波的弥散或称这种波具有后效现象. 这是二维波与三维波的质的差别.

波的弥散或称这种波具有后效现象. 这是二维波与三维波的质的差别.

http://jpkc.ccnu.edu.cn/gjj/2010/pwffc/upload/wlkt/dzja/4.3.pdf

　

§ 3 高维波动方程

【知识点提示】

三维波动方程的

Poisson公式，降维法，依赖区域、决定区域和影响区域，波的传播速度，Poisson公式的物理意义。

【重、难点提示】

如何利用球面平均法求解三维波动方程，利用降维法求解二维波动方程以及理解依赖区域、决定区域和影响区域，如何利用

Poisson公式解释物理现象。

【教学目的】

掌握球面平均法求解三维波动方程和降维法求解二维波动方程的基本方法，理解依赖区域、决定区域和影响区域，了解波的传播速度和

Poisson公式的物理意义。

【教学内容】

第三节 高维波动方程

次波动方程的
Cauchy问题

动方程与降维法

区域、决定区域和影响区域

传播速度


sson
公式的物理意义

次波动方程的
Cauchy问题

　

3.1.

三维齐次波动方程的Cauchy问题

考察三维齐次波动方程的

Cauchy问题

(3.1)

200()0()()ttxxyyzztttuauuuxyztuxyzuxyzxyz

其中

和为已知函数.

对于这一类问题的求解

, 通常采用球面平均法. 为此不妨回忆一下一维的情形，先改写 一维波动方程的D’Alembert公式为如下形式

()(())()22

xatxatxatxatttuxtddtatat (3.2)

我们把表达式

1()2xatxatdat称为函数()在区间[xatxat上的平均值, 其大小

与区间的中点

x(vx,区间的半径和函数att ()tu 32xsin2()1()2tat )]t2(0)xxuau()xt2(0)0xxuau12()uxt  2( ii3 x121si2dr有关, 也就是说这个平均值是变量x、t和的函数, 记作, 于是t1 23()xC

如果令

, 则就是Cauchy问题

0()(0)0

tttuxxux

的解

; 如果令, 则ux就是Cauchy问题2tv

0(0)()

tttuxuxx，

的解

. 于是D’Alembert公式就是这两个定解问题的叠加



下面就按这种思想

, 构造Cauchy问题(3.1)的解. 我们称此种方法为球面平均法.

为了以后书写的方便

, 我们改写空间坐标()xyz为123(xxx. 设函数,现在考虑312(xxR 在球面

22211233

())()rCxxx

上的平均值

. 如果(12是球面上的任一点, 我们采用球坐标系, 于是有

123

ixri

其中

i是向量1123(x的方向余弦, 可以把它表为

3

cossinsincos

其中

00

我们把半径为

1的球面上的面积单元记作1d, 把半径为的球面上的面积单元记作rrd, 于是

n

dd 

sin

rdd

这样

, 函数3()x沿球面的平均值, 即函数123(rCxxx 沿此球面的积分除以球面的面积, 亦称作函数的球面平均, 它的大小除了依赖于函数在球面上的取值外，还依赖于球心123()xxx12vxx和半径的选择. 也就是说r的球面平均是变元123(xxxr)及的函数, 记为, 于是r

2123112233200

1()()4rvxxxrxrxrxrdr  (3.3)

或

2123112233100

1()()4vxxxrxrxrxrd  (3.4)

在今后的讨论中，在不至于混淆的情况下，为了简便起见，我们将用代替

123()vxxxr123()vxxxr

为了用球面平均构造

Cauchy问题(3.1)的解, 我们先证明以下几个引理.

引理

4.2 对于任意给定的函数, 则由(3.3)或(3.4) 确定的函数满足偏微分方程2Cv

22

20vvvrrr (3.5)

及初始条件

01230

()rvvxxxr  (3.6)

其中

222212 xxx是Laplace算子.

证由于沿单位球面的积分可以在积分号下对

ix求导, 故由(3.3)有

21122332002

1()41.4rrrCvxrxrxrdr  (3.7)

再由复合函数的求导法则

, 得

332120011

1144rkkCkkkkvddrxrx  

应用奥

-高公式, 得

2

14rDvdrr (3.8)

其中是由所围成的区域

, 即它是以rDrC123(xxx为心为半径的球体, 是球内的体rd

积单元

. 由于

22000

sinrrDdd 

所以

2200

sinrrrDCdrddr 

从而由

(3.8)及上式有

2232

1124rrrDCvdrrr  (3.9)

由

(3.7), (3.8)和(3.9)便知函数满足方程(3.4). v

下面验证由

(3.3)或(3.4)确定的满足初始条件(3.6). 由(3.3)知v

2011223310100

1()4rrvxrxrxrdxxx

又由

(3.8), 利用积分中值定理知

32123123

141()()433vrrrr

其中

123()rD是内的某点. 当时, 点0r123( 趋于球心123(xxx. 所以

00

vrr当

引理

4.2 得证.

引理

4.3 设是由(3.3)确定的函数, 则

123123

()(uxxxttvxxxat (3.10)

是定解问题

()

i2001200(tttttuauuuxx

的解

.

证直接计算

, 得

123

()utvxxxat

123123

()()truvxxxatatvxxxat

2123123

2()()ttrrruavxxxatatvxxxat

其中是导数当

123()rvxxxat123(rvxxxr)rat时的值, 其余意义同此.直接验算可知

22

20ttrrruauatvvvat

这正好是方程

(3.5)当时的特殊情形. 关于满足定解条件, 可由表达式(3.10)和(3.6)直rat

接推出

. 引理证毕.

引理

4.4 若函数是定解问题()的解, 则函数123(uxxxt i

123123

()(uxxxtuxxxtt  (3.11)

是定解问题

()

ii2012300()0ttttuauuxxxu，

的解

.

证这个引理是§

1定理 4.1 的推论.

现在我们利用叠加原理

, 将Cauhy问题(3.1)写成定解问题

()

iii2000()ttttuauuxyzu，

与

()

iv20000(tttttuauuuxy，

的叠加

. 设和分别是定解问题和的解, 则函数就是Cauchy问题(3.1)的解. 1()uxyzt2(uxyzt()iii()iv12uuu

由引理

4.3 知,只要取就可得到定解问题的解()iv

22123002()

()()sin414atSMtuxyztxatyatzatdddSat

其中表示以点

()atSM(Mxyz为球心, 为半径的球面, 为此球面的面积单元. atdS

由引理

4.4 知, 只要取就可得到定解问题的解()iii

12()

1()(4atSMuxyztdStat 

从而我们就求得

Cauchy问题(3.1)的解为

22()()

11()()44atatSMSMuxyztdSdStatat (3.12)

公式

(3.12)通常称为Poisson公式.

由以上讨论

, 即可得到如下定理:

定理

4.9 若函数3()()xyzCxyzC, 则由Poisson公式(3.12)确定的函数就是Cauchy问题(3.1)的解. (uxyzt

证明留给读者自己完成

.

3.2.

二维波动方程与降维法

对于二维波动方程的

Cauchy问题

(3.13)

20000()()tttttuauxytuxyuxyxy

这里算子

222xy. 我们从公式(3.12)出发, 利用所谓降维法来求解Cauchy问题(3.13). 为此我们把问题(3.13)看成是三维的特殊情形, 虽然初始数据与自变量无关, 仍把它视为三维空间的函数. 这样, 就可利用前面讨论的三维波动方程Cauchy问题的结果来求解二维波动方程的Cauchy问题. z

由

Poisson公式(3.12)便可写出Cauchy问题

200

()()()ttxxyyzztttuauuuuxyux

的解为

22()()

11()()44atatSMSMuxyztdSdStatat  (3.14)

这里的积分都是在三维空间中的球面上进行

. 现在我们将(3.14)中的两个曲面积分化为它在平面222()()()()atSMxyzatz 22t上的投影 22()()()atMxy 上的积分(如图4-14).

图

4-14

由于曲面的方程为

()atSM

222

()()() xyza

其上半球面的方程为

2222

()()zatxy

从而

22222222

()()()()xatxyyatxy

由于函数

和函数(yz都与)无关, 因此(3.14)中的两个曲面积分在上半球面与下半球面的积分相等, 于是ux就可写成

222()222()2222()2222()200

2()()142()142()4()()2()4()()1(c2atatatatMMMMatuxytddtatddatddtaatxyddaatxyxat222222200ossin)1(cossin)2atyddatxyddaat， (3.15)

在上面的第二个等式中，我们利用了极坐标变换

.公式(3.15)确实是与变元无关的函数, 从 而它就是Cauchy问题(3.13)的解, 亦称它为二维波动方程的Poisson公式. z

对一维波动方程的

Cauchy问题, 同样可用降维法写出它的求解公式, 这里我们留作习题, 让读者自己去完成.

注 降维法不仅适用于波动方程

, 也适用于某些其它类型的方程. 在许多情况下, 这一方法使我们从多个自变量方程的求解公式中, 推导出自变量个数较少的方程的求解公式.

3.3.

依赖区域、决定区域和影响区域

这个问题的讨论与波动方程的特征曲面有关

.

1.

二维的情形

若在空间

xyt内任取一点000(xyt0, 这时它的依赖区域可由Poisson公式(3.15)给出, 解在这点的值可由初始平面t上以点00(xy为中心、为半径的圆内的初始数据0at

()(

xyxy000(xyt0t 的积分所表达, 它不依赖于此圆外)y) a0))) 和2a (a2( t t的值. 因此, 我们称平面上的圆域(不是圆周) 0t 0()yt

200

()(xxyt(3.16)

为点的依赖区域

, 它是三维空间中的实心锥(我们也称它为二维波动方程的特征锥)

222000

()( xxyytt

与平面的截口

, (如图4-15).

图

4-15

反之

, 初始平面上区域(3.16)中的初始数据0t与惟一地决定了以00x为顶点，以该区域为底的圆锥体区域(如图4-15)

222000

()())xxyytt(3.17)

上的解

. 因此, 圆锥体区域(3.17)就称为平面0t上区域(3.16)的决定区域.

下面我们讨论初始平面上一点

0t00(xy00(0xy的影响区域, 也就是说要找出这样的点(xyt的全体, 它的依赖区域包含点. 容易看出, 点00(xy 的影响区域为以该点为顶点的向上的实心特征锥(如图4-16):

(3.18)

222200()(xxyyat

图

4-16

初始平面上某一个区域的影响区域

, 就是此区域上每一点所对应的圆锥体(3.18)的包络面所围成的区域.

2.

三维的情形

对空间

xyztt 内的一点0000(xyzt0)t, 它的依赖区域可根据Poisson公式(3.12)确定, 在此点解的值ux, 由超平面000(yzt00上初始数据和在以点000()xyz为心、为半径的球面上的数值所完全确定, 而和0at, 在此球面外及球面内的数值无关. 因此, 我们称超平面上的球面

222000

()()() xxyyzza (3.19)

为点

0000(xyzt的依赖区域. 球面(3.19)实际上是四维空间的锥面(我们也称它为三维波动方程的特征锥面

2222000

()()()( xxyyzzatt

与平面的截口

. 0t

反之

, 初始平面上球面(3.19)内部区域的决定区域就是以它为底、以0t0000()xyzt为顶点的圆锥体区域:

222220000

()()()() xxyyzzattt (3.20)

对于初始超平面上的一点

0t000(xyz, 它的影响区域为以该点为顶点的向上的特征锥面：

(3.21)

22222000()()()xxyyzzatt

至于初始超平面上某一区域的影响区域

, 它可由该区域上过每一点所作锥面(3.21)的包0t

络所围成

.

3.4

波的传播速度

由影响区域的讨论知，无论是对二维还是三维的情形，对时刻

0t时，点处的一个初始扰动，在经过时间以后，不会对与点的距离大于的点产生影响. 也就是说，扰动以速度传播. 扰动具有有限传播速度是波动方程解的最基本的特征. PtPata

3.5 Poisson

公式的物理意义

在讨论依赖区域和影响区域时

, 我们已经看到二维和三维的情形有着很大的不同, 这在描述波动传播的规律时区别更明显.

1.

三维空间波传播的物理性质

从

3.3的讨论中我们知道, 初始扰动对波的影响是由Poisson公式(3.12)给出的. 往下我们就从Poisson公式(3.12)出发, 讨论三维波传播的物理性质. 为简单起见, 我们只研究局部扰动的传播, 即假定初始函数(Md 和M0仅在某个有界区域上不为零(不妨设00), 在以外等于零.今在空间任取一点(atS( xyzdD, 考察每个时刻M(uMt 点所受到的初始扰动的影响情况. 由Poisson公式(3.12), 我们知道函数uM(t)在点M处及时刻t的值完全由初始数据M和)在已知球面上的值所确定, 因此, 函数)atS的值只有当球面与区域相交时才不为零. 令和分别为从点MM到区域的最近点和最远点之间的距离(当时, 取)(如图4-17).

图

4-17

于是

(i)

当(即atddat)时, 公式(3.12)中的积分球面与初始扰动区域有一段()atSM

距离

, 球面上的()atSMdat0atD()P()0xy)xy0 dDat, 从而()uMt (atSM()atSM00)yzt2200)(yz P()0xy10d, 这说明扰动还未到达.

(ii)

当(即D )时, 积分球面与初始扰动区域相交, 这时, 这说明初始扰动在时刻)M()uMtdat瞬时到达点, M点开始进入受扰动状态, 扰动来时有清晰的波前.

(iii)

当(即Dat)时, 积分球面已越过了初始扰动区域, 波函数的值从时刻(uMt Dat开始又回到了零. 这时所有的扰动都已掠过了点M, M点又恢复到原先的状态. 这表明波去时有清晰的波后, 没有留下任何后效.

由此可见

, 在区域内任一点00(Px处在初始时刻0t0P时的一瞬时扰动, 随着时间的增加将以速度向四周扩散, 经过时间后, 它传播到以为中心为半径的球面aat

20

()() xxyza

上

, 这表明对于与点的空间距离为的一切点, 只有当0Prrat时, 这些点才落在扰动球面上.过后又恢复到未受扰动前的状态. 由此可见, 在t时刻处于扰动状态的区域是由无数个球面所组成, 这些球面就是以0()rSP中每一点为中心为半径的球面族. 这种球面族有内外两个包络面, 此包络面就是处于扰动状态区域的界面. 我们称外包络面为传播波的前阵面, 内包络面为传播波的后阵面. 前阵面与后阵面的中间部分就是受到初始扰动影响的部分. 前阵面以外的部分表示波还未传到的区域, 后阵面以内的部分是波已传过并恢复了原来状态的区域. 因此当初始扰动限制在空间某一局部范围内时, 波的传播有清晰的前阵面和后阵面, 这个现象称为惠更斯(Huygens)原理或无后效现象. 声波的传播就是这样, 它对信号的传送与接收具有重要意义. at()atSPatS

2.

二维空间波传播的物理性质

在二维的情形

, 我们仍只研究局部扰动的传播, 即仍假设在平面上某个有界区域内, Oxy)0 ()xy(1d, 在MM以外(xy. 今在平面上任取一点Oxy( MM, 为了考察在t时刻点所受到的初始扰动的影响情况, 设xy与初始扰动区域最近点的距离是(当时, 取) (如图4-18).

图

4-18

于是

(i)

当(即1atd1dat)时, Poisson公式(3.15)中的积分区域()atM()uMt 与初始扰动区域没有公共部分, 圆()atM上的()0()xyxy , 从而, 这说明初始扰动还未到达点M.

(ii)

当(即1atd)1dat)时, 积分区域()atM0t 与初始扰动区域有公共部分, 或者(atM包含着整个, 这时()uMt, 这表明一旦扰动传播到点M, 激起了M点的振动之后, 此扰动在以后并不消失, 仅仅是随的无限增大而逐渐减小, 留下的是逐渐趋于零的长久后效. 因此在二维的情形, 局部范围中的初始扰动, 具有长期持续的后效特性, 波的传播有清晰的前阵面, 但没有后阵面. 这时Huygens原理不成立. 我们称这种现象为波的弥散或称这种波具有后效现象. 这是二维波与三维波的质的差别.

如果我们把二维波动问题

, 视为所给初始扰动是在一个无限长的柱体内发生, 而不依赖于第三个坐标的三维波动问题. 这样, 产生后效的原因和过程就不难想象了. z

3.6.

非齐次波动方程的Cauchy问题

考虑如下非齐次三维波动方程的

Cauchy问题

200

()()()tttttuaufxyztxyztuxyzuxyzxyz  (3.22)

利用叠加原理

, 可以把这个定解问题的求解, 分成如下两个定解问题的求解：

()

A2000()()tttttuauuxyzuxyz

和

()

B200()00.tttttuaufxyztuu

即如果函数和分别是定解问题

1u2u()A和()B的解, 则1uuu 就是定解问题(3.22)的解.

关于问题

(, 我们在前面已经讨论过了, 下面只就问题()A)B进行讨论.由§1的引理4.1, 我们有如下齐次化原理.

定理

4.10 (齐次化原理) 若(wxyzt 是定解问题

()

C200()tttttwawtwwfxyz

的解

, 则函数

0

()()tuxyztwxyztd (3.23)

就是定解问题

()B的解. 因此只要定解问题(可解, 则由(3.23)给出的函数, 就是定解问题()Cu)B的解.

为了写出定解问题

(的求解公式, 我们对问题(作变换)C)Ct , 这样就可利用Poisson公式(3.12), 得到

()

()()()1()()()41()()4atatratSMratSMfwxyztdSarfdSar (3.24)

将

(3.24)代入(3.23)得

()

()0()20()2()1()()()4()1(4()1,4atrattratSMrataSMraKMfuxyztdSdarftrdSdrtarftdar  (3.25)

其中表示一点

()atKMrat(Mxyz为球心，为半径的球体,atMad(uMt ra表示体积元素. 我们称(3.25)为Kirchhoff公式. 于是在时刻t位于点处的函数的数值, 可由函数f在时刻在此球的三重积分表示, 这里u的时间比f(推迟了, 所以我们称(3.25)的积分为推迟式. 而且这个时间差正好是波以速度从点)传播到点(xyz所需要的时

间

.

关于二维的情况

, 可作类似的讨论.

注 象

§2中处理半直线上一维波动方程的初边值问题那样，我们也可以考虑半平面上二维波动方程的初边值问题和半空间中三维波动方程的初边值问题，即下列初边值问题：

(3.26)

20000()00()()0000ttxxyytttyyyuauuxytuxyuxyxyuuxt或

(3.27)
20000()00()()0000ttxxyyzztttzzzuauuuxyztuxyzuxyzxyzuuxyt或