第21卷第4期
2001年l2月
宝鸡文理学院学报(自然科学咂)
Iou rnal 0 Eaoii College of Arts and Science(NatuTaI Sci e一)
Voj．21 N0，4
Dec 2001
三维空间场可引人几个“度’’
王永钤 ，庞碧君 ，彭卫民
(1．洛阳师范学院物理系，河南洛阳471022；2．洛阳轴承集团公司职工大学河南洛阳471039)
摘要：对擞分的外乘积、外微分形式做1初步的介绍．运用它同三维空闻的梯度、旋度、散度相对
应，指出在三维空间中只可引八梯度、旋度、散度，除此之外不可能再引八其它与之相对应的“度”。
关键词：外擞分形式；梯度；旋度；散度
中圉分类号：O411．1 文献标识码：A 文章编号：1007—1 261(2001)04—0281—03
Three dimensions can be introduced to three coor~linate place
WANG Yong—qian ，PANG Bi—jun ．PENG Wei—rain
(1．Dept．Phys．·Louyang Teachers College，Louyang 471022·Henan，China；
2 The Staff and Workers University of Luoyang Bearing Corporation．I．uoyang 471039，Heaan，China)
Abstract：Exterior differential form and differential exterior products is shortly introduced．The
relevant relationship between them and gradient，divergence，curl of three coordinate place is pointed
OUt．The conclution of the paper is，only concepts of gradient，divergence and curl can be introduced to
the three coordihate place．Any other concept．such as‘’dimension”is unnecessary and impossible．
Key words：exterior differential from ；gradient；divergence；curl
外微分形式 是表述自然界物理规律的必
不可少的一种数学工具，经典力学、光学 电磁学
和相对论方面有许多应用，也广搓地应用于纯粹
数与应数数学口]。然而目前，国内还没有一本物理
教科书采用这种表述方式，只有少数的国外出版
物采用这种表述方式。它的某些性质许多人还不
了解，本文从高等数学积分学中的微分表达式，逐
步介绍微分的外乘积和外微分形式以及它在三维
空间的表述。将外微分形式的一次式、二次式、三
次式分别与三维空间场的梯度、旋度、散度相对
应，
1 微分形式 ]
在高等数学中有下面的积分，这些积分中的
被积函数又是微分形式。
1．1 线积分
fAdz+Bdy+Cd。 (1)
上为一条空间曲线，在物理学中变力作功的问题
设质点沿空间曲线上由 点运动到B点，在点(
Y，2)处受力F= F(x，Y，2)，则功 为：
W — I Fdf
)
(2)
其中：F— A ，Y，z)i+ B(x，Y． ) + C(x，Y，
￡) ． dl=dxi+ dy]+ dzk
则W — lAdx+Bdy+Cdz (3)
矗
(1)、(3)两式出现了微分d 、d1y、d2的一次式，记
为W = Adx+Bdy+Cdz，W1称为一次微分形
式。
1．2 面积分
丌P z+Qd dx+Rdxdy ㈨
·
收稿日期 2001—04—1 B 修回日期：2001—05—09
基金项目：洛阳师范学院固体氧离于导体结构 能和机理的研究资助项目(SZ9902)
作者简升 王永钤(1 6)，男 河南平舆人，副教授，研究方向：固体氧离子导体。
282 宝鸡支理学院学报(自然科学版) 2001正
S为空间曲面。
在物理学上通量的计算问题。矢量场v=
Pf+ Q + Rk在球面z + y 一 。一d：的外法
线方向的通量为
V·ds一~SPdyd 十Qdzdx+Pdordy (5)
括1 ≈1
(4)、(5)两式出现了微分d 、d 、dz的二次形式，
记为W2一Pdydz 4-Qdzd：c+ Rdxdy．W2称为二
次微分形式。
1．3 体积分
⋯Hdxdydz (6)
物理学上计算分布不均匀的物体所带电荷
q，密度分布不均匀的物体的质量等。若在空间体
积 电荷分布为p(x，-)r，。)，求体积 内带的电荷
q。
一 H dordydz ㈩
H — P( ，Y， )为在空间点的电荷密度。如一
dxdydz为在空间点的小体积元。(6)、(7)两式出
现了微分 、 、d 的三次形式，记为：Ws—
Hdxds,dz，W。称为三次微分形式。
在我们讨论的三维空间中，能出现的微分形
式就是这3种，再加上零次微分形式就是函数的
本身，这些形式记为
Wo—f(x、-)r、：)，W1一Adx+ Bdy+ Cdz，
W2一Pdydz+ Qdzdx 4-R&rdy，
W 3一H dxd ￡
从上面几种微分形式中，没docdx，dydy，
dzdz，dxdJ：dx，dydydy，dzdzdz等。也就是说不含
有 + ， 的重复项，每一形式只包含不同的
dx，dy，dz的项。
在高等数学中，对线、面积分的区间或区域都
是有方向的。在二重积分的换元法则用到的雅可
比行列式时．我们总是取绝对值，但对于确定方向
的曲面就没有必要了，即此时
— x(u，口)， — y(u， )
Ⅲ ds— dxdy—
l塑 墼l
d d口一
I 3u !d
OI．u J型 盟J
l 3u I
从这里可知：① 若取 一 +则
d d 3u
3u
ar
曲
② 如果将o72"． 对换位置，
型 l ar gsc
越
d d
即dxdy一一dyd：r．此时dy&r≠d d ．也就是说
微分乘积中的次序是不能交换的，若交换就要变
号。
从上面的讨论我们很自然地引入微分的外乘
积满足
① dscdx一0 ‘djld-)r一0 dzdz— o)
② dxdy— 一d ，
(dxdz一——dzd=r dydz一——dzdy)
阻上两条规则的微分乘积称为微分的外乘积
为了有所区别用“^”联接 dxdy记为dx^
dy．上面两条规则写为
① dx^dx一0
(dy ^ dy 一0 dz ^ dz一0)
@ dx^dy一一dy^dx
(dx ^ dz一一dz ^ d．r
dy ^ dz一一dz ^ dyj
以上两条可并为一条．即
dx ^ dy 一一dy ^ dx
而dx^dx一0只是，卟推论 当dy dx．
Ⅲ4 dx^dcr一一dx^d,r，即dx^d 一0。
从上面的规定可 看出微分的纠、乘积同普通微分
是不同的，普通微分乘积可以交接次序。在矢量分
析中两矢量n，b的外乘积服从口× 口一0，
4×b一一 × n．微分的外乘积同矢量的外乘积
类同。
微分的外乘积的运算法
① d ^dy一一dy^d
② (dx+dy)^d2一dot^dz+dy九dz
③ (dx ^dy)^dz= dJ^ (dy^dz)一
dx ^ dy ^ dz
④ (问 ^gdy)一fg(d3c^dy) (，+g
为 ，y的函数)
⑤ d ^dy^dz^dz⋯一0 (其中有2个
变量相同时)
为了书写方便我们仍将“^”外乘积的符号
省去不写而用dx^dy—dxd~,．对于多变量空间
用 ．表示多元变量i 1+2，⋯”，那么
d：r】^ d：r2^ ⋯ 一dx1dj!⋯dsc
外微分形式定义：微分的外乘积乘上函数组成的
d
d
而 一
第4期 王永钤等三维空间场可引凡几个 度” 283
微分形式祢为外微付彤式
定义零次外微分形式 = fCr．y，。)
一
次外微分形式 ” 一Adx+ Bdy+Cdz
二次外微分形式 =Rdx^dy十Pdy^
d + Qdz^dx
三次外微分形式 ” = Hdx^dy^de
粪似于高等数学方法，对外微分形式 可以定义
外微分算子d，它是这样定义的，对函数f(x．Y，
定义 =df= 一 +
若令A一 ，B= ，c 一 ，则上式为
d／ 一Adx+ Bdy+ Cdz
即d，一 “ 一Adx+ Bdy+ Cdz，即
d ‘。 “
定义d ⋯一dA ^dx+ dB A dy+ dC A dz
A、B、C为 ，Y， )的函数
dA一 口dz+詈[九t d + dz．出
dB 一3 Bd + d + O Bd2
V (
dc一 口d +詈[九td +喜( 出
由定义d ” 等d ^d +差dz^d + d
^ +警出^d 一 dz A d +詈d ^
整理得d --=( 一箬)d A dy+( 一
) A d +( 一喜)d。^d
若令 一箸一篙， 詈一 ，
Q= 一等御 ”一
Rdx A dy+ Pdy ^dz 1-Qd2 A dx一 ”
定义dw 一dR A d A d + d尸A dy A
dz+ dQ ^dz A dx
由于R，P，Q为 ．Y，2的函数
dR： dZ d +蓑d + 3cR钯 d
dP一 3Pd +等d + 3c Pd2
dQ一詈a 十罟 + a。
由定义即外微分的外乘积运算法则，将上式
代入得
=
警如^dz^d +善 ，、dy^d。+
^ 、d ，一
( + 一 )dz ，、d ^ d
令H 一 + + ，则
d 一H dx ^ dy ^ dz= 。’
定义dw” =dH ^dx A dy^dz，H 为 ，
Y， 的函数
dH = 出+ d 一一 d2
[九t (
d ㈤一(3 1td + OH
十
[～ 。
31t出)d A d ^ d2
= O
按此定义的外微分运算，三次以上外微分形
式的外微分为零。因为三维空间只有三个独立变
量一，， ． ，那么三次外微分形式中 d +
+ 3H如同d
，
d ，d2总有2 日同，故和为零。另
外还规定：ddx=ddy= ddz=0
从上述可以看出，外微分算子d与普通的微
分算子是一样的+即对每一项进行运算．在每一项
中分别对每一个因子进行运算，其余因子不动，将
得出的各项相加，不同的是外微分算于是运算之
后进行外乘积，而昔通的微分算子是运算之后进
行通常的乘积。
2 梯度、旋度、散度的外微分形式
由上面定义的外微分彤式，以技外微分算于
d的运算．我们可以看出物理学场论中，梯度 旋
度、散度，可以用外微分形式的外微分表示
d c。)= df一 d + d + d2
c v (
而函数，的梯度为 gradf=笔 。誉 +
梯度与零次外微分形式的外微分相当，它的系数
是梯度的分量。由d co“ =
(萼一等)dz n +( 一警)dy A dz+
c誓～ n a =
I dy^d2 dz^dx dx A dy『
a
3x
A
a
Oy
B
a
斑
C
矢量“= Ai— Bj+ Ck的旋度为
(下转第3l6贯)
3l 6 宝鸡文理学院学报(自然科学版) 2001正
表5 普通大学生身体发育指数比较表
资料来源 性别 体重／kg 身高／cm 肺活量／ml， 克托莱指教 啼活量指数
注：*括号内为青年期的高峰值
随著近几年西部经济的发展，人民的生活水平也得到
了提高．中学生的身体形态较以往有了明显的进步。但由
于高考的指挥棒指挥着方方面面只重视学习，导致学生的
身体缺乏锻炼，未能养成积极参加体育活动的良好习惯．
久而久之，学生们的身体机能 身体素质有所下降。进了大
学檀门后，面对就业的挑战，使这种不良习惯仍未能迅速
得到改变。
3．2 几点建议
(1)加大对体育设施、场地、器材的投^，扩大体育活
动面积，保证体育教学、训练、课外活动的正常开展。
(2)借鉴、学习兄弟院檀已实行数年的成功经验．在
垒校三、四年级中开设体育选修课 填补大学高年缎的体
育空白，引导学生积极主动地进行一些必要的体育锻炼．
以保证三、四年级学生体质不至于下降
(上接第283万)
Curlu=
l
0 a
B
足
a
＆
C
比较可知旋度与一次外微分形式的外微分相
当，它的系数就是旋度的分量。由
d =(篆十署+罢) ^d ^d
矢量v一(P，Q，R)的散度为
aivv=篆+署c～ +
因此散度与二次外微分形式的外微分相当，
它的系数就是散度。
而三次以上外微分形式的外微分为零，很显
然在三维空间中，也就不可能再引入与之相对应
的“度”了，所以从数学角度来推断在三维空间也
(3)结台全民健身计划和终身体育教育的不断开展．
联系学檀的具体实际．大刀闻斧地进行公共体育课的改
革，将那些学生喜闻乐见的项目选为公体课教材．激发学
生的学习兴趣．吸引学生主动、自觉地上课．变 要我练为
我要练”．从而有效地提高公体课教学质量。
参考文献：
[1： 邹{睦豪．全国普通高等学校体育教材理论教程 M]．
大连：大连理工大学出版社．1 993．134—137
[2] 国家体育总局．1997年中国成年人体质监删公报
[J]．体育科学．1 999，(1)：1-3．
[83 江崇民．1997年中国成年人体质监删结果的分析
与研究[33．悼育科学．1999．(4)：B5 B9．
(校对：诸平)
只能有这3个度，即梯度、旋度、与散度
参考文献：
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1981．
[2] VON wEsTENH(儿Z c．Lifferential Forms in
Mathematical Physics[M ]．North Hol[and Pub
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[3] 盛镇华．矢量分析与数学物理方法[M：．长沙：湖南
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[4] 程守蛛，江之永．普通物理学[MlJ_北京：人民教育出
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[5] 四Jll大学数学系高等数学教研组高等数学[M]．』艺
京：人民教育出版社，1978．
(校对：周云波)
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