守恒流 .如將 Jμ的每一分量乘與能量E , 便得到能量動量四度向量. 我們可以看出，對於給定的 P, 這種流還可正可負，這樣的性質除非電流莫屬.

守恒流

狄拉克方程的一個新表像

　

昆明理工大學理學院 張俠輔

(

張俠輔和蔡昌斐都是雲南大學理論物理專業同學，初期大家共同研究這個課題)

　

摘要

：作者找到了一個狄拉克方程的新表像。在這個表像中，除開普通空間的自旋, 還把第二內稟自旋自然地包含于方程之中，這個第二內稟自旋應該就是同位旋。並且，這個方程包含了更多的對稱性，可能?解決強相互作用問題找到一條新的途徑。

　

　

1. 引言
3. 
   
   狄拉克方程是量子力學和量子場論的基本方程, 在很多場合它已經被人們使用了一個相當長的時間。但是在過去的日子裏，一般人只管應用它, 而沒有誰去猜測它的表像是否是一個好的表像，更沒有人去懷疑它是不是正確. 經過長期研究, 作者找到了一個狄拉克方程的新表像，在這個表像中，除開普通空間的自旋, 還把第二內稟自旋自然地包含于方程之中。我們知道，基本粒子只可能有兩種旋，一種是自旋，一種是同位旋。這樣就把同位旋作?第二內稟自旋自然地設置于方程之中，不需要在後來單獨加入。並且，這個方程包含了更多的對稱性，可能?解決強相互作用問題找到一條新的途徑。從這個方程我們看出, 所有的自旋?1/2的粒子都既包含有自旋, 又包含有同位旋。 這個方程的解的數目多於原來的方程, 因此, 也許原先不同的幾種粒子, 在此方程中只須用不同的狀態來加以區別.
   　
4. 狄拉克方程的新表象

我們已經很熟悉2×2泡利自旋矩陣:

| 0 1 | | 0  | | 1 0 |

| 1 0 | | i 0 | | 0 -1 | （2。1）

我們指出, 除開這三個2×2泡利自旋矩陣, 我們能夠找出一對矩陣組,每組包含三個4×4

矩陣, 每組中三個4×4矩陣的性質, 恰巧與2×2泡利自旋矩陣（2。1）的性質完全相同.

由三個4×4矩陣組成的第一矩陣組

?:

| 0 0 0 | | 0 0 i 0 | | 0 0 0 |

| 0 0 -i 0 | | 0 0 0 -i | | i 0 0 0 | (2。2)

| 0 i 0 0 | |-i 0 0 0 | | 0 0 0 |

| i 0 0 0 | | 0 i 0 0 | | 0 0 i 0 |

由三個4×4矩陣組成的第二矩陣組

?:

| 0 0 0 i | | 0 0 i 0 | | 0 0 0 |

| 0 0 -i 0 | | 0 0 0 i | | i 0 0 0 | (2。3)

| 0 i 0 0 | |-i 0 0 0 | | 0 0 0 i |

|-i 0 0 0 | | 0 -i 0 0 | | 0 0 -i 0 |

這兒 i=√-1 . 所有這些矩陣是厄米特矩陣. 我們記第一矩陣組用算符σ₁ ,σ₂ ,σ₃ ，記第二矩陣組用算符τ₁ ,τ₂ ,τ₃ , 它們能夠被表示

?向量算符σ 和τ. 亦即: σ=[σ₁ ,σ₂ ,σ₃],τ=[τ₁ ,τ₂ ,τ₃ ].這對算符σ 和τ 的運算法則能夠從第一矩陣組(2。2)和第二矩陣組(2。3)得出:

σ_i = σ_i^＋ σ_iσ_j

+ σ_jσ_i = 2δ_ij

σ₁σ₂ = iσ₃ σ₂σ₃ = iσ₁ σ₃σ₁ = iσ₂

(2。4)

τ_i = τ_i^＋ τ_iτ_j + τ_jτ_i = 2δ_ij

τ₁τ₂ = iτ₃ τ₂τ₃ = iτ₁ τ₃τ₁ = iτ₂

算符σ 和τ 的性質, 恰巧與2×2泡利自旋矩陣的性質相同.此外還有一個特別重要的性質, 即第一矩陣組的每個矩陣和第二矩陣組的每個矩陣對易:

σ_iτ_jn_jσ_i = 0 (2。5)

有了這一隊算符σ 和τ以後，我們便能夠利用算符的上述性質, 對狄拉克方程加以改造。使其表像更加合理。一般的狄拉克方程能夠寫

?:

(γ_μ

e_μ + m )ψ = 0 （2。6）

這裏並未給出方程的表像. 即沒有具體給出算符γ_μ用怎樣的矩陣來表示. 沒有給出具體表像之前的方程，可稱

?一般的狄拉克方程。但是這裏的算符γ_μ 必須滿足反對易關係:

γ_μγ_ν + γ_νγ_μ = δ_μν （2。7）

我們提出的表像是要用算符σ 和τ 按如下的規定替換算符γ_μ :

γ₁ =τ₁σ₁ γ₂ =τ₁σ₂ γ₃ =τ₁σ₃ γ₄ =τ₂ （2。8）

由運算規則(2。4)和(2。5), 我們能夠證明這樣的規定(2。8)遵守反對易關係

(2。7):

γ_iγ_j + γ_jγ_i=(τ₁σ_i)(τ₁σ_j)+(τ₁σ_j)(τ₁σ_i) =σ_iσ_j+σ_jσ_i = 2δ_ij

γ_iγ₄ + γ₄γ_i=(τ₁σ_i)τ₂ +τ₂(τ₁σ_i) =σ_i(τ₁τ₂ +τ₂τ₁) = 0

（2。9）

這樣規定以後，把（2。8）代入方程(2。6)，一個新表像即被建立起來

(τ₁σ₁

e₁ +τ₁σ₂ e₂ +τ₁σ₃ e₃ +τ₂ e₄ + m ) ψ = 0 （2。10）

方程（2。10）即是作者找到的新的狄拉克方程. 在此方程中，並不存在時間座標與空間某一方向的座標之間的對稱性。要講對稱性的話，僅當我們把整個空間作

?一個統一的整體，才談得上空間和時間之間的對稱性。因此，我們在相對論中形成的時空概念，在此方程中要作些微改變。

在羅倫茲變換下，時空座標作如下變換：

x_μ^′ = α_μν x_ν （2。11）

方程（2。6）的相對論不變性要求算符γ_μ 滿足變換關係

γ_μ^′ = α_μνγ_ν = Λ^-1γ_μΛ （2。12）

對於無限小變換，我們已經熟知如下的關係

α_μν =δ_μν +ε_μν ε_μν = -ε_νμ

Λ= 1 +ε_μνS_μν/2 Λ^-1= 1 `_μνS_μν/2

S_μν = (γ_μγ_ν - γ_νγ_μ)/4 = -S_νμ

（2。13）

利用算符σ 和τ 的性質（2。4）和（2。5），在（2。13）中將規定（2。8）代入，便可算出 S_μν在新表象中的表

?式

S₁₂ = iσ₃ /2 S₂₃ = iσ₁ /2 S₃₁ = iσ₂ /2

S₁₄ = iσ₁τ₃ /2 S₂₄ = iσ₂τ₃ /2 S₃₄ = iσ₃τ₃ /2

（2。14）

注意到 ε_ij =ε^＊_ij 和 ε_i4 = -ε^＊_i4 , 我們得到

τ₁Λ^＋τ₁ =Λ^-1 τ₂Λ^＋τ₂ =Λ^-1 （2。15）

可見變換算符 S_μν 和 Λ 已經不同于原來的表示，並且比原來的表示更完美。在羅倫茲變換下，方程（2。6）的相對論協變性可以用算符 S_μν 的運算式（2。14）加以驗證。

　

3. 在新表象中的狄拉克方程的解

我們用算符τ₁ 左乘新的狄拉克方程（2。10）。此方程變成一個更加對稱的形式

(σ₁

e₁ +σ₂ e₂ +σ₃ e₃ + iτ₃ e₄ + τ₁ m ) ψ = 0 （3。1）

我們用分離變數法尋找方程（3。1）的一個特解ψ，它能夠分解成三個一元函數的乘積

ψ = ψ(σ)ψ(τ)ψ(x) = ψ_σψ_τψ_x （3。2）

一個一般的解能夠寫成有限或無限個這樣的特解之和。 這兒 ψ_σ 和 ψ_τ 分別屬於σ和τ的函數，而

ψ_x = C₁ exp(ix_μP_μ) （3。3）

將（3。3）代進（3。2），再將（3。2）代進（3。1），方程（3。1）化成

( iσ₁ P₁ + iσ₂ P₂ + iσ₃ P₃ -τ₃ P₄ + τ₁ m ) ψ = 0 （3。4）

這個方程能夠被重寫

?較?簡潔的形式

iσ·P ψ = (τ₃ P₄ - τ₁ m ) ψ

（3。5）

這裏動量向量P=[P₁，P₂，P₃]。用（3。2）式同除上式兩邊，我們得到

iσ·P ψ_σ (τ₃ P₄ - τ₁ m ) ψ_τ （3。6）

　

---

---

ψ_σ ψ_τ

既然方程（3。6）的左邊僅僅與σ有關，右邊僅僅與τ有關，兩邊必定是等於同一個常數。我們把這個常數記

? i2PS, 最後（3。6）式分離成兩個方程:

iσ·P ψ_σ = i2PS ψ_σ （3。7）

(τ₃ P₄ - τ₁ m )ψ_τ = i2PSψ_τ

（3。8）

我們首先尋找方程（3。7）的解，與此方程相對應的久期方程是

Det ( i2PS - iσ₁ P₁ - iσ₂ P₂ - iσ₃ P₃ ) = 0 （3。9）

將表徵算符σ的第一組矩陣代入上式，得到一個四階行列式如下：

i2PS –P₃ P₂ –P₁

P₃ i2PS –P₁ –P₂

–P₂ P₁ i2PS –P₃

P₁ P₂ P₃ i2PS （3。10）

經過簡單計算得到

[ (2PS) ²

– ( P₁² + P₂² + P₃² ) ] ² = 0

2PS =

±√ P₁² + P₂² + P₃²

（3。11）

可見，此方程的本征值是簡併的。方程（3。7）是動量和自旋二者的本征值方程。我們求解此方程時，既得到了S的值，又得到了P的值. 本征值S是自旋 S = σ/2 在動量 P的方向的投影。本征值P是我們熟知的動量向量 P的模，因此我們得到

P =√ P₁² + P₂² + P₃² S =

±1/2 （3。12）

將上面的解（3。12）代回方程（3。7）我們得到四個相互正交的波函數:

P₁ P₁

1 P₂ 1 P₂

　

---

---

﹟2 P P₃ (S=1/2) ﹟2 P P₃ (S=-1/2)

iP -iP

（3．13）

i( P ²-P₁²) -i(P ²-P₁²)

1 -P₃P-iP₁P₂ 1 -P₃P+iP₁P₂

　

---

---

﹟2(P ²-P₁²)P P₂P-iP₁P₃ (S=1/2) ﹟2(P ²-P₁²)P P₂P+iP₁P₃ (S=-1/2)

1. 0

方程（3。7）的解不是唯一的，我們能夠找到一些其他的相互正交的四個波函數ψ_σ^μ, 它們都能滿足方程（3。7）.

我們現在尋找方程（3。8）的解。用τ₃ 乘（3。8）的兩邊，移項後得：

( iτ₃ 2PS + iτ₂ m )ψ_τ = P₄ψ_τ （3。14）

上面的方程是 P₄ 的本征值方程. 與方程（3。7）類似, 此處的P₄ 不僅表示能量的本征值，而且也包含算符τ 在時間座標上的投影的本征值，因此我們將它記

? P₄=i2ET, 於是方程（3。8）最後被寫成

( iτ₃ 2PS + iτ₂ m )ψ_τ = i2ETψ_τ

（3。15）

相應于方程（3。15）的久期方程是

Det ( i2ET - iτ₃ 2PS - iτ₂ m ) = 0

（3。16）

將算符τ的矩陣表示（2。3）代入上式, 當 S=1/2 時，上面的公式給出

i2ET - P m 0

P i2ET 0 m

- m 0 i2ET P

　

---

0 - m -P i2ET （3。17）

求解此行列式得到

[ (2ET) ²

– ( P² + m² ) ] ² = 0

2 E T =

±√ P² + m²

（3。18）

這組解也是簡併的。 方程（3。15）是能量和第二內稟自旋算符τ的本征值方程。此處本征值 T 代表第二內稟自旋 T=τ/2 沿空間時間座標系統第四軸的投影， 而本征值 E 則是我們熟知的能量。由此可見，這裏不存在所謂的“負能解困難”。如下的解是合理的：

E =√ P² + m² T =

±1/2 （3。19）

把結果（3。19）代回方程（3。8），我們得到四個相互正交的波函數:

iE P

1 -P 1 -iE

　

---

﹟

---

2 E m (T=1/2) ﹟2 E 0 (T=-1/2)

0 m

（3．20）

　

0 m

1 m 1 0

　

---

﹟

---

2 E P (T=1/2) ﹟2 E iE (T=-1/2)

-iE -P

　

和方程（3。7）一樣，方程（3。8）的解也不是唯一的，我們能夠找到一些其他的相互正交的四個波函數ψ_τ^μ. 當S=-1/2時，只需把方程（3。17）和解（3。20）中的P 用-P 代換，其餘保持不變。如果我們用

ψ_x = C₂ exp(-ix_μP_μ) （3。21）

代替式（3。3），只需把方程（3。17）和解（3。20）中的m 用- m 代換，其餘保持不變即可。既然每組解ψ_σ 和ψ_τ 包含四個相互獨立的波函數，作

?方程（3。1）的解的波函數ψ, 它是ψ_σ和ψ_τ的乘積，將包含16個狀態波函數。 所以，方程（2。10）的解應該是描述我們原來稱之?粒子體系的東西。也就是說，在此方程中，我們可以把一些不同的粒子，看成是同一粒子的一些不同的狀態。

　

4. 守恒流

從算符σ和τ的性質我們看出，不存在由σ_i 和τ_j構成的張量，也就是說它們根本構造不出張量 ，這是與實驗事實相符合的。根據式（2。15），我們能夠假設

ψ = ψ^＋τ₂ （4。1）

如果ψ_τ 是方程（3。8）的解，那么ψ_τ^＋τ₂ 也是方程（3。8）的解:

ψ_τ^＋τ₂ (τ₃ P₄ - τ₁ m ) = i2PSψ_τ^＋τ₂ （4。2）

我們定義四維的流密度向量

?

J₁ =ψγ₁ψ=ψτ₁σ₁ψ=-iψ^＋τ₃σ₁ψ

J₂ =ψγ₂ψ=ψτ₁σ₂ψ=-iψ^＋τ₃σ₂ψ

J₃ =ψγ₃ψ=ψτ₁σ₃ψ=-iψ^＋τ₃σ₃ψ

J₄ =ψγ₄ψ=ψτ₂ψ=ψ^＋ψ

（4。3）

上面的式子能夠被重寫

?

J_i =ψ^＋τ₃σ_iψ J₄ =iρ=iψ^＋ψ

（4。4）

注意到 ψ=ψ(σ)ψ(τ)ψ(x)=ψ_σψ_τψ_x 和 ψ_x^＋ψ_x=1(orδ),既然這些解ψ_σ ，ψ_τ 以及 ψ_x 都是從分離變數法得來的，它們應該相互對易，因此我們有

ψ^＋τ_iσ_jψ=(ψ_τ^＋τ_iψ_τ)(ψ_σ^＋σ_jψ_σ)

（4。5）

我們可以找出 J_μ 的一個特解，這只要把我們已經找到的ψ_σ 和ψ_τ，亦即上面已經給出的特解（3。13）和（3。20）代入（4。4）中。我們首先計算（4。5）的每個因數，得到

ψ_σ^＋σ_iψ_σ = P_i/P when S=1/2 ψ_σ^＋σ_iψ_σ = -P_i/P when S=-1/2

ψ_τ^＋τ₃ψ_τ = P/E when T=1/2 ψ_τ^＋τ₃ψ_τ = -P/E when T=-1/2

（4。6）

將（4。6）代入（4。4），便得到四維空間的流密度向量

J_i = P_i/E when S=1/2 and T=1/2 or when S=-1/2 and T=-1/2

J_i = - P_i/E when S=1/2 and T=-1/2 or when S=-1/2 and T=1/2

J₄ = i

（4。7）

如將 J_μ的每一分量乘與能量E , 便得到能量動量四度向量. 我們可以看出，對於給定的 P, 這種流還可正可負，這樣的性質除非電流莫屬. 從表示流的這些式子我們看到，流的正負不僅與S有關，而且與T有關。因而T 應當是與電荷相關的一個算符，才會影響到流的符號。

我們能夠從σ和τ的運算規則推導出γ₅在新表像下的形式：

γ₅ =γ₁γ₂γ₃γ₄ = τ₁σ₁τ₁σ₂τ₁σ₃τ₂ = -τ₃ （4。8）

四維空間的流密度膺向量可以表示

?

j₁ =ψγ₅γ₁ψ= -ψτ₃τ₁σ₁ψ=-iψ^＋σ₁ψ

j₂ =ψγ₅γ₂ψ= -ψτ₃τ₁σ₂ψ=-iψ^＋σ₂ψ

j₃ =ψγ₅γ₃ψ= -ψτ₃τ₁σ₃ψ=-iψ^＋σ₃ψ

j₄ =ψγ₅γ₄ψ= -ψτ₃τ₂ψ=ψ^＋τ₃ψ

（4。9）

上面這些式子可簡寫

?

j_i =ψ^＋σ_iψ j₄ = iψ^＋τ₃ψ （4。10）

把解（3。13）和（3。20）代入（4。10）可以得到j_μ 的一個特解

j_i = P_i/P when S=1/2 j_i = -P_i/P when S=-1/2

j₄ = iP/E when T=1/2 j₄ = -iP/E when T=-1/2

（4。11）

我們看到，向量流（4。4）是由純粹的帶電粒子形成的，我們稱這種流

?電流。當有中性粒子參與在流中，我們假定，它將是向量和膺向量流二者之和：

J_μ⁰ = J_μ + j_μ

（4。12）

或者把它重新表示

?

J_i⁰ = ψ_τ^＋(1+τ₃)ψ_τ(ψ_σ^＋σ_iψ_σ) J_i⁰ = iψ_τ^＋(1+τ₃)ψ_τ （4。13）

注意到流向量J_μ⁰的每一分量都有因數ψ_τ^＋(1+τ₃)ψ_τ，因此，對於電磁相互作用，我們可以認

?這個因數?零，從而使J_μ⁰=0。對於弱相互作用，這個因數不?零，而且這個因數是第二內稟自旋的提升和下降算符，亦即對應於ΔT=1/2的算符。在弱相互作用中有個同位旋ΔI=1/2選擇定則。這是第二內稟自旋對應於同位旋的又一個例證。顯然，這個因數使一個帶電粒子轉變?不帶電的粒子，或者相反，使一個不帶電粒子轉變?帶電粒子。

　

5. 自旋σ和第二內稟自旋τ的電磁勢

當存在電磁場時，狄拉克方程中的運算元

e_μ 應由D_μ代替，且 D_μ=e_μ-ieA_μ . 狄拉克方程被表示?

(γ_μD_μ + m )ψ = 0

（5。1）

用算符(γ_λD_λ- m )左乘（5。1）式，

?出

(γ_λγ_μD_λD_μ - m² )ψ = 0

（5。2）

顯然

γ_λγ_μ=δ_λμ+(γ_λγ_μ - γ_μγ_λ)/2 =δ_λμ- 2S_λν （5。3）

交換啞指標字母，並注意S_λμ的反對稱性，我們得到

S_λμD_λD_μ= - S_λμD_μD_λ= S_λμ( D_λD_μ-D_μD_λ)/2 （5。4）

進一步的運算給出

D_λD_μ-D_μD_λ=ie(

e_λA_μ-e_μA_λ)=ieF_λμ （5。5）

因此方程(5-2)最後能夠被表示

?

( D_μD_μ + ieS_λμF_λμ - m ² )ψ = 0 （5。6）

方程(5-6)比克萊茵-高登方程多了一項ieS_λμF_λμ。 用 S_λμ的運算式（2。14）代入這項，並將電磁場張量的各分量F_λμ換成用電場 E 和磁場 B 的分量表出, 我們最後得到

ieS_λμF_λμ = -eσ·B + ieτ₃ σ·E

這項稱

?電磁勢，其作用是使粒子極化。即這項的作用是使得粒子自旋轉向與外場方向平行或反平行的方向。從這項我們可以看出，不僅磁場能夠極化粒子，而且電場也能夠極化粒子。

　

　

考文

[1] L.D.Landau and E.M.Lifshits, Quantum Mechanics (1948)

[2] V.A. Fok, The Principles of Quantum Mechanics (1932)

[3] P.A.M.Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford (1957)

[4] M.Gell-mann & Ne’eman The Eightfold Way, New York (1964)

[5] Leonad I.Schiff Quantum Mechanics (1949)

[6] Albert Messiah Quantum Mechanics (1958)