纵波,无旋波, 弹性体的质点运动方向平行弹性波的传播方向; 横波:等容波,弹性体的质点运动方向垂直于弹性波的传播方向

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第十一章 弹性波

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概述
§1-1 弹性体的运动微分方程
§11-2 无旋波与等容波
§11-3 横波与纵波
§11-4 球面波

第十一章 弹性波

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弹性波

概述
当静力平衡状态下的弹性体受到荷载作用时，并不是在弹性体的所有各部分都立即引起位移、形变和应力。在作用开始时，距荷载作用处较远的部分仍保持不受干扰。在作用开始后，荷载所引起的位移、形变和应力，就以波动的形式用有限大的速度向别处传播。这种波动就称为弹性波。
本章将首先给出描述弹性体运动的基本微分方程，然后介绍弹性波的几个概念，针对不同的弹性波，对运动微分方程进行简化，最后给出波在无限大弹性体中传播速度公式。

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§11-1 弹性体的运动微分方程

弹性波

上述两条假设，完全等同于讨论静力问题的基本假设。因此，在静力问题中给出的物理方程和几何方程，以及把应力分量用位移分量表示的弹性方程，仍然适用于讨论动力问题的任一瞬时，所不同的仅仅在于，静力问题中的平衡微分方程必须用运动微分方程来代替。
本章仍然采用如下假设：
（1） 弹性体为理想弹性体。
（2） 假定位移和形变都是微小的。

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弹性波

对于任取的微元体，运用达朗伯尔原理，除了考虑应力和体力以外，还须考虑弹性体由于具有加速度而产生的惯性力。每单位体积上的惯性力在空间直角坐标系的x,y,z方向的分量分别为:
其中ρ为弹性体的密度。

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弹性波

由平衡关系，并简化后得：
上式称为弹性体的运动微分方程。它同几何方程和物理方程一起构成弹性力学动力问题的基本方程。

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弹性波

注1：几何方程

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弹性波

注2：物理方程

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弹性波

由于位移分量很难用应力及其导数来表示，所以弹性力学动力问题通常要按位移求解。将应力分量用位移分量表示的弹性方程代入运动微分方程，并令：
得：

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弹性波

这就是按位移求解动力问题的基本微分方程，也称为拉密（Lame)方程。
要求解拉密方程，显然需要边界条件。除此之外，由于位移分量还是时间变量的函数，因此求解动力问题还要给出初始条件。



为求解上的简便，通常不计体力，此时弹性体的运动微分方程简化为：

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弹性波

§11-2 无旋波与等容波
一、无旋波
所谓无旋波是指在弹性体中，波动所产生的变形不存在旋转，即弹性体在任一点对三个垂直坐标轴的旋转量皆为零。
假定弹性体的位移u,v,w可以表示成为：
其中 是位移的势函数。这种位移称为无旋位移。而相应于这种位移状态的弹性波就称无旋波。

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弹性波

[证]：在弹性体的任一点处，该点对z 轴的旋转量
即弹性体的任一点对三个坐标的旋转量都等于零。
将 代入，可得：
同理
[得证]

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弹性波

在无旋位移状态下
从而
同理
将上三式代入不计体力的运动微分方程，并简化后得无旋波的波动方程

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弹性波

其中
就是无旋波在无限大弹性体中的传播速度

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所谓等容波是指在弹性体内，波动所产生的变形中体积应变为零 。即弹性体中任一部分的容积（即体积）保持不变。
二、等容波
弹性波
假定弹性体的位移u,v,w满足体积应变为零的条件，即：
这种位移称为等容位移。而相应于这种位移状态的弹性 波就是等容波。

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由于 ，故不计体力的运动微分方程，简化后得等容波的波动方程：
其中
就是等容波在无限大弹性体中的传播速度。
弹性波

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对于无旋波和等容波，我们不加证明地给出如下结论：在弹性体中，形变、应力以及质点速度，都将和位移以相同的方式与速度进行传播。
弹性波

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§11-3 纵波与横波
一、纵波
[定义] 弹性体的质点运动方向平行弹性波的传播方向（图示）
纵波的传播形式
弹性波

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将x轴取为波的传播方向，则弹性体内任取一点的位移分量都有：
从而
而
弹性波

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代入不计体力的运动微分方程，可见其第二、第三式成为恒等式，而第一式简化为：
其中
为纵波在弹性体中的传播速度。
显然纵波的传播速度与无旋波相同。事实上，纵波就是一种无旋波。
弹性波

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纵波波动方程的通解是：
该通解的物理意义：以其第一项为例，函数 在某一个固定时刻将是x的函数，可以用图(a)中的曲线abc表示（假设是这种形状），在 时间之后，函数变为：
如果令 ，则函数可写为 ，其形式同原函数 完全类同，只是横坐标发生平移
见图。因此 表示以速度 向x轴正向传播的波。
弹性波

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同理 ，表示以同样速度 向x轴负向传播的波。整个通解表示朝相反两个方向传播的两个波（如图b），其传播速度为波动方程的系数 。

c

a

b

x

(a)

(b)

弹性波

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二、横波
[定义] 弹性体的质点运动方向垂直于弹性波的传播方向。
横波的传播形式
弹性波

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仍然将x轴放在波的传播方向，y轴为质点位移方向，则弹性体内任取一点的位移分量都有
从而
而
代入不计体力的运动微分方程，可见其第一、第三式成为恒等式，第二式简化为：
为横波在弹性体中的传播速度。由于横波的体积应变
弹性波

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横波的波动方程的通解为：
，故横波为等容波。
显然，整个通解表示朝相反两个方向传播的两个波，它的位移沿着y方向，而传播方向是沿着x方向，传播速度等于常量 。
弹性波

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§11-4 球面波
如果弹性体具有圆球形的孔洞或具有圆球形的外表面，则在圆球形孔洞或圆球形外表面上受到球对称的动力作用时，由孔洞向外传播或由外表面向内传播的弹性波，称为球面波。
球面波是球对称的。利用球对称的基本微分方程：
此时， ，而不计体力时，用径向惯性力
代替 ，
弹性波

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则上式简写成
即得：
令：
假定
则 是位移的势函数。代入（a）式得
（a）
弹性波

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所以（b）式可写成
由于
（b）
弹性波

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它的通解是：
对r积分一次，得：
由于令F(t)=0，并不会影响位移 ，因此上式可简写成为：
显然，球面波的传播速度等于 (球面波是无旋波）。 表示由内向外传播的球面波， 表示由外向内传播的球面波。
弹性波

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弹性波

习题11.1 什么是弹性波？研究弹性波有何意义？
答：（略）
习题11.2 已知钢的弹性模量E=210GPa，密度=7950kg/m³,混凝土的弹性模量E=30GPa， 密度=2400kg/m³ ,问在此两种材料杆中纵波的传播速度。
解： 由纵波在一维直杆中的传播速度公式
得

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结 束
弹性波