不要想的太复杂了，这种例子在复变函数里处处可见啊，呵呵
回复：5楼
这位兄弟啊，处处连续处处不可导，全句是：存在一个函数，在定义域内处处连续但处处不可导。条件句与结论句是什么？条件句是：如果F是一个函数，结论句：那么它可能处处连续但处处不可导。（还可以有不同的条件结论划分，不过绝对不能把处处连续与处处不可导分开，因为这两个放在一起才是要揭示的性质）。
所以你否命题是：如果一个函数处处不连续而处处可导，那么它不是一个函数（不存在）。
这位兄弟啊，处处连续处处不可导，全句是：存在一个函数，在定义域内处处连续但处处不可导。条件句与结论句是什么？条件句是：如果F是一个函数，结论句：那么它可能处处连续但处处不可导。（还可以有不同的条件结论划分，不过绝对不能把处处连续与处处不可导分开，因为这两个放在一起才是要揭示的性质）。
所以你否命题是：如果一个函数处处不连续而处处可导，那么它不是一个函数（不存在）。
关于分数维的概念，是只有数学意义而无物理意义？是否只是满足于数量的变化而产生分数维？它有物理意义吗？通常一维几何量的物理意义是长度，二维几何量的物理意义是面积，那么1.5维几何量到底是长度还是面积？求教！
请教：
1、为什么π，e，欧拉常数，芒德布罗常数等十进制制表示的数学常数都在10的±1次幂内？这样的独立运算得到的数学常数还有多少？今后还有吗？他们在多大范围内会发现有内在联系?（比如e^πi=-1）
2、有没有那种按照常规用参变量从1，2，3，....→∞递推到无穷逼近得到的常数，整数位很大和小数位前面部分都是很规则，只是到它小数后面若干位后才表现出它的无限不循环性质？如果有这样的无理数，请造出一个看看？如果没有，请问这是为什么？注意，不要用已知数学常数加或乘一个固定量的方式来实现这种人造无理数，那是钻定义空子。
1、为什么π，e，欧拉常数，芒德布罗常数等十进制制表示的数学常数都在10的±1次幂内？这样的独立运算得到的数学常数还有多少？今后还有吗？他们在多大范围内会发现有内在联系?（比如e^πi=-1）
2、有没有那种按照常规用参变量从1，2，3，....→∞递推到无穷逼近得到的常数，整数位很大和小数位前面部分都是很规则，只是到它小数后面若干位后才表现出它的无限不循环性质？如果有这样的无理数，请造出一个看看？如果没有，请问这是为什么？注意，不要用已知数学常数加或乘一个固定量的方式来实现这种人造无理数，那是钻定义空子。
请教：
1、不用物理的重心唯一性原理，能够用纯粹数学证明任何一个复杂的几何体的重心唯一性？并请编出其计算重心位置的程序？注意：不能用反证法证明，只能用分析推导的结构化证明。
2、对起点和终点相同路径不同的同一物体做功的计算，能够避开物理的功能原理吗？直接就用微积分去推演？并用分析推导的结果证明或验证功能原理的正确性？
1、不用物理的重心唯一性原理，能够用纯粹数学证明任何一个复杂的几何体的重心唯一性？并请编出其计算重心位置的程序？注意：不能用反证法证明，只能用分析推导的结构化证明。
2、对起点和终点相同路径不同的同一物体做功的计算，能够避开物理的功能原理吗？直接就用微积分去推演？并用分析推导的结果证明或验证功能原理的正确性？
5楼：有一个命题处处连续，处处不可导，逆否命题：没有处处可导，处处不连续的一个命题
关于“处处连续，处处不可导”
-
收藏
- 回复
处处连续，处处不可微（处处不光滑），这种情况是数学家非常头痛的事情，以至于在很长时间内数学家放弃了这种现象的研究，直到康托这个数学家将这种情况用新的理论体系进行了研究，即康托集，虽然当时不受认可，但已经为分形学打下了基础，20世纪70年代，曼得布罗特将分形学提高到另一个高度，他的论文“英国海岸线又多长”在《科学》杂志发表，引起了学术界的轰动。他的基本意思是用不同的尺子量处处连续处处不可微的曲线会有不同的长度。这是显而易见的，用一米的尺子和一公里的尺子量英国的海岸线结果肯定不一样，用大尺子量出来的结果肯定比小尺子量出的结果小得多，因为大尺子量不到小尺子能量到的弯曲（处处不光滑）。但是关键是寻找出用不同尺子测量某一“处处连续处处不可微”线段（如英国海岸线）得到的不同长度与相应的尺子之间的不变量！曼得布罗特成功了，这个不变量就是英国海岸线的分维数！通常我们认为直线是一维的，平面是二维的，但是谁也没有想过曲线是几维的，分形理论告诉我们，这个维数是分数。这就从根本上掀翻了牛顿-莱布尼茨的微积分理论，他们认为导数、积分只是在整数范围内的，即一次、二次导数，积分、二重积分、三重积分，分形理论告诉我们，可以有1.345次导数、3.1305次导数，6.4232重积分。牛顿-莱布尼茨的微积分只是曼得布罗特分形理论的特例！就像牛顿的经典力学只是爱因斯坦的相对论在特定条件下的特例！ 所以，在80年代90年代，随之而起的分形与混沌理论主导了学术界，各个学科都将分形与混沌理论与自己嫁接。在通信（小波变换），信息安全（信息保密技术）、非线性力学等领域有了快速发展。混沌理论是分形理论的进一步深化，混沌理论的基本思想是“自相似”，特定的条件得到非特定的结果，这与经典力学是相抵触的，经典力学是可知学科，即给定初始条件，既能得到确定的结果，如导弹飞行，卫星环绕地球。但是有些现象是经典力学不能解释的，如大气运动，尤其是天气的变化，谁也不能准确预测一个地区一个星期以后准确的温度、风向、乃至雷雨天晴，这些是不确定的，是初始条件敏感的，即对于自变量X，给定一个微小的变量dX，经过一些列的变化，因变量Y的结果很差别很大.
分形混沌理论的专著很多，有兴趣的可以到图书馆参考相关书籍
分形混沌理论的专著很多，有兴趣的可以到图书馆参考相关书籍
可以有1.345次导数、3.1305次导数，6.4232重积分
嘿嘿，我也有想过的，想法来自于求一个数的无理数次方，可用Taylor算出来，我们也可以用相似的思想来求1.345次导数、3.1305次导数，6.4232重积分
拙见= =~
嘿嘿，我也有想过的，想法来自于求一个数的无理数次方，可用Taylor算出来，我们也可以用相似的思想来求1.345次导数、3.1305次导数，6.4232重积分
拙见= =~
分形几何揭示了复杂事物的形态都具有分形的性质。它是描述复杂自然形态及其生成的重要数学工具，为人类建构新的自然图景提供科学基础。
自然观与自然科学的发展紧密联系。任何关于自然界的科学理论，原则上都可以成为建立某种自然观的根据，并形成一种研究纲领。如随着系统论的出现形成系统世界图象。随着非平衡态热力学的发展出现自组织世界图象。分形几何作为描述复杂自然形态及其生成机制的有力工具，又为人类建构新的自然图景提供新的科学依据，形成一种新的自然图景--生成论自然观。
“生成论”是相对“构成论”而言的。在人类探索宇宙的本原之始，就存在着事物是由本原生成还是由本原构成的争论。生成论认为事物是由本原生成的，他的变化是“产生”，“消亡”或“转化”；构成论认为事物是由本原构成的，它的变化是要素之间的结合或分离。
芒德勃罗论证道：像英国海岸线这样极不规则、极不光滑的曲线，其每一级尺度都包含有比上一级更小的细节，并具有与上一级同等程度的复杂性与不规则性，观察的尺度越小，发现并须计入的迂回曲折就越多，海岸线越长。
显然，像英国海岸线这类极其不规则的曲线具有一种相对性：即它的长度将随观察者的变化而变化，也就是说，其长度取决于观察者选择的尺度单位。
芒德勃罗给这种极不规则，又及其复杂而生动的图形命名为：Fractal,分形
随着系统科学的深入发展，特别是混沌学的突破，分形研究的范围扩大。现在，人们不仅将功能、信息、能量等方面具有自相似性特征的对象称为分形，而且发现混沌中深藏的秩序－－奇怪吸引子，具有分形的特征。因此，原来只限于几何形态的数学分形迅速发展为广义分形，并成为科学各领域突破的关键。在广义分形中，自相似性可以是严格相同的，也可以只是统计意义上的相似。广义分形的研究进一步揭示出：分形的本质特征是层次的多重性与不同层次规则的一致性，而自相似性只不过是分形的外在形态表现。
分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的,呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体形态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片,看上去会十分相似。事实上,具有自相似性的形态广泛存在于自然界中,如:连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。1975年,他创立了分形几何学(fractalgeometry)。在此基础上,形成了研究分形性质及其应用的科学,称为分形理论(fractaltheory)。
自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。
分维,作为分形的定量表征和基本参数,是分形理论的又一重要原则。分维,又称分形维或分数维,通常用分数或带小数点的数表示。长期以来人们习惯于将点定义为零维,直线为一维,平面为二维,空间为三维,爱因斯坦在相对论中引入时间维,就形成四维时空。对某一问题给予多方面的考虑,可建立高维空间,但都是整数维。在数学上,把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲,维数也不变,这就是拓扑维数。然而,这种传统的维数观受到了挑战。曼德布罗特曾描述过一个绳球的维数:从很远的距离观察这个绳球,可看作一点(零维);从较近的距离观察,它充满了一个球形空间(三维);再近一些,就看到了绳子(一维);再向微观深入,绳子又变成了三维的柱,三维的柱又可分解成一维的纤维。那么,介于这些观察点之间的中间状态又如何呢?
显然,并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。数学家豪斯道夫(Hausdoff)在1919年提出了连续空间的概念,也就是空间维数是可以连续变化的,它可以是整数也可以是分数,称为豪斯道夫维数。记作Df,一般的表达式为:K=LDf,也作K=(1/L)-Df,取对数并整理得Df=lnK/lnL,其中L为某客体沿其每个独立方向皆扩大的倍数,K为得到的新客体是原客体的倍数。显然,Df在一般情况下是一个分数。因此,曼德布罗特也把分形定义为豪斯道夫维数大于或等于拓扑维数的集合。英国的海岸线为什么测不准?因为欧氏一维测度与海岸线的维数不一致。根据曼德布罗特的计算,英国海岸线的维数为1.26。有了分维,海岸线的长度就确定了。
分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支,又是一门新兴的横断学科。作为一种方法论和认识论,其启示是多方面的:一是分形整体与局部形态的相似,启发人们通过认识部分来认识整体,从有限中认识无限;二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序;三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。
自然观与自然科学的发展紧密联系。任何关于自然界的科学理论，原则上都可以成为建立某种自然观的根据，并形成一种研究纲领。如随着系统论的出现形成系统世界图象。随着非平衡态热力学的发展出现自组织世界图象。分形几何作为描述复杂自然形态及其生成机制的有力工具，又为人类建构新的自然图景提供新的科学依据，形成一种新的自然图景--生成论自然观。
“生成论”是相对“构成论”而言的。在人类探索宇宙的本原之始，就存在着事物是由本原生成还是由本原构成的争论。生成论认为事物是由本原生成的，他的变化是“产生”，“消亡”或“转化”；构成论认为事物是由本原构成的，它的变化是要素之间的结合或分离。
芒德勃罗论证道：像英国海岸线这样极不规则、极不光滑的曲线，其每一级尺度都包含有比上一级更小的细节，并具有与上一级同等程度的复杂性与不规则性，观察的尺度越小，发现并须计入的迂回曲折就越多，海岸线越长。
显然，像英国海岸线这类极其不规则的曲线具有一种相对性：即它的长度将随观察者的变化而变化，也就是说，其长度取决于观察者选择的尺度单位。
芒德勃罗给这种极不规则，又及其复杂而生动的图形命名为：Fractal,分形
随着系统科学的深入发展，特别是混沌学的突破，分形研究的范围扩大。现在，人们不仅将功能、信息、能量等方面具有自相似性特征的对象称为分形，而且发现混沌中深藏的秩序－－奇怪吸引子，具有分形的特征。因此，原来只限于几何形态的数学分形迅速发展为广义分形，并成为科学各领域突破的关键。在广义分形中，自相似性可以是严格相同的，也可以只是统计意义上的相似。广义分形的研究进一步揭示出：分形的本质特征是层次的多重性与不同层次规则的一致性，而自相似性只不过是分形的外在形态表现。
分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的,呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体形态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片,看上去会十分相似。事实上,具有自相似性的形态广泛存在于自然界中,如:连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。1975年,他创立了分形几何学(fractalgeometry)。在此基础上,形成了研究分形性质及其应用的科学,称为分形理论(fractaltheory)。
自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。
分维,作为分形的定量表征和基本参数,是分形理论的又一重要原则。分维,又称分形维或分数维,通常用分数或带小数点的数表示。长期以来人们习惯于将点定义为零维,直线为一维,平面为二维,空间为三维,爱因斯坦在相对论中引入时间维,就形成四维时空。对某一问题给予多方面的考虑,可建立高维空间,但都是整数维。在数学上,把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲,维数也不变,这就是拓扑维数。然而,这种传统的维数观受到了挑战。曼德布罗特曾描述过一个绳球的维数:从很远的距离观察这个绳球,可看作一点(零维);从较近的距离观察,它充满了一个球形空间(三维);再近一些,就看到了绳子(一维);再向微观深入,绳子又变成了三维的柱,三维的柱又可分解成一维的纤维。那么,介于这些观察点之间的中间状态又如何呢?
显然,并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。数学家豪斯道夫(Hausdoff)在1919年提出了连续空间的概念,也就是空间维数是可以连续变化的,它可以是整数也可以是分数,称为豪斯道夫维数。记作Df,一般的表达式为:K=LDf,也作K=(1/L)-Df,取对数并整理得Df=lnK/lnL,其中L为某客体沿其每个独立方向皆扩大的倍数,K为得到的新客体是原客体的倍数。显然,Df在一般情况下是一个分数。因此,曼德布罗特也把分形定义为豪斯道夫维数大于或等于拓扑维数的集合。英国的海岸线为什么测不准?因为欧氏一维测度与海岸线的维数不一致。根据曼德布罗特的计算,英国海岸线的维数为1.26。有了分维,海岸线的长度就确定了。
分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支,又是一门新兴的横断学科。作为一种方法论和认识论,其启示是多方面的:一是分形整体与局部形态的相似,启发人们通过认识部分来认识整体,从有限中认识无限;二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序;三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。
分形
谁创立了分形几何学？
1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其愿意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
分形几何与传统几何相比有什么特点：
⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。
什么是分维？
在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：
a^D=b, D=logb/loga
的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。另一方面，当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1（大于0、小于2）。与此类似，如果我们画一个Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面），那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维。其实，Koch曲线的维数是1.2618……。
Fractal（分形）一词的由来
据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规碎片”）。此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，曼德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。
分形的定义
曼德勃罗曾经为分形下过两个定义：
谁创立了分形几何学？
1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其愿意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
分形几何与传统几何相比有什么特点：
⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。
什么是分维？
在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：
a^D=b, D=logb/loga
的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。另一方面，当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1（大于0、小于2）。与此类似，如果我们画一个Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面），那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维。其实，Koch曲线的维数是1.2618……。
Fractal（分形）一词的由来
据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规碎片”）。此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，曼德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。
分形的定义
曼德勃罗曾经为分形下过两个定义：
（1）满足下式条件
Dim(A)>dim(A)
的集合A，称为分形集。其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数（或分维数），dim(A)为其拓扑维数。一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。
（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。
然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。
（i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
（ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。
（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。
（iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。
（v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。
分形几何
普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。最近十几年的，产生了新兴的分形几何学，空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数，这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。
分形几何的产生
客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。
客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。从而产生了特征长度。还有的事物没有特征尺度，就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度（或者叫标度），这叫做“无标度性”的问题。
如物理学中的湍流，湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助“无标度性”解决问题，湍流中高漩涡区域，就需要用分形几何学。
在二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗(B.B.Mandelbrot)在他的著作中探讨了“英国的海岸线有多长”这个问题。这依赖于测量时所使用的尺度。
如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。
数学家柯赫(Koch)从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。以后可以看到，分维才是“Koch岛”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于1到2之间。
这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的星体分布，就具有分维的吸引子。多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型，都是分形的研究对象。这些促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学。
电子计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门。这座具有无穷层次结构的宏伟建筑，每一个角落里都存在无限嵌套的迷宫和回廊，促使数学家和科学家深入研究。
分形定义
分形难下确切的定义．分形的原意是“不规则的，分数的，支离破碎的”，故又可称为“碎形”．分形是研究自然和社会中广泛存在的零碎而复杂,无序,不规则,非线性,不光滑,具有自相似,自仿射和标度不变性的复杂系统,图形,构造,功能,性质和复杂现象,及隐藏在这些复杂现象背后的,具有精细结构,内在随机性,局部与整体本质联系的,被传统线性科学(物理,欧氏几何学)排斥在外的不规则“病态”,不可微的事体,形体.在尺度变换(放大,缩小)下具有“自相似性”和“标度不变性(无特征长度)”的,从有限认识无限的特殊规律的科学.即其组成部分(局部)以某种方式(结构,信息,功能等广义分形)与整体相似的形体,事物,或现象；或在多个层次上,适当地放大或缩小其几何尺寸，其局部与整体的整个精细结构，形态，性质等不因此而发生改变(统计)的形体，体系、分形是整体与局部在某种意义下：大小尺度之间的对称性与统一性的集合，是非线性变换下的不变性,是整体观(统一观),共性观，非二分法的产物，是有规则的不规则性．分形是没有特征长度，但具有一定意义(广义)下的自相似图形，结构，性质和形态的总称．
分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似．
除了自相似性以外，分形具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性．即无论放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少．但是每次放大的图形却并不和原来的图形完全相似．这告诉我们：其实，分形并不要求具有完全的自相似特性．
分形的数学定义
定义1 如果一个集合在欧氏空间中的豪斯道夫维数Dh恒大于其拓扑维数Dt，
即Dh>Dt
则称该集合为分形集,简称为分形．(Dh≥Dt)
这个定义是由曼德勃罗特在1982年提出的，四年后他又提出了一个实用的定义．
定义2 组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形．
它突出了分形的自相似性,反映了自然界中广泛存在的一类"事物"的基本属性:局部与局部,局部与整体在形态,功能,信息,时间与空间等方面具有统计意义上的自相似性.它与欧氏几何中的"相似"不同.上述定义还不是严密,精确的定义.
要完整地理解分形还必需知道它的一些特性．
分形特征
大自然中的山、树、云、海岸线都可以看成是分形．一般地说，分形具有以下一些特征：该集合具有精细的结构，即有任意小比例的细节（无限可分性）；该集合整体与局部间有某种自相似性；分形集合的分形维数一般不是整数，而是分数，且一般大于它的拓扑维数；分形集合是如此的不规则，以至它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述；在大多数情况下，分形集合可以以非常简单的方法来定义，可能由迭代产生；通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的.．具体的说有下面几个特征．
（1）自相似性
是复杂系统的总体与部分,这部分与那部分之间的精细结构或性质所具有的相似性,或者说从整体中取出的局部(局域)能够体现整体的基本特征.即几何或非线性变换下的不变性:在不同放大倍数上的性状相似.包括几何结构与形态,过程,信息,功能,性质,能量,物质(组份),时间,空间等特征上,具有自相似性的广义分形．自相似性的数学表示为:f(λr)=λαf(r),或 f(r)～rα.其中λ称为标度因子,α称为标度指数(分维),它描述了结构的空间性质.函数f(r)是面积,体积,质量等占有数,量等性质的测度．
一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的,或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似.另外,在整体与整体之间或部分与部分之间,也会存在自相似性.一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式,而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合.但是,表征自相似系统或结构的定量性质如分形维数,并不会因为放大或缩小等操作而变化[这一点被称为伸缩对称性],所改变的只是其外部的表现形式.自相似性通常只和非线性复杂系统的动力学特征有关．
分形难下确切的定义．分形的原意是“不规则的，分数的，支离破碎的”，故又可称为“碎形”．分形是研究自然和社会中广泛存在的零碎而复杂,无序,不规则,非线性,不光滑,具有自相似,自仿射和标度不变性的复杂系统,图形,构造,功能,性质和复杂现象,及隐藏在这些复杂现象背后的,具有精细结构,内在随机性,局部与整体本质联系的,被传统线性科学(物理,欧氏几何学)排斥在外的不规则“病态”,不可微的事体,形体.在尺度变换(放大,缩小)下具有“自相似性”和“标度不变性(无特征长度)”的,从有限认识无限的特殊规律的科学.即其组成部分(局部)以某种方式(结构,信息,功能等广义分形)与整体相似的形体,事物,或现象；或在多个层次上,适当地放大或缩小其几何尺寸，其局部与整体的整个精细结构，形态，性质等不因此而发生改变(统计)的形体，体系、分形是整体与局部在某种意义下：大小尺度之间的对称性与统一性的集合，是非线性变换下的不变性,是整体观(统一观),共性观，非二分法的产物，是有规则的不规则性．分形是没有特征长度，但具有一定意义(广义)下的自相似图形，结构，性质和形态的总称．
分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似．
除了自相似性以外，分形具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性．即无论放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少．但是每次放大的图形却并不和原来的图形完全相似．这告诉我们：其实，分形并不要求具有完全的自相似特性．
分形的数学定义
定义1 如果一个集合在欧氏空间中的豪斯道夫维数Dh恒大于其拓扑维数Dt，
即Dh>Dt
则称该集合为分形集,简称为分形．(Dh≥Dt)
这个定义是由曼德勃罗特在1982年提出的，四年后他又提出了一个实用的定义．
定义2 组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形．
它突出了分形的自相似性,反映了自然界中广泛存在的一类"事物"的基本属性:局部与局部,局部与整体在形态,功能,信息,时间与空间等方面具有统计意义上的自相似性.它与欧氏几何中的"相似"不同.上述定义还不是严密,精确的定义.
要完整地理解分形还必需知道它的一些特性．
分形特征
大自然中的山、树、云、海岸线都可以看成是分形．一般地说，分形具有以下一些特征：该集合具有精细的结构，即有任意小比例的细节（无限可分性）；该集合整体与局部间有某种自相似性；分形集合的分形维数一般不是整数，而是分数，且一般大于它的拓扑维数；分形集合是如此的不规则，以至它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述；在大多数情况下，分形集合可以以非常简单的方法来定义，可能由迭代产生；通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的.．具体的说有下面几个特征．
（1）自相似性
是复杂系统的总体与部分,这部分与那部分之间的精细结构或性质所具有的相似性,或者说从整体中取出的局部(局域)能够体现整体的基本特征.即几何或非线性变换下的不变性:在不同放大倍数上的性状相似.包括几何结构与形态,过程,信息,功能,性质,能量,物质(组份),时间,空间等特征上,具有自相似性的广义分形．自相似性的数学表示为:f(λr)=λαf(r),或 f(r)～rα.其中λ称为标度因子,α称为标度指数(分维),它描述了结构的空间性质.函数f(r)是面积,体积,质量等占有数,量等性质的测度．
一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的,或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似.另外,在整体与整体之间或部分与部分之间,也会存在自相似性.一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式,而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合.但是,表征自相似系统或结构的定量性质如分形维数,并不会因为放大或缩小等操作而变化[这一点被称为伸缩对称性],所改变的只是其外部的表现形式.自相似性通常只和非线性复杂系统的动力学特征有关．
人们在观察和研究自然的过程中,认识到自相似性可以存在于物理,化学,天文学,生物学,(中医,针灸,经络)材料科学,经济学,以及社会科学等众多学科中,可以存在于物质系统的多个层次上,他是物质运动,发展的一种普遍的表现形式,即是自然界的普遍规律之一.但是科学工作者真正把自相似性作为自然界的本质特性来进行研究还只是近一,二十年的事．
（2）标度不变性(无特征长度)
一个具有自相似性的物体(系统,事物)必定满足标度不变性,或者说这类物体没有特征长度．标度不变性是指在分形上任选一局部区域,不论将其放大或缩小,它的形态,复杂程度,不规则性等各种特性均不会发生变化,所以标度不变性又称为伸缩对称性.
标度不变性(无特征长度)：具有自相似性的系统,物体,事物必定满足标度不变性,或者说这类形体没有特征长度——没长短，面积,体积等．特征长度是指所考虑的对象中最具代表性的尺度,如空间的长,宽,高,及时间的分,秒,时等.标度不变性是指在分形上任选一局部区域,不论将其放大还是缩小,它的结构,形态,性质(功能),复杂程度,不规则性等各种特性均不会发生变化(或是统计性的),故标度不变性又称为伸缩对称性.此空间称无标度空间，其内是分形,范围以外就不是分形了,它有有限与无限之分．
对于实际的分形体来说,这种标度不变性只在一定的范围内适用．人们通常把标度不变性适用的空间称为该分形体的无标度空间.在此范围以外，就不是分形了．
（3）层次性,递归性
自相似性是不同尺度上的对称,是跨层次的共性观(分形元,不变性)--同样形态在不同尺度,不同层次上的相同,或相似结构的重复构建与变换,其结构套着结构,特征或结构隐含嵌套,具有多层次性和递归性．
（4）自仿射性
自相似系统是局部与整体在不同方向上的缩放,拉伸的拷贝,其比例都是同一的,是常数.而自仿射系统,其在各方向上的伸缩,拉放拷贝的比例不同．
（5）分形元－初始元－生成元
是构成分形整体,相对独立的,放大与缩小均不改变,及共同相似的基本部分,即相似单元,相似单位,或是变换中不变性(共性)的共同的,最基本的,简单的结构,性质的单位或单元,是整体与局部共性的统一体.
分形性就是分形性质的统合,如自相似性和标度不变性,分数维性等．
（6）分形元－支(枝,肢),岔(叉,杈)
如五行的“金，木，水，火，土”就是五行分形元的五个分形元支，五杈；阴阳有两个分形元支等．
分形图形一般都比较复杂，其复杂程度可用分形维数去定量描述．现在有不少维数的定义，其中最容易理解的且与分形维数有密切关系的是相似维数．一般地说，如果某图形是由把全体缩小为1／a的aD个相似图形构成的，那么此指数D就具有维数的意义．此维数被称之为相似维数．相似维数只对具有严格自相似性的有规分形才适用，使用范围有限．所以定义对所有集都适用的维数是很有必要的．Hausdorff维数就是这样一个最有代表性的维数，它适用于包括随机图形在内的任意图形．如测定某集的测度的单位半径为r,则测定的结果N（r）将满足下式：N（r）＝Cr-DH∝r-DH式中的C为常数，则该集的维数为DH,该维数称为Hausdorff维数．不过，Hausdorff维数在许多情况下难以用计算的方法来计算或估计．因此，在实际应用中较少采用Hausdorff维数，而采用便于计算的相似维数等．
分形原理
(1)自相似原理
(2)积和原理: 对S1∩S2=0的分形子集 Df=D1+D2.
(3)加和原理: 如果分形子集S1∩S2=S,则Df=D1+D2-d.
(4)合并原理: 分形集S=Sa+Sb,Da>Db,则Ds=Da.
(5)匹配原理: 若想S1∪S2→S,需D1=D2 (=Ds).
(6)级差原理: Si∈S,i是级次(层次).
(7)自仿射原理
*(8)互补原理: S∪S'=U=1,S∩S'=0,S与S'互补.
分形几何与解析几何的关系(经络定位)
分形几何与欧氏几何类似,是研究或考察物体形状的几何学,不象解析几何可以通过坐标A(x,y,z)进行定位.不过将来的"解析分形几何"应该可以有双重作用.
生命现象和社会现象都是复杂现象，具有复杂现象的系统成为复杂系统．如生命繁殖过程是一个复杂的过程，生命系统是一个复杂系统．所有复杂系统都存在三个基本特征：
１．复杂系统有许多基本单元(称之为细胞)组成．
２．每个细胞的状态只有极少数几种．
３．每个细胞的状态随时间的演变只随其邻居的细胞状态决定．
例如：雪花的生成过程由其邻居的冰象和汽象决定根据这三个特征，通过各细胞的局部相互作用，整体上可以显示出多种多样的复杂形态．生命繁殖过程也不例外，在计算机上按此三个基本特征可以模拟演示繁衍过程．在繁衍过程中产生大量的艺术图案．
产生分形的物理机制
一般认为非线性,随机性,以及耗散性是出现分形结构的必要物理条件. 非线性是指运动方程中含有非线性项(迭代),状态演化(相空间轨迹)发生分支,是混沌的根本原因. 随机性分为两大类,即噪声热运动和混沌,它们反映了系统的内在随机性. 而随机性系统未必就是完全无序的.耗散性强调开放性,研究熵变的过程和机制,即传统的无序熵增过程,及未来的有序熵减过程,宇宙的“有序与无序,物质与能量与信息的相互转换的两大循环”．
系统产生分形结构的充分条件是“吸引子(Attractor)”,不严格地说, 一个吸引子就是一个集合,并且使得附近的所有轨道都收敛到这个集合上.非线性耗散系统能产生无规运动, 耗散系统的无规运动,最终会成为趋向吸引子的无规运动,而无规运动的吸引子(结果)便是相间的分形结构.奇怪吸引子的产生必须以系统发生的失稳为前提,如对称破缺等. 涨落形成波动,具有周期性的波动,单个周期是简单有序,周期3便是混乱(混沌)．
分形和混沌关系
分形和混沌动力学之间的联系很快就被发现了．混沌的奇怪吸引子都是分形．结构的复杂性使现实世界出现了大量分形几何形体，也使确定性动力学体系出现无规性．奇怪吸引子都有层次的自相似性．无穷相似结构互相套叠起来，就相当于没有规则结构，所以“无穷嵌套的自相似结构”呈现出总体的混沌．非线性动力学系统一旦进入混沌吸引子区域，就会随机地在吸引子内部四处游荡，但又不能充满整个区域，区域内存在着无穷多的随机空隙，从而使整个混沌区出现维数上的“空洞”，呈现分数维数．洛仑兹吸引子就是三维背景空间中的一张分形曲面，其容量维等于2.06；若斯勒吸引子也是三维背景空间中的一张分形曲面．所以，“分形几何学”和“分维”概念已经成为混沌学研究的重要工具．
分形与混沌理论的关系密切,多是以自组织系统为其研究对象的,而含义又各不相同．自组织现象,常常是时空有序的结构,是复杂的系统, 用传统的简化方法无法解决.所以,要依靠新的研究复杂性的方法来处理,混沌与分形就首当其冲．混沌中有时包容有分形, 而分形中有时又孕育着混沌．分形更注重形态或几何特性,图形的描述．混沌更偏重数理的动力学及动力学与图形结合的多方位的描述和研究.分形更看中有自相似性的系统,而混沌涉及面似乎更广,对所有的有序与无序,有序与有序现象都感兴趣.特别是混沌中的分叉, 分支现象与分形关系最密切.而有些混沌系统自相似性未必特别显眼, 分形恐怕就难涉足了．分形可以是混沌研究中一种手段或方法等等．总之,目前要较详细和系统地阐明分形与混沌的关系及差异, 还比较困难,还有待混沌与分形理论进一步的深入拓展,完善和趋细．
不知该说些什么。。。。。。就是谢谢
这个透彻着梦幻光芒的"惟有爱" 抱枕，在夜色中正透出令我们宁静的安全、温馨的气息，透着一份久违的淡淡感动、宠爱，不禁让我们一见钟情，满心欢喜。
让女生爱不释手的温馨圣诞礼物！
这个透彻着梦幻光芒的"惟有爱" 抱枕，在夜色中正透出令我们宁静的安全、温馨的气息，透着一份久违的淡淡感动、宠爱，不禁让我们一见钟情，满心欢喜。
让女生爱不释手的温馨圣诞礼物！
No comments:
Post a Comment