phymath999: 与单自由度系统不同，n 自由度系统一般有n 个固有频率，因此可能出现n 次共振

Monday, December 10, 2012

与单自由度系统不同，n 自由度系统一般有n 个固有频率，因此可能出现n 次共振

与

单自由度系统不同，n 自由度

系统一
般有n 个固有频率，因此可能出现n 次共振。

第

4 章多自由度系统的振动

实际的物体与工程结构，其质量和弹性是连续分布的，系统具有无限多个自由度。为简化研究

和便于计算，可采用质量聚缩法或其它方法离散化，使系统简化为有限多个自由振动系统，或称为

多自由度振动系统。它的运动需要

n 个独立的坐标来描述。

4.1

变分原理与拉格朗日（Lagrange）运动方程

4.1.1

虚位移原理

在力学中遇到的第一个变分原理是虚位移原理。它是处理力学系统平衡问题的最基本原理，也

是分析力学的基础。

虚位移是指满足

固定在某一时刻的约束条件的、假象的、任意的、无限小位移。对可变形系统，

虚位移

必须满足变形相容条件（连续条件）。即一个系统的虚位移就是这个系统的广义坐标的变分。

假设

一个系统的广义坐标是（q1 , q2 ,L, ql），其间存在非定恒的完整约束

f

k

(t; q1 , q2 ,L, ql ) = 0 (k =1, 2,L, m) (4-1)

若给

系统的位形一虚位移dq，那么，根据定义，虚位移必定在约束面上，即

f

k

(t, q1 + δq1 , q2 + δq2 ,L, ql + δql ) = 0 (k =1, 2,L, m) (4-2)

将式（

4-2）按泰勒级数展开，得到

δ δ δ

( 1, 2, , )

( ,

δ , δ , , δ ) ( ; , , , )

1 1 2 2 1 2

q k m

q

q

q

q

q

t q q q q q q t q q q

k k k

k k

L L

+ =

+ +

+ + + =

高次项

l

l l l

f f f

f f

(4-3)

略去高次项后

，得到虚位移应满足的条件为

δ δ δ

2 δ ( 1, 2, , )

q k m

q

q

q

q

q

k k k

k

L = L

+ +

l

f f f

f

(4-4)

而

系统的位形在dt时间内由q 运动到q +dq时，无限小的位移dq 称为实位移。显然，它也是在

约束面上

的，即

f

k

(t + dt; q1 + dq1, q2 + dq2 ,L, ql + dql ) = 0 (k =1, 2,L, m) (4-5)

展开式（

4-5），略去高次项后，得到实位移应满足的条件为

d d d

2 d d 0 ( 1, 2, , )

t k m

t

q

q

q

q

q

q

k k k k

k

L = = L

+ +

f f f f

f

l

l

(4-6)

从式（

4-4）与式（4-6）中可以看出，满足式（4-6）的dq 不可能满足条件式（4-4），也就是

说

，在这种情况下，系统的实位移与虚位移是不同的。

若

系统的约束条件是定恒的完整约束，即

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f

k

(q1, , q2 ,L, ql ) = 0 (k =1, 2,L, m) (4-7)

则

dfk 与ddfk 没有差别，真实的无限小位移属于虚位移。因此，对于自由质点系，以及只具有定恒

的

完整的约束系统，真实的无限小位移可取作虚位移。

虚位移原理可

表述为：力学系统在某一定位形时，平衡的必要与充分条件是：在此位形上所有

主

动力在任何虚位移上所作的虚功之和等于零。即

δ δ

= =

å=

i i

n

i

A Q q

(4-8)

若广义

坐标（q1 , q2 ,L, qn）是彼此独立的，则平衡条件变为

Q

i

= 0 (i =1, 2,L, n) (4-9)

如果

将广义力Q 与广义坐标q 看作是n 维空间的矢量，那么，式（4-8）表达的就是Q 与q 的

无

向积为零，其几何含义就是：广义力矢量Q与虚位移矢量dq 是正交的。

4.1.2

达朗贝尔（D’Alembert）原理

达朗贝尔提

出了惯性力的概念，把虚位移原理的应用范围从静力学扩展到动力学的领域。达朗

贝尔

原理的普遍叙述方式是：当一个力学系统运动时，只要在主动力上再加上惯性力，它的任何一

个位

置都可以看作是平衡的位置。这样就可以把任何动力学问题按相当的静力学问题来处理。

根据

虚功原理，可以得出达朗贝尔原理的另一种叙述方式：一个动力学系统的主动力及惯性力

在

任何虚位移上所作的虚功之和等于零，即

A + δAin = 0 (4-10)

其中

dAin是惯性力所作的虚功。

当

然，可以把虚功原理看作是达朗贝尔原理的一个特例。这样，达朗贝尔原理就是力学的最基

本的变分原理。

4.1.3

哈密顿原理（Hamliton）原理

从

18 世纪开始，很多数学家就致力于寻求一个能推导出牛顿力学定律的统一的力学原理。直

到

19 世纪，哈密顿建立了最小作用原理- 哈密顿原理，科学家们的梦想才得以实现。

哈密顿

原理表明：一个具有完整约束的力学系统的运动必定使积分作用量

I T A t

t

t

( )d

ò + (4-11)

取

驻值，即

δ δ

( )d 0 2

= ò T + A t =

t

t

(4-12)

其中，

I称为哈密顿作用量，T是系统的动能，A 是主动力所作的功。如果主动力有势，那么式（4-12）

可

以写成

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δ δ

( )d 0 2

= ò T -V t = t

(4-13)

式（

4-12）与式（4-13）可以解释为：完整的力学系统从状态“1”到状态“2”的各种可能运动中，

唯

有真实运动使哈密顿作用量取驻值。

为

了证明式（4-12），哈密顿将式（4-10）变换为

d δ d 0 2

A t + ò Ain t =

t

t

t

t

(4-14)

其中

R t

t

m R R t m R R m R

t

A t

j j j

N

j

t

t

t

t

j j j

N

j

j j j

N

j

t

in t

t

t

( )

δ d δ d

d d

1 1 1

ò ò å

& å & ò å &

= = =

+ úû

êë

= - = -

只

要取δ δ 0

= 1 = 1 = Rj t t R t=t （即t1与t2时刻虚位移dRj为零），则有

R t m R R t T t

t

A t m R

t

j j j t

N

j

t

j j j t

N

j

t

in t

t

t

d δ d δ d

d d 2

1 1

= ò å = ò å = ò

= =

& & &

(4-15)

其中，

j j

N

j

R m T

& å=

是系统的动能。

将式（

4-15）代入式（4-14）中，得到

( )d 0 2

T + A t =

t

t

(4-16)

这就

证明了泛函驻值形式的变分原理——哈密顿原理。

若

系统的主动力有势，则式（4-16）可写成

( )d δ d 0 2

T -V t = ò L t = t

t

t

t

(4-17 )

其中，

L = T -V 称为拉格朗日函数。

若

系统的主动力一部分有势，而另一部分没有势，则式（4-16）可写成

d δ ( )d 0 2

= - + ÷ø

çè

ò å ò

Q q t T V t

t

i i t

N

k

t

t

(4-18)

其中，

Qi ( i = 1, 2, …, n)是与没有势的那些主动力有关的广义力。

上

述哈密顿原理是对离散系统导出的，只要将连续系统的动能T 与势能V 代入式（4-17），它

对

连续系统照样适用。

例

4-1 图4-1所示系统中，半径为r的均匀圆盘在槽内作不滑动的滚动。已知圆盘质量为m，

槽

的半径为R。试用哈密顿原理建立系统的运动方程。

解

：

若

选择q 为广义坐标，则系统微幅振动时的能量为

2 2

[( ) ]

q& j&

T m R r I

A

= - +

(a)

其中，

j&为圆盘的角速度，IA = mr2/2 是圆盘对质心的转动惯量。圆盘作不滑动的滚动时，存在有

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&r =q&(R - r) (b)

由

此，得到

& q&

r

R

- r

(c)

将式

(c)代入式(a)，得到

q& ÷ø

çè

æ -

r

T mr R r

(d)

而

系统的位能

( )

= mg(R - r)(1- cosq ) » 1 mg R - r q (e)

将

T与V 代入变分式

δ δ

( )d 0 2

= ò T -V t = t

中，

得到

( )

δ d 0

)

δ d

( )

δ - 3

( ) δ d

( ) d

2 2

- - =

= - -

ú úû

ê êë

- - ÷ø

çè

æ -

ú ú

ê ê

- - ÷ø

çè

æ -

mg R r t

m R r m(R r t

mg R r t

r

mr R r

mg R r t

r

mr R r

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

q q

q q q q

q q q q

q q

& &

(f)

由于，

t = t1 = t2时，哈密顿原理要求dq = 0，所以，式(f)满足时，必有

( ) ( ) 0

m R - r 2q&& + mg R - r q = (g)

式

(g)就是系统微幅振动时的运动方程。

4.1.4

完整的保守系统的拉格朗日运动方程

个自由度的系统，在一般情况下，动能可能是时间t、广义坐标qi以及广义速度q&i的函数。即

= T(t; q1 , q2 ,L, ql ; q&1 , q& 2 ,L, q&n )

而

势函数只是广义坐标qi的函数，即

( , , , )

1 2 n V = V q q L q

图

4-1圆盘微幅振动

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将

T与P代入式(4-18)中，进行变分运算，得到：

d 0

(

δ )d δ

(

δ )d δ δ δ d

1 1

= úû

êë

÷ ÷ø

ç çè

÷ ÷ø

ç çè

= +

÷ ÷ø

ç çè

ò å

ò å å

ò å ò å

= =

q t

q

V

q

T

q

T

t

q

q

Q q t T

q t

q

q V

q

q T

q

Q q t T

i

i i i

n

i

t

t

t

t

i

i

n

i

i i

n

i

t

t

i

i

i

i

i

i

n

i

t

i i t

n

i

t

t

(4-19)

由于，

t = t1 = t2时，哈密顿原理要求dqi = 0，因此，式(4-19)变成

d 0

(

δ )d d

1 1

= úû

êë

÷ ÷ø

ç çè

ò å

- ò å

= =

q t

q

V

q

T

q

T

t

Q q t

i

i i i

n

i

t

i i t

n

i

t

t

(4-20)

在

t1与t2区间的虚位移dqi是任意的，而且dqi彼此独立的。因此，由式（20）得到著名的拉格朗日

方程

( 1, 2, , )

Q i n

q

V

q

T

q

T

t

i

i i i

= =

- ÷

÷ø

ç çè

(4-21)

拉格朗日

方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一个普遍的简单而又统一的方法。

例

4-2 图4-2所示系统，摆的支点在水平方向受到弹性约束，其总刚度为k，摆的质量为m，

摆长

为l。试用拉格朗日方程求出系统的运动方程。

解

：

（

1）选择x 及q 为广义坐标。

（

2）动能及势能

动

能： 2 [( sin ) ]2

[ ( cos ) ] 1

= 1 m x& + l q q& + m l q q& (a)

势

能： (1 cos )

= 1 kx2 + mgl - q (b)

（

3）广义外力为零

本

例题中广义外力。

（

4）运动方程

将式

(a)与式(b)代入式(4-21)，得到

cos sin sin 0

cos sin 0

2 2

+ - + =

q q q q q

qq qq

ml x ml mlx mg

mx ml ml kx

&& && & &

&& && &

(c)

这就

是摆的运动方程。当微幅振动时，可取cosq ≈1，sinq = 0，并可略去高阶项，则式(c)可简化为

+ + =

q q

q

mx ml mg

mx ml kx

&& &&

(d)

两

式相减得到

图

4-2摆振系统

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mg

q

= kx (e)

将式

(e)代入式(d)中，得到运动方程

= + ÷ø

çè

æ +

l q gq

k

mg

&& (f)

例

4-3 图4-3所示的刚体由四根拉伸弹簧支承，被限制在图示平

面内

运动。图示位置为平衡位置。且质量为m，转动惯量IO。试导出微

幅

运动微分方程。

解

：取刚体质心O 点偏离平衡位置的x、y 和刚体绕质心的转角q

为

广义坐标，即

1 = x, q2 = y, q3 =q

并且四

根弹簧端点的坐标分别为

, 0, 0

, ,

4 4 1 2 3 4

1 1 2 2 3 3

= - = = = =

= + = - = +

y y a y y x x

x x a x x a y y a

q

q q q

系统的动

能为

2 2 2

( ) 1

& & q& T = m x + y + IO

系统的

势能为

4 4

3 3

2 2

1 1

( )

( ) 1

= 1 k x + a q + k x - a q + k y + a q + k y - a q

计算

拉格朗日方程中各项导数如下

3 3 3 4 4 4

1 1 1 2 2 2

3 3 4 4

1 1 2 2

( ) ( )

; 0

( ) ( )

; 0

( ) ( )

; 0

k y a a k y a a

V k x a a k x a a

T I T

t

k y a k y a

y

V

y

my T

y

T

t

k x a k x a

x

V

x

mx T

x

T

t

O

q q

q q

q

q

q

q

q q

q q

+ + - -

= + - -

= ÷ø

çè

= + + -

= ÷

÷ø

ç çè

= + + -

= ÷ø

çè

代入拉格朗日

方程，得系统运动微分方程为

图

4-3刚体微幅运动

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( ) 0

( ) ( )

( ) ( ) 0

4 4

3 3

2 2

1 1

1 1 2 2 3 3 4 4

3 4 3 3 4 4

1 2 1 1 2 2

+ + + + =

+ - + -

+ + + - =

q

q

q

q

k a k a k a k a

I k a k a x k a k a y

my k k y k a k a

mx k k x k a k a

O

引

入记号，写为矩阵形式

&& + kq = 0

其中质量

矩阵为

ú ú ú ú

ê ê ê ê

I

O

m

m

0 0

刚

度矩阵为

ú ú ú ú

ê ê ê ê

- - + + +

+ -

4 4

3 3

2 2

1 1 2 2 3 3 4 4 1 1

3 4 3 3 4 4

1 2 1 1 2 2

k a k a k a k a k a k a k a k a

k k k a k a

k k k a k a

k

位移

列阵为

q

T

= {x y q}

4.1.5

完整的非保守系统的拉格朗日运动方程

如果

系统是非保守的，且存在某种类型的耗能力（阻尼力），例如存在粘性阻尼。这时引入所

谓

的瑞莱（Rayleigh）散逸函数的概念后，象有势（位）的广义力能够从位能导出一样，阻尼力能够

从

散逸函数导出。因此，对于具有瑞莱散逸函数的非保守系统，仍可求得统一的标准形式的拉格朗

日

运动方程。

对

于n 个自由度的系统，设广义坐标为q1 , q2 ,L, qn。如果在系统上第j个质点mj上作用有阻尼

F

Dj c j Rj

= - & (4-22)

其中，

Rj是质点mj的位置向径。

如果

质点mj有虚位移dRj时，阻尼力FDj所作到虚功为

i

i

j

j j

n

i

i

i

j

Dj

n

i

Dj Dj j

q

q

R

q c R

q

R

A F δR F δ δ

1 1

= -

= =

å å

= =

(4-23)

由于

i

j

n

i

i

i

j

n

i

j

q

q

R

t

q

q

R

R

& &

å å

1 =1 d

(4-24)

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i

j

i

j

q

R

q

R

(4-25)

所以

，式（4-23）可以写成

j j i

i

n

i

i

i

j

j j

n

i

Dj

q c R q

q

A c R

δ δ

1 2

1 1

÷ø

çè

= -

å å

= =

& &

q q

(4-26)

对

于具有N个质点的系统，阻尼力所作的虚功是

i

i

n

i

j j i

i

n

i

N

j

Dj

N

j

D

q A A c R

δq D δ

δ δ

1 1 1

q q&

- = ÷ø

çè

= -

å = -å å å

= = = =

(4-27)

其中

j j

N

j

c D

R

& å=

& & & & q& TBq&

1 1 1 1 1

= = ÷

÷ø

ç çè

å å å å å

= = = = =

kl k l

n

l

n

k

k l

l

j

k

j

i

n

l

n

k

N

j

q q b q q

q

R

q

R

c

(4-28)

称为

瑞莱散逸函数。其中

÷ ÷

ç ç

å=

k l

j

j

N

j

kl

q

R

q

R

b c

，

÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

ç ç ç ç ç ç ç ç

n n nn

n

n

b b b

b b b

b b b

L L L L

1 2

21 22 2

11 12 1

是

对称正定方程。

具有散

逸函数的非保守系统的虚功表达式是：

Ain + δA + δAD = 0

对

于具有完整约束的非保守的系统，哈密顿变分式变为

( δ )d δ ( )d δ d 0 2

ò å + ò - + ò =

I Q q t T V t A t

D

t

t

t

i i t

n

i

t

t

(4-29)

将

T与P代入式（4-30）中，进行变分运算，并利用式（4-27），则可得到

d δ d 0

1 1

- úû

êë

+ ÷ ÷ø

ç çè

ò å

- ò å

= =

q t D q t

q

V

q

T T

t

Q

i

i

n

i

t

i t

i i i

i

n

i

t

t

q& q&

或

d 0

= úû

êë

+ ÷

÷ø

ç çè

ò å

q t

q

D

q

V

q

T T

t

Q

i

i i i i

i

n

i

t

t

由于虚位移

δqi (i =1, 2,L, n)是任意的，且互相是独立的。因此，有

( 1, 2, , )

Q i n

q

D

q

V

q

T

q

T

t

i

i i i i

& &

= =

- ÷

÷ø

ç çè

(4-30)

这就

是具有瑞莱散逸函数的非保守系统的拉格朗日运动方程的标准形式。

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4.2

多自由度系统自由振动的运动微分方程

一

般情况下，n 个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具有以下形式

m x m x m x k x k x k x

m x m x m x k x k x k x

m x m x m x k x k x k x

n n n n

n n n n

n n nn n n n nn n

11 1 12 2 1 11 1 12 2 1

21 1 22 2 2 21 1 22 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

&& && &&

+ + × + + + + + =

+ + + + + + + =

ïï

L L

（

4-31）

若

用矩阵表示，则可写成

&& + Kx = 0 （4-32）

式

中

( ) ( )

n

T

n

x

1 x2 L x && &x&1 &x&2 L &x& x = ，x =

分

别是系统的坐标矢量和加速度矢量。

êêêêê

úúúúú

m m m

m m m

m m m

n

n

n n n n

11 12 1

21 22 2

1 2

L L L L

K =

êêêêêê

úúúúúú

k k k

k k k

k k k

n

n

n n n n

11 12 1

21 22 2

1 2

L L L L

分

别称为系统的质量矩阵和刚度矩阵。

4.2.1

刚度影响系数作用力方程

方程

（4-31）中各项均为力的量纲，因此，称之为作用力方程。其中刚度矩阵中的元素称刚度

影响

系数(在单自由度系统中，简称弹性常数)。它表示系统单位变形所需的作用力。具体地说，如果

使第

j 个质量沿其坐标方向产生单位位移，沿其它质量的坐标方向施加作用力而使它们保持不动，

则

沿第i 个质量坐标方向施加的力，定义为刚度影响系数kij；在第j 个质量坐标方向上施加的力称

刚

度影响系数k jj 。由刚度影响系数的物理意义，可直接写出刚度矩阵，从而建立作用力方程，这种

方法称为

影响系数法。

现

分析求出图4-4（a）所示的三自由度系统的刚度矩阵。

首先令

m1有单位位移x1 = 1、而x x 2 3 、保持不动，即x x 2 3 = = 0。在此条件下系统保持平

衡，

按定义需加于三物块的力为k k k 11 21 31 、、(图中箭杆上画有斜线的力)。画出各物块的受力图4-4

（

b）根据平衡条件，有

11 1 2 21 2 31 k = k + k ，k = -k ，k =

同

理，令x x x 1 2 3 = 0， = 1， = 0，画出受力图4-4（c），则有

k k k k k k k

12 2 22 2 3 32 3 = - ， = + ， = -

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最

后令x1 = x2 = 0，x3 = 1，画出受力图4-4（d），有

k k k k k

13 23 3 33 3 = 0， = - ， =

因此

刚度矩阵为

+ -

- + -

êêê

úúú

k k k

k k k k

k k

1 2 2

2 1 3 3

3 3

上式表

明，k k ij ji = 。因此，刚度矩阵一般是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性

质。

即

= KT （4-33）

4.2.2

柔度影响系数位移方程

在

单自由度的弹簧——质量系统中，若弹簧常数是k，则

就

是物块上作用单位力时弹簧的变

形

，也称柔度影响，用d 表示。n 自由度系统的柔度矩阵D 为n 阶方阵，其元素d ij称为柔度影响系

数

，表示单位力产生的位移。具体地说，仅在第j 个质量的坐标方向上受到单位力作用时相应于在

第

i个质量的坐标方向上产生的位移，即定义为d ij 。

现

分析求出图4-4（a）所示的三自由度系统的柔度影响系数。

首先

，在m1上施加单位力，而m m 2 3 、上不加力，即令1 0 1 2 3 P = ，P = P = (图4-5（a）)，这

图

4-4三自由度系统受力图

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时

三物块所产生的静位移按定义应分别是d d d 11 21 31 、、。

当

m1受到P1作用后，第一个弹簧的变形

为

，第

二和第三个弹簧的变形为零。

所以

三物块的位移都是

，

即

d d d

1 = 1 = 1

k k k

, ,

同

理，如令P P P 2 1 3 = 1， = = 0。这时

第一和第

二弹簧均受单位拉力，其变形分别为

1 1

1 2

k k

，而第三个弹簧不受力，故其变形为零。因

此

有

d d d

1 2

1 = 1 + 1 = 1 + 1

k k k k k

, ,

再

令P P P 1 2 3 = = 0 , = 1，可得到

d d d

1 2

1 2 3

1 = 1 + 1 = 1 + 1 + 1

k k k k k k

, ,

因此

，该系统的柔度矩阵为

êêê

úúú

= + +

+ + +

êêêêêêê

úúúúúúú

d d d

d d d

d d d

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 1 1

1 1 2 1 2

1 1 2 1 2 3

1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

k k k

k k k k k

k k k k k k

上式表

明，d d i j ji = 。因此，柔度矩阵一般也是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个

性质。

即

= DT （4-34）

对

于图4-4（a）所示的系统，也可用柔度影响系数来建立其运动微分方程。

如

设x x x 1 2 3 , , 分别表示质量m m m 1 2 3 , , 的位移。系统运动时，质量m m m 1 2 3 , , 的惯性力使

弹

簧产生变形，对于线性弹性体应用叠加原理可得到

图

4-5三自由度系统柔度影响系数

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x m x m x m x

x m x m x m x

x m x m x m x

1 1 1 11 2 2 12 3 3 13

2 1 1 21 2 2 22 3 3 23

3 1 1 31 2 2 32 3 3 33

= - + - + -

(

&& ) ( && ) ( && )

(

&& ) ( && ) ( && )

(

&& ) ( && ) ( && )

d d d

d d d

d d d

写成

矩阵形式

x

x

x

m

m

m

x

x

x

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0 0

ççç

÷÷÷

êêê

úúú

êêê

úúú

ççç

÷÷÷

d d d

d d d

d d d

或

= -DMx&& （4-35a）

和

D

Mx

&& + x = 0 （4-35b）

上式对任

一个n 自由度系统都是正确的。式（4-35）称位移方程。它是振动微分方程的另一种形式。

为

了比较作用力方程与位移方程，将式（4-32）改写为

= -Mx&&

如果

K 是非奇异的，即K 的逆矩阵K -1存在，对上式两端左乘K -1，得

= K -1 (-Mx&&) （4-36）

比较

式（4-36）与式（4-35）得出

= K -1 （4-37）

上式即

柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系。即当刚

度

矩阵是非奇异时，刚度矩阵K 与柔度矩阵D

互

为逆矩阵；当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩

阵

即无柔度矩阵，此时系统的平衡位置有无限多

或

者说它有刚体运动。例如图4-6所示的系统，

该

系统具有刚体运动，因此柔度矩阵不存在。

例

4-4

试写出图4-7所示刚体AB 的刚度矩阵并建立系统的运动微分方程。

解

：刚体AB 在图面内的位置可以由其质心C的坐标yC (以水平位置O 为坐标原点，且水平运

动

不计)和绕C的转角q 确定。

图
4-7（a）fs24 -

phymath999

Monday, December 10, 2012

与单自由度系统不同，n 自由度系统一般有n 个固有频率，因此可能出现n 次共振

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