三维欧氏空间中的连成一体的（连通的），封闭的（没有端点的），没有粘连的（自己与
自己不交的）一条曲线就称为一个扭结。数学上将其定义为把单位圆周到三维欧氏空间中的
一个嵌入称为一个扭结。把单位圆周嵌入到平面上，得到的扭结是一个（拓扑）圆盘的边界，
这样的扭结称为平凡扭结
1
/ 27
参赛队员：
U 樊润竹 李想
学校：
U 华南师范大学附属中学
省份：
U 广东省 U
指导教师：
U 罗碎海
论文题目：
U莫比乌斯带分割的结构与拓扑性质
2
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目录
摘要
3
1
引言 5
2
．莫比乌斯带分割的结构 6
2.1
莫比乌斯带1/ n 分割与n 等分分割的情形 7
2.2
Paradromic 环1/ n 分割与n 等分分割的情形 9
3
．Paradromic 环分割的结构与拓扑性质 13
3.1
Paradromic 环分割的结构 13
3.2
Paradromic 环分割的拓扑性质 17
4 总结
23
参考文献
24
附录
25
3
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莫比乌斯带分割的结构与拓扑性质
摘要：莫比乌斯带（Möius Strip）是最具代表性的单侧曲面之一，它不但有许多神奇的拓
扑结构和性质，而且在多个学科都有着十分广泛的应用。虽然大多数人在小学就知道莫比乌
斯带的剪开（分割）会产生无数有趣的令人意想不到的带环，但是究竟这些带环之间的结构
如何以及计数有什么规律仍然是一个未知而且极具吸引力的话题。本文对此进行了较为系统
深入的研究，主要探讨对莫比乌斯带进行不同方式分割后得到的各种结构和拓扑性质。通过
分割实验和Matlab软件绘图等方法，得出莫比乌斯带经过分割后形成的结构的规律，再经过
分析推理证明了所得结构，并利用纽结理论确定了它的拓扑性质。主要结论如下：
（
1）莫比乌斯带是通过一个矩形纸带扭转半圈再把两端粘上之后得到的一个带环。设
纸带的长度为
l，宽度为w，扭转度数为π (π =1800 )。考虑两种分割方式，一种为1/ n分
割（即从距带边
1/ n 宽度处沿长边切割，直至回到原处），另一种为n 等分分割（即从宽边
的
n 等分线沿长边切割）。莫比乌斯带分割后得到的带环的结构见下表。
分割方式个数 链接关系 长度 宽度扭转度数 单双侧
1/
n
分割
n
= 2 1 2l w/ 2 4π 双侧
n
≠ 2 1 链接2l w/ n 4π 双侧
1
l w(n − 2) / n π 单侧
n
等分
分割
n
= 2k k 链接 2l w/ n 4π 双侧
n
= 2k +1 1 链接l w/ n π 单侧
k
2l w / n 4π 双侧
例如，长度为
l 、宽度为w 、扭转度数为π 的莫比乌斯带1/3分割后得到2个链接的带环，
其中一个是长度为
2l 、宽度为w/ 3、扭转度数为4π 的双侧曲面，另一个是长度为l、宽
度为
w/ 3、扭转度数为π 的单侧曲面。
把一个矩形纸带扭转
m（m ≥1是任意正整数）个半圈再把两端粘上之后得到的一个带
环称为
Paradromic环。对Paradromic环分割也得到了相应的包括链接关系、长度、宽度、扭
转度数和单双侧等性质的结论，推广了莫比乌斯带分割的结果。
（
2）利用纽结理论继续探讨Paradromic环1/ 2分割得到的带环（记为m,2 P ）的拓扑结构
和其它拓扑性质。首先证明了
m,2 P 等价于(m,2) −环面链环m,2 T 。然后确定了m,2 P 的环绕数、
交叉数和解结数。最后研究了
m,2 P 的着色，得到了m,2 P 是p （ p 是素数）可着色的充分必
要条件，通过求解模
p 的线性方程组给出了m,2 P 的一个p 可着色方案，还探讨了它的最小
着色数。
关键词: 莫比乌斯带；
Paradromic 环；分割；结构；环面链环；拓扑性质
4
/ 27
The Structure and Topological Properties of Möbius Strip Dissection
Abstract:
The Möbius strip is a well-known surface with only one side and only one
boundary. It has many curious properties, and has several technical applications in other
disciplines such as physics and chemistry. In this paper, the structure and topological properties of
Möbius strip dissection are studied.
(1) A model of Möbius strip can be created by taking a paper strip and giving it a half-twist,
and then joining the ends of the strip together to form a loop. Cutting a Möbius strip differently
yields different strips including different length, width and half-twists. The structures of these
strips are given respectively after
1/ n cutting and n equally cutting of a Möbius strip.
Moreover, the results are generalized to the dissection of Paradromic rings with extra twists.
(2) Denote the result of bisecting a Paradromic ring with
m half-twists by m,2 P . The
topological structures and properties are investigated using knot theory. Firstly, it is proved that
m
,2 P is equivalent to (m,2) −torus link m,2 T . Secondly, the linking number, crossing number
and unknotting number of
m,2 P are determined. Finally, the coloring of m,2 P is discussed, the
sufficient and necessary condition, the coloring scheme, and the minimum number of colors for
p
coloring are given respectively.
Keywords
: Möbius strip；Paradromic ring；dissection；structure；torus link；topological
properties
5
/ 27
1
．引言
莫比乌斯带（
Möbius strip或者Möbius band），又译默比斯环或麦比乌斯带，是一种H拓扑H
结构，它只有一个面（表面），和一个边界。它是由
H德国H数学家H、H天文学家H莫比乌斯H （August
Ferdinand Möbius
）和H约翰·李斯丁H（Johhan Benedict Listing）在H1858 年H独立发现。这个结
构可以用一个纸带扭转半圈再把两端粘上之后制作出来，如图
1 所示。
图
1 莫比乌斯带的形成
莫比乌斯带（Möius Band）是最具代表性的单侧曲面之一，它不但有许多神奇的拓扑
结构和性质，而且在多个学科都有着十分广泛的应用
[1-4]。
莫比乌斯带有多种定义方式
[2,5,6]，也可以用参数方程表示，其中最常见的一个表达式为：
( cos( / 2)) cos
( cos( / 2))sin
sin( / 2)
x r s t t
y r s t t
z s t
= + ⎧⎪= + ⎨⎪⎩=
其中
s∈(−w/ 2,w/ 2), t∈[0,2π )。相当于质点P在平面z = 0上绕着原点作角速度为ω 的
圆周运动（半径为
r ），同时，长为w 的线段又在z 轴和P 决定的平面上绕着P 作角速度为
ω
/ 2的圆周运动（P是线段的中点），则线段的运动轨迹产生一个莫比乌斯带，带的宽度
为
w ，其中心圆的半径为r ，圆心为原点(0,0,0) 。
使用
MATLAB 软件绘图如下（程序代码见附录1。也可动画显示莫比乌斯带的形成过
程，对应于上面运动轨迹的定义，程序代码见附录
2）。
(a)
自然的彩色显示 (b)灰度显示
图
2 MATLAB 绘制的莫比乌斯带
6
/ 27
莫比乌斯带本身具有很多奇妙的性质。如果从中间剪开一个莫比乌斯带，不会得到两个
窄的带子，而是会形成一个把纸带的端头扭转了两次再结合的环（并不是莫比乌斯带），再
把刚刚做出的那个纸带从中间剪开，则变成两个环。如果把莫比乌斯带的宽度分为三分，并
沿着分割线剪开的话，会得到两个环，一个是窄一些的莫比乌斯带，另一个则是一个扭转了
两次再结合的环。继续分割会变得越来越复杂，也越来越有趣。
虽然大多数人在小学就知道莫比乌斯带的剪开（分割）会产生无数有趣的令人意想不到
的带环，但是究竟这些带环之间的结构如何以及计数有什么规律仍然是一个未知并且极具吸
引力的话题。本文希望对此进行较为系统深入的研究，主要探讨对莫比乌斯带进行不同方式
分割后得到的各种结构和拓扑性质，通过实验（绘制其参数方程对应的曲面）得出莫比乌斯
带经过分割后形成的规律，再经过分析推理证明了所得结构与拓扑性质等结论。
在第2节首先给出了莫比乌斯带
1/ n 分割和n 等分分割的结构，这包括分割后新带环的
链接关系、长度、宽度、扭转度数、单双侧等性质，然后在此基础上对
Paradromic环分割也
得到了推广的结果。在第3节继续探讨
Paradromic环1/ 2分割得到的带环（记为m,2 P ）的结
构和其它拓扑性质。首先证明了
m,2 P 等价于(m,2) −环面链环m,2 T ，然后利用纽结理论和知
识确定了
m,2 P 的环绕数、交叉数和解结数，最后研究了m,2 P 的着色，得到了m,2 P 是p（ p 是
素数）可着色的充分必要条件，通过求解模
p 的线性方程组给出了m,2 P 的一个p 可着色方
案，还探讨了它的最小着色数。
2
．莫比乌斯带分割的结构
在这一节首先给出莫比乌斯带
1/ n 分割和n 等分分割的结构，这包括分割后新带环的链
接关系、长度、宽度、扭转度数、单双侧等性质，然后在此基础上对
Paradromic 环分割也
得到了推广的结果。
首先给出有关定义，并对概念进行说明和解释。
莫比乌斯带是通过一个矩形纸带扭转半圈再把两端粘上之后得到的一个环带，设纸带的
长度为
l，宽度为w，扭转度数为π (π =1800 )。
考虑两种分割方式，一种是
1/ n 分割（即从距带边1/ n 宽度处沿长边切割，直至回到
原处），另一种是
n 等分分割（即从宽边的n 等分线沿长边切割）。
链接关系表示两个或者多个带环之间彼此独立分开还是相互环绕连结的关系，准确的描
述在第
3 节通过链环的环绕数给出。对于纸带以及纸带扭转形成的莫比乌斯带的长度和宽度
与通常理解一致，而参数方程定义的莫比乌斯带模型的长度和宽度一般分别指其中心圆的周
长和参数
s取值区间的长度。扭转度数为mπ （m是正整数，π =1800），也可称为扭转半
圈数为
m 。
在光滑曲面上任意取一点，在该点垂直于曲面（曲面的切平面）的法线有两个可能的方
向，选定其中一个方向，当该点在曲面上连续变动时相应的法向量也随之连续移动。如果该
点在曲面上沿任一“封闭曲线”连续地移动一周后（不跨越曲面的边界）回到原来的位置时，
相应的法向量的方向与原方向相同，就称该曲面是一个双侧曲面；如果相应的法向量的方向
与原方向相反，就称该曲面是一个单侧曲面。莫比乌斯带是单侧曲面
[5,6]，参考图1和图2。
7
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2.1
莫比乌斯带
1/ n 分割与n 等分分割的情形
定理
1给出莫比乌斯带1/ n 分割与n 等分分割后得到的新带环的结构，见表1。例如，长
度为
l 、宽度为w 、扭转度数为π 的莫比乌斯带1/3分割后得到2个链接的带环，其中一个是
长度为
2l 、宽度为w / 3、扭转度数为4π 的双侧曲面，另一个是长度为l、宽度为w / 3、
扭转度数为
π 的单侧曲面。
定理1 莫比乌斯带分割的结论如表
1所示。
表
1 莫比乌斯带1/ n 分割和n 等分分割后带环的结构
分割方式个数 链接关系 长度 宽度扭转度数 单双侧
1/
n
分割
n
= 2 1 2l w/ 2 4π 双侧
n
≠ 2 1 链接2l w/ n 4π 双侧
1
l w(n −2) / n π 单侧
n
等
分分
割
n
= 2k k 链接 2l w/ n 4π 双侧
n
= 2k +1 1 链接l w/ n π 单侧
k
2l w / n 4π 双侧
证明（
1）考虑1/ n 分割（即从距带边1/ n 宽度处沿长边切割，直至回到原处）。
当
n = 2时，分割线即在平面z = 0中心园。这时得到一个长度为2l 、宽度为w/ 2、扭
转度数为
4π 的双侧曲面，见图3。
图
3 莫比乌斯带的1/2 分割
图 4 给出了扭转度数为
4π 的计算。图4 (a)是莫比乌斯带平铺在平面的示意图，它在J
处粘结，在
C处扭转π 。1/ 2分割如图4(b)，原扭转C分割成A, B两部分，并相应在C '处
形成一个交叉。可知该
1/ 2分割后的带环共有4π 个扭转度数，其中A, B处各1 个π ，C '处
有
2 个π 。实际上，图4(b)包含C '的内部部分拉开即形成2 个π 的扭转，详见图4(c)。
(a)
平铺在平面的示意图 (b) 1/2 分割 (c)另外两个π 的扭转
图
4 莫比乌斯带分割后扭转度数的计算
8
/ 27
当
n ≠ 2时，从距带边1/ n宽度处沿长边切割直至回到原处，从图5（程序代码见附录
3
）中可知，分割时绕了两圈，原莫比乌斯带被分割为两部分：两边的部分形成一个长度为2l 、
宽度为
w / n、扭转度数为4π 的双侧曲面（类似于1/ 2分割），中间的部分是一个长度为l、
宽度为
w(n −2) / n、扭转度数为π 的莫比乌斯带。
(a)
莫比乌斯带的1/ n 分割 (b) 1/ n 分割后的两边部分 (c) 1/ n 分割后的中间部分
图
5 莫比乌斯带的1/ n 分割
另外，这两个带环是链接的。上面两个图可以说明，两边部分带环扭转部分穿过中间带
环。
注意到
n ≠ 2时，1/ n分割的结果除了两个带环的的宽度随n变化不同外，其它结构一
致。
（
2）考虑n 等分分割（即从宽边的n 等分线沿长边切割）。
对莫比乌斯带进行
n 等分分割，可分为偶数等分和奇数等分分割两种情形。用数学归纳
法证明。
首先考虑
n = 2和n = 3的情形。按照定义可知2等分分割即1/ 2分割，3等分分割与
1/ 3
分割的结果一致。所以根据上述1/ n 分割的结果， 2 等分分割后得到一个长度为2l 、
宽度为
w / 2、扭转度数为4π 的双侧曲面；3等分分割后得到2个链接曲面，其中一个是长
度为
l、宽度为w / 3、扭转度数为π 的莫比乌斯带，另一个是长度为2l 、宽度为w / 3、扭
转度数为
4π 的的双侧曲面。
假设
n = 2k时结论成立，即2k 等分分割后得到k 个长度为2l 、宽度为w/ (2k)、扭转
度数为
4π 的双侧曲面。考虑n = 2k + 2时的情形，这时2k + 2等分分割可以通过两步完成：
先进行
1/ (2k + 2)分割，得到2个链接曲面。其中两边部分是一个长度为2l 、宽度为
w
/ (2k + 2)、扭转度数为4π 的双侧曲面；而中间部分是一个长度为l、宽度为
w
−2w/ (2k + 2) = w(2k) / (2k + 2)
扭转度数为
π 的莫比乌斯带。
再对中间部分进行
2k 等分分割，根据归纳假设将得到k 个长度为2l 、宽度为
(
w(2k) / (2k + 2)) / (2k) =w/ (2k + 2)
扭转度数为
4π 的双侧曲面。且带环间是链接的。
于是综合得到
k +1个长度为2l 、宽度为w/ (2k + 2)、扭转度数为4π 的双侧曲面。
假设
n = 2k +1时结论成立，即2k +1等分分割后得到k +1个链接曲面，其中一个是长
9
/ 27
度为
l、宽度为w/ (2k +1)、扭转度数为π 的莫比乌斯带，另k 个是长度为2l 、宽度为
w
/ (2k +1)、扭转度数为4π 的的双侧曲面。考虑n = 2k + 3时的情形。
先进行
1/ (2k + 3)分割，得到2 个链接曲面，其中两边部分是一个长度为2l 、宽度为
w
/ (2k + 3) 、扭转度数为4π 的双侧曲面，而中间部分是一个长度为l 、宽度为
w
(2k +1) / (2k + 3)、扭转度数为π 的莫比乌斯带。
再对中间部分进行
2k +1等分分割，根据归纳假设将得到k +1个链接曲面，其中一个
是长度为
l 、宽度为
(
w(2k +1) / (2k + 3)) / (2k +1) =w/ (2k + 3)
扭转度数为
π 的莫比乌斯带，另k 个是长度为2l 、宽度为
(
w(2k +1) / (2k + 3)) / (2k +1) =w/ (2k + 3)
扭转度数为
4π 的的双侧曲面。于是综合得到一个是长度为l、宽度为w/ (2k + 3)、扭转度
数为
π 的莫比乌斯带，k +1个长度为2l 、宽度为w/ (2k + 3)、扭转度数为4π 的莫比乌斯
带。且带环间是链接的。
归纳假设完成了证明。
注记 1 文献
[8]用剪开实验的方法给出了莫比乌斯带1/ n 分割得到的新带环的部分性
质，文献
[5]讨论了莫比乌斯带n 等分分割得到的新带环的部分性质，文献[9]中“1/ n 剪开”
实际上应该是
n等分分割，且只是给出了n ≤7的结果。本文定理1 的结论比较全面和系统，
并且用
Matlab 曲面绘图的方式形象地显示了分割，并对扭转度数等性质给出了证明。
2.2
Paradromic 环
1/ n 分割与n 等分分割的情形
将一个矩形纸带扭转
m 个半圈再把两端粘上之后得到的一个拓扑结构称为Paradromic
环
[10,11]。记纸带的长度为l，宽度为w，扭转度数为mπ ，m ≥1是正整数。当m =1时即为
莫比乌斯带。
注意到定理
1 中莫比乌斯带分割后得到的新带环的结构实为Paradromic 环或者
Paradromic
环的链接。而且m 是奇数时Paradromic 环是单侧曲面，偶数时Paradromic 环是
双侧曲面。
图
6 分别给出了m = 2,3,4,5时的Paradromic环。其参数方程为
( cos( / 2)) cos
( cos( /2))sin
sin( / 2)
x r s mt t
y r s mt t
z s mt
= + ⎧⎪= + ⎨⎪⎩=
其中
s∈(−w/ 2,w/ 2), t∈[0,2π )。
10
/ 27
(a) m=2 (b) m=3
(c) m=4 (d) m=5
图
6 扭转半圈数分别为2,3,4,5 的Paradromic 环
在定理
1 的基础上分析推广，得到定理2.
定理2
Paradromic环分割的结论如表2所示。
表
2 Paradromic环1/ n 分割和n 等分分割后带环的结构
分割方式
m
奇偶
个数 链接
关系
长度 宽度 扭转
度数
单双
侧
1/
n
分割
n
= 2 奇 1 2l w / 2 (2m+ 2)π 双侧
偶
2 链接l w/ 2 mπ 双侧
n
≠ 2 奇 1 链接2l w/ n (2m+ 2)π 双侧
1
l w(n −2) / n mπ 单侧
偶
2 链接l w/ n，
w
(n −1) / n
m
π 双侧
n
等分
分割
n
= 2k 奇 k 链接
(
k >1)
2
l w/ n (2m+ 2)π 双侧
偶
2k 链接 l w / n mπ 双侧
n
= 2k +1 奇 1 链接l w / n mπ 单侧
k
2l w/ n (2m+ 2)π 双侧
偶
2k +1 链接l w/ n mπ 双侧
证明 通过下面几个步骤完成证明。
（1）首先考虑3 种基本分割，即对
m = 2的Paradromic 环做1/2 分割，对m = 3的
Paradromic
环分别做1/2分割和1/ n（n ≠ 2）分割。
对
m = 2的Paradromic环做1/2分割，得到一个链环，它由两个长度为l、宽度为w / 2、
扭转度数为
2π 的双侧曲面链接组成，结果如图7所示。其中，图7(b)对应于上边部分,即
s
∈(0,w/ 2)。图7(c)对应于下边部分,即s∈(−w/ 2,0)。
11
/ 27
(a) 1/2
分割 (b) 1/2 分割后的上边部分
(c) 1/2
分割后的下边部分 (d) 1/2 分割后的示意图
图
7 m = 2的Paradromic环做1/2 分割
对
m = 3的Paradromic环做1/2分割，得到一个长度为2l 、宽度为w / 2、扭转度数为8π
的双侧曲面，实为一纽结，见图8。注意到图8(b)上边部分与图8(c)下边部分在
z = 0平面
相接形成一条环带。
(a) 1/2
分割 (b) 1/2分割后的上边部分
(c) 1/2
分割后的下边部分 (d) 1/2 分割后的示意图
图
8 m = 3的Paradromic环做1/2 分割
对
m = 3的Paradromic环做1/ n（n ≠ 2）分割，得到一个链环，它由一个长度为2l 、
宽度为
w/ n、扭转度数为8π 的双侧曲面（两边部分）和一个长度为l、宽度为w(n −2) / n、
12
/ 27
扭转度数为
3π 的单侧曲面（中间部分）链接组成，见图9。
(a) Paradromic
环的1/ n 分割 (b) 1/ n 分割后的两边部分 (c) 1/ n 分割后的中间部分
图
9 m = 3的Paradromic环做1/ n分割
（
2）对Paradromic环做1/2分割，若m 为奇数则1/2分割后带环的扭转度数是(2m+ 2)π ；
若
m 为偶数则1/2分割后每个带环的扭转度数是mπ 。
可参考定理
1 的证明，以及图4 莫比乌斯带分割后扭转度数的计算。
（
3）对Paradromic环进行1/ n 分割。
1/ 2
分割后，若m是奇数则得到一个长度为2l 、宽度为w/ 2、扭转度数为(2m+ 2)π
的双侧曲面，实为一纽结。
若
m是偶数则得到一个链环，它由两个长度为l、宽度为w/ 2、扭转度数为mπ 的双
侧曲面链接组成。
1/
n（n ≠ 2）分割后，若m是奇数则得到一个链环，它由一个长度为2l 、宽度为w/ n、
扭转度数为
(2m+ 2)π 的双侧曲面（两边部分）和一个长度为l、宽度为w(n −2) / n、扭转
度数为
mπ 的单侧曲面（中间部分）链接组成。
若
m是偶数则得到一个链环，它由两个长度为l、宽度分别为w / n和w(n −1) / n、扭
转度数为
mπ 的双侧曲面链接组成。
（4）对
Paradromic环进行n 等分分割，可用递推方法证明。
仅考虑
m 为奇数的情形。m 为偶数时容易证明。
2
k 等分分割可依次通过下列1/ n 分割完成：
先进行
1/ 2k 分割，得到2个链接曲面。其中两边部分是一个长度为2l 、宽度为w / (2k) 、
扭转度数为
(2m+ 2)π 的双侧曲面；而中间部分是一个长度为l、宽度为
w
−2w / (2k) = w(2k −2) / (2k)
扭转度数为
mπ 的单侧曲面。
再对中间部分进行
1/ (2k −2) 分割，得到2个链接曲面。其中两边部分是一个长度为2l 、
宽度为
(
w(2k −2) / (2k)) / (2k −2) = w / (2k)
扭转度数为
(2m+ 2)π 的双侧曲面；而中间部分是一个长度为l、宽度为
13
/ 27
w
(2k −2) / (2k) −2w / (2k) = w(2k −4) / (2k)
扭转度数为
mπ 的单侧曲面。
继续对中间部分进行
1/ (2k −4) 分割，直到第k −2次分割后得到2个链接曲面，其中
两边部分是一个长度为
2l 、宽度为w / (2k) 、扭转度数为(2m+ 2)π 的双侧曲面；而中间
部分是一个长度为
l、宽度为w(2) / (2k) 、扭转度数为mπ 的单侧曲面。再对中间部分进行
1/ 2
分割，最后得到1个曲面，是一个长度为2l 、宽度为w / (2k) 、扭转度数为(2m+ 2)π
的双侧曲面。
综合得到
k 个链接曲面，均为长度为2l 、宽度为w / (2k) 、扭转度数为(2m+ 2)π 的
双侧曲面。
2
k +1等分分割的过程类似，证明叙述略。
注记2 关于
Paradromic环分割，主要在文献[2]和[11,12]中涉及一点似是而非的结论，
没有解释。文献
[13]分析了Paradromic环剪开后的一些性质，不过关于扭转度数的计算有误。
另外，从定理
2可知，m 为偶数时Paradromic环分割后新带环的长度、扭转度数以及双侧性
等都与原来的
Paradromic环的一致，只是宽度不同，而且新带环中各分支带环仍然是链接的。
3
．Paradromic 环分割的结构与拓扑性质
第2节讨论了Paradromic环分割的结构，主要涉及到长度、宽度、扭转度数、单双侧等
性质。由于Paradromic环分割的结构比较复杂，仅仅根据这些性质还不能比较全面地把握其
结构。需要继续探讨分割得到的带环的拓扑性质，以便从另外一个角度更加准确地认识其链
接方式和结构，这些拓扑性质（拓扑不变量）包括环绕数、交叉数、解结数以及着色数。
这一节首先证明了Paradromic环分割的结构等价于环面链环，然后利用纽结理论确定了
它的环绕数、交叉数和解结数，最后研究了它的着色。
仅考虑对
Paradromic环进行1/ 2分割的情形。记扭转度数为mπ 的Paradromic环进行1/ 2
分割得到的带环为
m,2 P 。
3.1
Paradromic 环分割的结构
根据定理2 得
Paradromic 环1/ 2分割后，若m 是奇数则得到一个长度为2l 、宽度为
w
/ 2、扭转度数为(2m+ 2)π 的双侧曲面，实为一纽结。若m是偶数则得到一个链环，它
由两个长度为
l、宽度为w / 2、扭转度数为mπ 的双侧曲面链接组成。
根据图
7和图8关于m = 2,3时的结果，以及图10的观察，可知Paradromic环分割的结构
与纽结（链环）有关系，这促使我们进一步了解和学习纽结理论。
14
/ 27
(a)
m,2 P (m=2) (b)Hopf 链环
(b)
m,2 P (m=3) (d)三叶结
图
10 Paradromic 环分割的结构与链环的关系
三维欧氏空间中的连成一体的（连通的），封闭的（没有端点的），没有粘连的（自己与
自己不交的）一条曲线就称为一个扭结。数学上将其定义为把单位圆周到三维欧氏空间中的
一个嵌入称为一个扭结。把单位圆周嵌入到平面上，得到的扭结是一个（拓扑）圆盘的边界，
这样的扭结称为平凡扭结。链环是指空间中由有限个互不相交的扭结组成的几何对象，扭结
就是只有一个分支的链环。
一个扭结（或链环）可以在空间中自由地连续变形，但不许剪断，不许粘合。如果一个
扭结（或链环）在空间中可以经过这种移位连续变形变成另一个，就称为这两个扭结（或链
环）是等价的或相同（同痕）的（在拓扑上）。对一个确定的扭结
K ，在空间中取一个平面
P
，考虑K 在P 上的投影图。适当地在空间中挪动K ，使得投影图满足以下条件：
（
1）只有有限个重叠点；
（
2）每个重叠点都是二重点；
（
3）在每个二重点，上下两线（弧段）交叉穿越，在上面的线用实线表示（称为上行
线或者上线），在下面的线用实线在交叉点附近断开表示（称为下行线或者下线）。
这样一个投影图就称为
K 的一个标准投影图，或简称为投影。显然，总可以得到一个
扭结（及类似地，链环）的（不止一个的）标准投影图。扭结和链环可以用投影图来确定，
但一般来说，等价的扭结（或链环）可以有不同的投影图。
Reidemeisterp
定理：两个投影决定的扭结（或链环）是等价的，当且仅当其中一个投影
图可以经过有限次的
Reidemeisterp初等变换和同痕（适当地）移动变为另一个。
任何两个扭结（或链环），怎样识别它们是否相同？特别地任何一个扭结（或链环），怎
样识别它是否等价于一个平凡扭结或平凡链环（能够嵌入到平面上的链环）？拓扑学是几何
学的一个重要分支，是研究几何图形的连续变形的学科。数学上的扭结理论是拓扑学的一个
重要组成部分。扭结理论就是研究扭结（或链环）在连续变形下保持不变的特性（称为不变
量），其目的在于告诉人们如何区分（本质上）不同的扭结。由于扭结与链环既直观又充满
奥妙，扭结理论有通俗易懂妙趣横生的一方面，又有极其深刻的内涵，并且与分子生物学、
理论物理等自然科学领域密切相关，扭结理论近年来成为数学上璀璨的明珠。关于纽结理论
的其它概念，详见文献
[14-15]。
设
T 是三维欧氏空间R3中一个通常嵌入（即没有打结的）的环面（同胚于S1 × S1）。
若
R3中的一个链环L的像完全落在T 上，则称L为环面链环。当L为一个扭结时，对应地
15
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称
L 为一个环面扭结。
(
q, r) −环面扭结（链环） q,r T 是一个环面扭结（链环），由两个参数确定，其中q 表示
它与环面
T 的纬线相交的次数， r 表示它与环面T 的经线相交的次数。
可以证明，任意一个环面链环同痕于某个
q,r T ，并且q,r T 是一个扭结当且仅当(q, r) =1。
如果
d = (q, r) >1，那么q,r T 是一个有d 个分支的环面链环，并且它的任意两个分支作为扭
结来说是等价的，都同痕于
q/d ,r /d T 。q,r T 还有一些基本性质，如q,r T 与r,q T 等价。
图
11为3,2 T 以及它的投影图表示，实为三叶结。图12是环面扭结5,2 T 和9,2 T ，其中绘制5,2 T
的
MATLAB程序见附录4。
(a)
环面扭结3,2 T (b) 3,2 T 的投影图表示
图
11 环面扭结3,2 T 以及它的投影图表示
图
12 环面扭结5,2 T 和9,2 T
根据图
10 得到的Paradromic 环分割的结构与链环的关系，以及环面链环的性质，可知
当
m = 2,3时， m,2 P = m,2 T 。事实上，该结论对所有m 成立。
定理3
m,2 P = m,2 T ，即扭转度数为mπ 的Paradromic环1/ 2分割的结构等价于(m,2) −环面链环。
证明文献
[16]指出，若m 是奇数，则环面链环m,2 T 实为Paradromic 环的边界，如图
13
所示。实际上，此结论对偶数m 也成立。
16
/ 27
图
13 环面链环m,2 T 为Paradromic环的边界
图
14显示扭转半圈数分别为4,5的Paradromic环向平面z = 0的投影，投影图中实际显示
的是从
z 轴上方观看（俯视）Paradromic环，其边界以及中心圆在平面z = 0的投影，Matlab
程序见附录
5。其中，中心圆在平面z = 0的投影位于投影图的中间。若投影图中取掉中心
圆的投影，则图
14(b)和(d)分别为4,2 T 和5,2 T 。
(a) m=4
的Paradromic 环 (b)边界以及中心圆在xoy 平面的投影
(c)m=5
的Paradromic 环 (d)边界以及中心圆在xoy 平面的投影
图
14 扭转半圈数分别为4,5 的Paradromic 环向xoy 平面投影
注意到
Paradromic环的1/ 2分割m,2 P 的投影图表示等价于Paradromic环的边界的投影，
所以得到
m,2 P = m,2 T ，即扭转度数为mπ 的Paradromic环1/ 2分割的结构m,2 P 等价于(m,2) −环面链环m,2 T 。
注记3 关于
Paradromic环分割的结构，文献[17,18]提出猜想，认为与环面链环有关，但
目前还没有给出证明。定理
3给出了Paradromic环1/ 2分割的结构证明。
17
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3.2 Paradromic 环分割的拓扑性质
根据定理
3， m,2 P = m,2 T 。而环面链环m,2 T 的一些基本拓扑性质（不变量）是已知的[14]。
所以可以通过环面链环
m,2 T 的拓扑不变量把握Paradromic环分割的带环m,2 P 的结构。
在一个定向链环
L 的投影图上，对于每个交叉点c ，按如下规则进行标号：当从上行线
的方向箭头逆时针旋转
900 转到下行线的方向箭头时， c 的标号为“+1”，否则为“-1”（图
15
）。设L 为有两个分支1 K 和2 K 的定向链环，两个分支的弧相交的交叉点的标号和的一半
称为
1 K 和2 K 的环绕数，记作1 2 lk(K ,K )或者lk(L)。容易验证，当1 K 和2 K 中之一的定向
改变时，其环绕数也要改变符号，但如果
1 K 和2 K 的定向同时改变时，其环绕数不变。如图
链环的环绕数分别为
1 和-1。环绕数实际上度量一个分支穿过另一分支内部的次数。当m 是
偶数时，
m,2 T 的环绕数,2 ( ) /2 m l T = m 。
图
15 定向链环交叉点的标号与环绕数的计算
链环
L的所有投影图中交叉点个数的最小值称为链环L的交叉数，记为c(L) 。q,r T 的
交叉数
,
( ) min{| | (| | 1),| | (| | 1)} q r c T = q r −r q −所以 m,2 T 的交叉数为m 。
对于链环
L 的投影图的某个交叉点，改变经过该点的两段弧的上下位置关系，即把原来
在上面的弧变成在下面的弧（同时下面弧变成上面弧），这样的一个变换称为交叉点变换。
设链环
L 的交叉数为n ，则总可以经过不超过n 次的交叉点变换把它变成平凡链环（的投影
图）。把链环
L 变成平凡链环的交叉点变换的次数的最小值称为链环L 的解结数，记为
u
(L)。三叶结的解结数为1，见图16。当(q, r) =1时，有
,
( ) ( 1)( 1)
q r
2
u T q r
−−=
m
,2 T 的解结数为(m−1) / 2（当m为奇数时）。
图
16 三叶结的解结数为1
综上得到
18
/ 27
定理 4 关于
m,2 P 的环绕数、交叉数、解结数，有
,2
( ) /2 m l P = m （m为偶数），
,2
( ) m c P = m，
,2
( ) m u P = (m−1) / 2（当m 为奇数时）
注记 4 上述环绕数、交叉数、解结数都是链环的不变量，可以比较有效地把握
m,2 P 的
结构并进行区分。
另外一个重要的不变量是
p 可着色[14,15,16,19]。
假设
p 是大于1 的整数，L 是一个链环。如果可以对它的投影图的每条弧段给予0,1,…
p
−1中之一的标号（称为该弧段的着色），使得下列条件成立：
（
1）在每一个交叉点，上线的标号x 与断开的下线的两段的标号y, z 满足
2
x = y + z (mod p)；
（
2）标号中至少有两个不同。
这时，称这样的标号（实为弧段集到颜色集
{0,1,… p −1}的一个映射）为链环L的一个p
着色，称链环
L 是p 可着色的。
注意条件（
1）对p =3 可着色意味着x + y + z = 0 (mod3)，由于x, y, z∈{0,1,2}，可
以得到
x, y, z或者完全不同，或者完全相同。即在每一个交叉点，上线的标号与断开的下线
的两段的标号或者完全不同，或者完全相同。图
17 给出了3,2 T 的3 着色。条件（2）要求不
能所有着色都相同。若所有着色都相同，自然满足条件（
1），这时也称p 着色是平凡的。
图
17 3,2 T 的3 着色
链环
p 着色的研究近年来十分活跃，诸多问题还有待于深入探讨。关于链环m,2 T ，有结
论
[20]：若p 是素数，则m,2 T 是p 可着色的当且仅当p | m。
19
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链环
L 的最小着色数，定义为链环L 的所有投影图的p 着色中所用不同颜色的最小个
数，记为
min colpL 。例如5,2 T 的最小着色数是4，见图18。链环L 的最小着色数问题目前
还没有解决
[20,21]。
图
18 5,2 T 的最小着色数是4
下面探讨
m,2 T （即m,2 P ）的具体着色方案。
为了描述方便，引入一些符号。当
m = 2k +1时， m,2 P 的投影图如图19 表示。记m 个
交叉点分别为
1 2 , , , m c c c ，每个交叉点i c 处的上行弧段（图中用i 1 i i i 1 c v c c −+ 表示）记为i a ，
假设
i a 的着色为i x ，i =1,2,,m。则m,2 P 的一个p 着色可以用向量1 ( , , , , ) i m x x x 表
示。
图
19 m,2 P 的投影图表示
用
mod(i, p)表示i除以p 的余数，例如mod(10,3) =1。
下面的定理给出了
m,2 P 的着色。
定理 5 （
1） m,2 P 是p 可着色的当且仅当p | m，其中p 是素数。
（
2）当m为偶数时， m,2 P 是2可着色的。进一步， m,2 P 的一个2 着色方案为：一个分
20
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支的弧段都着颜色
1，另一个分支的弧段都着颜色0。
当
m为奇数时， m,2 P 是p 可着色的，其中p 是m的最小素因子。m,2 P 的一个p 着色方
案是
1 ( , , , , ) i m x x x ，其中mod( , ) 1 ix = i p −，i =1,2,,m。
（
3） min colpL
= , =2,3
=4, =5
3, ( 3) / 2] >5
p p
p
p p
⎧⎪⎨⎪⎩∈ +
若
若
（ ,若
证明 （
1）成立，参考文献[20]。
（
2）当m为偶数时， m,2 P 是一个有两个分支的链环。进一步，如果对它的一个分支的
弧段都着颜色
1，另一个分支的弧段都着颜色0，可以得到m,2 P 的一个2 着色方案。
下面考虑
m 为奇数时的情形。
假设
p 是m 的最小素因子， m,2 P 的一个p 着色方案记为1 ( , , , , ) i m x x x ，
i
=1,2,,m。则1 ( , , , , ) i m x
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