
，犈
＝－ φ＋犻狑犃
，·犃
－犻狑μεφ ＝０．
（２７）
结合麦克斯韦方程和本构关系（２０）式，可导出磁矢势犃
所满足的波动方程为
２犃
＋２狑μγ ×犃
＋犽２犃
＝－μ犑
．
（２８）
比较（２８）式和（１）式，令
犪＝０，犫＝２狑μγ，犮＝犽，λ＝－μ．
（２９）
可由（１３），（１７）式分别给出对应的波数和正向传播的磁矢势并矢格林函数为
犽１　＝狑μγ＋犽′，犽２　＝－狑μγ＋犽′，犽３　＝犽＝狑２
με．
（３０）
犌

犃（狉
；狉
′）＝－
１
犽１　＋犽２
１
犽２  犽２
ｅ犻犽１犚
４π犚
＋犽１
ｅ犻犽２犚
４π
（
）犚
－（犽１　＋犽２）
ｅ犻犽犚
４π
［
］
｛
犚
＋犐

× 
ｅ犻犽１犚
４π犚
－
ｅ犻犽２犚
４π
（
）犚
＋犐

犽１
ｅ犻犽１犚
４π犚
＋犽２
ｅ犻犽２犚
４π
（
）｝
犚
．
（３１）
则磁矢势积分表达式为
犃
（狉
）＝－μ　犌

犃（狉
；狉
′）·犑
（狉
′）ｄ３狉
′．
（３２）
当γ＝０时，（３１）式给出简单形式下磁矢势的并矢格林函数
犌

犃（狉
；狉
′）＝　犐
 ｅ犻犽犚
４π犚
．
（３３）
　　比较（２４）式与（３１）式可见，在犽１，犽２　模基础之上，势函数犃
比场磁量犈
增加了犽３“普通
模”，即势函数存在三个传播模，其波数分裂情况参见图１．
由（２４）式和（３１）式可得　犌

犃　和犌

犈　之间的关系为
犌

犃　＝　犌

犈　＋
１
犽２ 
ｅ犻犽犚
４π犚
．
（３４）
即
犻狑（－μ犌

犃 ·犑
ｄ３狉
′）＝－犻狑μ犌

犈 ·犑
ｄ３狉
′－
犻
狑ε
ｅ犻犽犚
４π犚
·犑
ｄ３狉
′．
有
犈
＝犻狑犃
＋
犻
狑ε
ｅ犻犽犚
４π犚
·犑
ｄ３狉
′．
（３５）
１
２
Ｎｏ．１　　　　崔元顺：一类广义矢量偏微分方程的并矢格林函数解及其应用
对于辐射场（只保留至１
犚
项），可以证明
·犌

犃 ·犑
ｄ３狉
′＝－
ｅ犻犽犚
４π犚
·犑
ｄ３狉
′．
代入（３５）式得犈
＝犻狑犃
－
犻
狑ε
·犌

犃 ·犑
ｄ３狉
′＝犻狑犃
＋
犻
狑με
·犃
．
该式与（２７）式相一致．表明旋波媒质中势函数的“普通模”对辐射区的横电磁场不产生贡献．
５　结语
本文运用并矢法求解了一类广义矢量偏微分方程的并矢格林函数，给出了无界空间的
积分解，这一方法对于求解矢量线性偏微分方程具有一定的适用性，诸如泊松方程，非齐次
亥姆霍兹方程、达朗贝尔方程等的求解．文中以旋波媒质为例，给出了求解场矢量和势函数
并矢格林函数的应用，示例的计算表明这一方法是行之有效的．
参　考　文　献
１　ＢａｓｓｉｒｉＳ，ＥｎｇｈｅｔａＮ，ＰａｐａｓＣＨ．ＤｙａｄｉｃＧｒｅｅｎ′ｓＦｕｎｃｔｉｏｎａｎｄＤｉｐｏｌｅＲａｄｉａｔｉｏｎｉｎＣｈｉｒａｌＭｅｄｉａ．ＡｌｔａＦｒｅｑ，１９８６，
５５：８３－８８
２　周淮玲，崔元奎．手征媒质中达朗伯方程的并矢格林函数及应用．渝州大学学报，１９９６，１３（１）：２５－３２
３　崔元顺．运动电磁媒质中的推迟势．大学物理，１９９６，１５（１１）：１７－２０
４　周淮玲，崔元顺．运动媒质本构关系和势方程的四维协变形式及其推迟解．内蒙古师大学报（自，汉），１９９５，１：２９－３６
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犇狔犪犱犻犮犌狉犲犲狀′狊犉狌狀犮狋犻狅狀犛狅犾狌狋犻狅狀狅犳犪犌犲狀犲狉犪犾犻狕犲犱
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ＣｕｉＹｕａｎｓｈｕｎ
（犎狌犪犻狔犻狀犜犲犪犮犺犲狉狊犆狅犾犾犲犵犲，犎狌犪犻狔犻狀２２３００１）
犃犫狊狋狉犪犮狋　ＴｈｅｄｙａｄｉｃＧｒｅｅｎ′ｓｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆａｇｅｎｅｒａｔｉｚｅｄｖｅｃｔｏｒｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ
ｉｓｓｏｌｖｅｄｂｙＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｔｈｅｏｒｅｍｏｆｒｅｓｉｄｕｅｓ，ｅｔｃ．Ｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｉｎ
ｔｈｒｅｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｕｎｂｏｕｎｅｄｓｐａｃｅｉｓｓｔｕｄｉｅｄ，ａｎｄｓｏｍｅｅｘａｍｐｌｅｓａｒｅｇｉｖｅｎ．
犓犲狔狑狅狉犱狊　Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｖｅｃｔｏｒｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ，ＤｙａｄｉｃＧｒｅｅｎ′ｓｆｕｎｃｔｉｏｎ，Ｉｎｔｅ
ｇｒａｌｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ．
犕犚（１９９１）犛狌犫犼犲犮狋犆犾犪狊狊犻犳犻犮犪狋犻狅狀　７８
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数　学　物　理　学　报　　　　　　　　　　　Ｖｏｌ．１９
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