初探薛定谔方程的解与哈密顿量的群

這是 http://icl.pku.edu.cn/member/yujs/papers/pdf/group5.PDF 的 HTML 檔。
G o o g l e 在網路漫遊時會自動將檔案轉換成 HTML 網頁。

Page 1

浅谈群论在物理学中的应用　魏震　２００２　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第　１　页　共　１　页　

初探薛定谔方程的解与哈密顿量的群　

群在量子力学中的应用　

数学科学学院概率统计系 00 级

魏　震

计算机辅修号 01005

［本文摘要］　　　　　　本文由群在量子力学中的一个基本定理的出发　说明了在无偶然简并的条件下　这个　　　　　　　　　　　　　

定理在实际物理理论中的一个简单应用　并由此简略介绍了在其它物理学方面群的应用　　

［关键词］　　　　　哈密顿量　　　　　　　薛定谔方程　　　　　　　　基矢　　　　　　　　　简并　

在本文中　我们将通过介绍如何由薛定谔方程的来组成群不可约表示的基矢

从而将适量空间　不可约空间等概念与量子力学中的有关基本问题联系起来

一　　基本定理　　

　如果哈密顿量

∧

H 在群 G 的变换下不变　即群 G 是哈密顿量

∧

H 所属的对称群

则与本征值

i

E 相应的哈密顿算符

∧

H 的本征函数组成群G 的表示的基矢　　

证明　　

如果

)(r

i

m

ψ

是

∧

H 的本征函数　本征值为

i

E 设 GR

∈

和群元G 相应的算符

是 R

P

∧

则

1

−∧∧

∧

R

R

PHP =

∧

H

i

i

mi

i

m

d

m

E

H

,,2,1

,

L

=

=

∧

ψ

ψ

即

i

E 是

i

d 度简并的

i

m

R

i

i

m

R

R

R

PE

PPHP

ψ

ψ

∧

∧−∧∧

∧

=

1

1

)

(

)

(

i

m

R

i

i

m

R

PE

PH

ψ

ψ

∧

∧∧

=

2

2 式表明　如果

i

m

ψ 是

∧

H 的本征函数　则

i

m

R

P ψ

∧

也是

∧

H 的本征函数　且它们

具有相同的本征值

i

E

由于

i

E 是

i

d 度简并的　故

i

m

R

P ψ

∧

可写成这

i

d 个函数的线性组合　即

∑

=

∧

= i

d

n

i

n

nm

i

i

m

R

)R(D

P

1

ψ

ψ

3

---

Page 2

浅谈群论在物理学中的应用　魏震　２００２　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第　２　页　共　２　页　

∑∑

∑

=

=

∧

∧

∧

=

=

λ

λ

λ ψ

ψ

ψ

i

i

d

n

i

n

i

nm

i

d

n

i

n

S

nm

i

i

m

R

S

SD

RD

P

RD

PP

1

1

)(

)(

)(

i

d

n

nm

i

n

i

i

RDSD

λ

λ

λ

ψ

∑ ∑













=

=1

)(

)(

4

由定义知

∑

=

∧

∧

λ

λ

λ ψ

ψ

i

m

i

i

m

R

S

SR

D

PP

)(

5

即

∑

=

=

i

d

n

nm

i

n

i

m

i

)R(D)S(D

)SR(D

1

λ

λ

6

因此

)(

RD

i

可作群G 的表示　而与

i

E 相联系的本征函数组成矢量空间

i

R

i

R 在

G 的作用下不变　如果 i

m

ψ 与 i

n

ψ 正交　则由于正交关系不不因坐标的线性变换而

改　故有

[

][

]

∫

∫

−

−

∗

=

=

τ

ψ

ψ

δτψψ

drR

rR

d

i

n

i

m

mn

i

n

i

m

)

(

)

(

1

*

1

∫

∧

∧

=

τ

ψ

ψ

d

P

P

i

n

R

i

m

R

)

()

(

*

∑∑∫

=

k

l

i

l

*i

k

ln

i

*

km

i

d

)R(D)S(D τψψ

∑∑

=

k

l

kl

ln

i

*

km

i

)R(D)S(D δ

∑

=

l

ln

i

*

lm

i

)R(D)S(D

∑

+

=

l

ln

i

ml

i

)R(D)S(D ,

因此我们得到

1

)(

)(

−

+ = RD

RD

i

i

7

由上面的叙述我们得到了一个很重要的结论　即某个简并能级的本征函数组

成哈密顿量所属的群表示的基矢　通过这个关系　论建立了哈密顿量的对称性与

其本征函数的简并性和变换性质之间的联系　这个定理的重要性在于可以能过群

表示论来描述某个能级的简并性及在群作用下其本征函数的变换性质　虽然并不

能知道本征值的数值　但是可以得到不少有关对称的信息　这对于计算些矩阵元

及确定选择定则都是很有用的

---

Page 3

浅谈群论在物理学中的应用　魏震　２００２　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第　３　页　共　３　页　

二　　正常简并与偶然简并　

　

　如果 R

P

∧

代表所有与

∧

H 对易的算符 GR

∈

设所有 R

P

∧

作用在某一个与

i

E 相

应的本征函数 i

m

ψ 后　可以得到所有的其他简并的本征函数　则这种简并称为正

常简并　例如我们熟知的

1

=

l

的 p 函数是角动量算符的本征函数　其简并度为

3)12(

=+

l

进一步研究　可知　通过坐标转动的操作　可以从任一个 p 函数得

到其它的两个

然而　对于某些情况并不能通过对称变换而得到所有的简并本征函数　例如

氢原子能量算符的本征函数 s2 和 p

2 虽是属于同一个本征值 2

E 的本征函数　但是

却不能用一般的对称操作将 s2 函数变成 p

2 函数　这种简并称为偶然简并　产生

偶然简并的原因比较复杂　往往由于某种隐藏的对称性　不在这里的讨论之例

三　　群 G 的应用　

如果没有偶然简并　根据群G 的不可约表示而变换的本征函数属于相同的能

量　　

　如无偶然简并 GR

∈

∑

=

∧

k

i

k

kl

i

i

l

R

RD

P

ψ

ψ

)(

其中 )(

RD

i

是不可约表示

如设

i

li

i

l

E

H

ψ

ψ =

∧

G 为

∧

H 所属的群　则　　

∧

∧

−

∧∧

= H

PHPR

R

1

　

,

)

(

1

i

l

Rl

i

l

R

R

R

PE

PPHP

ψ

ψ

∧

∧

∧

−

∧∧

=

　

　　　　　　　　　　　　　　　　

,

)(

)

(

∑

=

=

∧

∧

∧

k

i

k

kl

i

l

i

l

Rl

i

l

R

RD

E

PE

PH

ψ

ψ

ψ

　　　　　　　　 8 　

另一方面　　

　　

∑

∑

∧

∧

∧

∧

=

=

'

'

'

'

'

'

)(

)(

)

(

k

i

k

lk

i

k

i

klk

i

i

l

R

H

RD

RD

H

PH

ψ

ψ

ψ

　

　　　　　　　 ∑

=

'

'

'

'

)(

k

i

k

klk

i

ERD ψ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9

---

Page 4

浅谈群论在物理学中的应用　魏震　２００２　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第　４　页　共　４　页　

由以上二式得　　

∑

k

i

k

kl

i

l

RD

E

ψ

)(

∑

=

'

'

'

'

)(

k

i

k

klk

i

ERD ψ

两边乘以 *i

m

ψ 对整个空间积分　利用本征函数的正交性得　　

,

)(

)(

m

ml

i

ml

i

l

ERD

RDE

=

　　　　　　　　　　

.0

)()

(

=

−

ml

i

m

l

RDE

E

　　　　　　　　　　　 10

设本征值有α个不同的值　分别为

α

E

EEⅡ

Ⅰ,,,

L

为了论证简单　设

,

1

2

1

Ⅰ

i

E

E

E

E

=

==

=

L

,

2

1

1

1

2

1

Ⅱ

ii

i

i

E

E

E

E

=

==

=

+

+

+

L

　　　　　

　

　　　　　　　　　　　

,

1

α

α

E

E

E

j

ij

=

==

+−

L

　　

则由

α

E

E

E

Ⅱ

Ⅰ

≠≠

≠

L

以及式(10)可知

)(

RD

i

必然具有如下形式

其中空白处矩阵元

0

)( =

lm

i

RD

,即 )(

RD

i

是可约的　与假设矛盾　由此得到　　　　　　　　　　　　　

,

2

1

i

j

E

E

E

E

≡

==

=

L

　　　 　

　　 11

即所有依群G 的不可约表示变换的基矢属于相同的能量

四　　进一步的应用　

结合矩阵元的运算　我们能将这一定理运用于简并态的微扰理论　另外　轴

转动群和完全转动群在分子轨道和分子振动理论中都有广泛的运用　具体说明请

见参考文献

参考文献　

　

［１］　陆果　基础物理学　高等教育出版社　２０００　

［２］　谢希德等　群论及其在物理中的应用　北京　科学出版社　１９８６　

























=

O

M

{

{

{

)(

2

1

行

行

行

n

i

i

i

i

RD

}列

1

i

876

列

2

i

876

列

n

i