tongji 麦克斯韦气体分子速率的分布

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处于热动平衡态下，一定量的气体分子，由于无规则热运动和频繁碰撞，对个别分子来说,速度大小和方向随机变化不可预知；但就大量分子整体来看而言，分子热运动速度和速率是否具有一定规律呢？1859年，麦克斯韦给出了肯定的答案，他指出对大量气体分子整体，在一定温度的平衡态下，它们的速度分布遵循一定的统计规律。他在概率论基础上导出了分子速度的分布规律。如果不考虑速度方向，则可得到相应的速率分布律。称为麦克斯韦速率分布律，本节首先介绍速率分布概念和测量气体分子速率分布的实验等有关麦克斯韦速率分布律的最基本内容。　　 　　

　　由于分子热运动的随机性和偶然性，我们不可能追踪上每个分子测出它在任意时刻准确的速率值。怎样研究气体分子速率的分布呢？
　　我们可采用统计的方法。在气体的平衡态下把分子的速率划分为若干相等的间隔 ，然后去统计气体分子处于某一速率间隔 内的分子数 占总分子数的百分比 ，或每一个分子速率分布间隔在 内的概率，现在，让我们来看氧气分子速率分布统计表。 从统计表可以看出平衡态下，氧气分子速率有着稳定的不随时间变化的概率分布，即
　　(1)分子速率很高或很低的分子所占总分子数的百分比甚小，多数分子以中等速率运动。
　　(2)百分比 与速率间隔有关，它是速率 的函数。在某一速率 附近的 间隔内(如表中300-400m/s间隔)的分子数所占总分子数比率最大(21．4％)。对于任何温度下的任何一种气体都有类似的情况，反映了速率分布的统计规律性。
　　(3)比值 还与所取速率间隔 的大小有关，理论和实验证明，

∝。

比值 表示 个分子中分布在 附近单位速率间隔的百分比，或每一个分子分布在 附近单位速率间隔中的概率。当 足够小时，与 无关，仅为 的函数。　

　　取→0，则比值 的极限就成为 的连续函数，以 表示，称为速率分布函数，即

　　速率分布函数 的物理意义　速率分布在 附近的单位速率间隔内的分子占总分子数的百分比，即为每一个分子的速率在 附近的单位速率间隔内的概率（即概率密度）。
　　如果已知函数 的具体形式，就可以计算分子速率在任意 速率间隔内的相对分子数(或每一个分子速率分布在间隔 内的概率)，即　

　　　　　　　　　　　　　　　　

　　速率分布函数的归一化条件

　　根据速率分布函数 的定义式可得分子速率分布在 间隔内的分子数占总分子数N的百分比，即

上式对所有速率间隔进行积分，将得到所有速率(0-∞)间隔的分子数占总分子数百分比的总和，这显然等于1，即

这是速率分布函数必须满足的条件，称为归一化条件。
　 　　　

　　实验和理论证明，分子速率分布函数 的具体形式依赖于系统的性质和宏观条件。
　　麦克斯韦首先从理论上导出了在平衡状态下，理想气体分子的速率分布函数的数学表达式

式中m为一个分子的质量，T为气体的热力学温度，k为玻耳兹曼常量。
　　由麦克斯韦速率分布函数可以确定一定量的理想气体在平衡态下，分布在速率间隔 内的相对分子数

　 　　　　　　　(1)

上式确定的理想气体分子按速率分布的统计规律，称为麦克斯韦速率分布律．
　　

　　　　

　　以速率 为横坐标轴，麦克斯韦速率分布函数 为纵坐标轴，画出 与 的关系曲线，称为麦克斯韦速率分布曲线。
　　麦克斯韦速率分布曲线图可形象地描绘出分子按速率的分布规律:
　　(1)曲线特征
　　　　曲线从坐标原点出发，随速率增大开始上升，经过一个极大值 后下降，并渐近于横坐标轴。这表明气体分子速率可取大于零的一切可能的有限值。
　　但分子处在速率小和速率大处单位速率间隔中的概率较低，处在中等速率附近处单位速率间隔内的概率较高，而处在 附近单位速率间隔中的概率最高。 称为最概然速率。
　

(2)图中，小矩形面积，它表示速率分布在 间隔内分子数占总分子数的百分比，或表示每一个分子速率分布在该速率间隔内的概率。 　　(3)曲线下的总面积就是曲线下所有窄条矩形面积的总和，即 ， 它表示分布在整个速率间隔(0-∞)范围内，所有速率间隔内的分子数百分比的总和，等于1，这表明分布函数必须满足归一化条件。

　　利用麦克斯韦速率分布函数 ，可以导出反映分子热运动状态具有代表性的三种速率的统计平均值。
　　为计算方便，令 ，将麦克斯韦速率分布函数简化为
　　　　　　　　　　　　　　(2)
　　1．最概然速率

　　在平衡态下，温度为T 的一定量气体中，与 的极大值相对应的速率，称为最概然速率。并以 表示。
　　现在，我们来阐明最概然速率的意义。如果把气体分子的速率分成许多相等的速率间隔，则气体在一定温度下分布在最概然速率 附近单位速率间隔内的分子数，在总分子数中所占百分比最大，或一个分子分布在 附近相同速率间隔内的概率最高。 据此，可求出，令

将上式代入(2)式，则得最概然速率为

由和代入式，则

　　根据爱因斯坦的相对论，任何物体的速度都不可能超过光速，这里取分子的速率上限为v =∞，只是为了在数学上表示整个速率范围．

　　当时，分布函数最大值为

　　2．平均速率
　　在平衡态下，N个气体分子速率的算术平均值，称为平均速率，用 表示。
　　设 代表气体分子速率在间隔内的分子数，则按照算术平均值的计算方法，有

　　　　　　　　　　

由于分子速率可以在(0-∞) 之间取值， 可由积分运算求出

　　　　　　　　　　 　　

将(2)式代入上式，积分可得

查积分表，有

　　3．方均根速率(即)

利用积分公式

　　方均根速率是指分子速率平方平均值的平方根。首先求出分子速率平方的平均值
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　
同理把(2)式代入上式，积分可得：

由此得方均根速率 ，即　

　　

说明:　　1．三种统计速率都反映了大量分子作热运动的统计规律，它们都与温度 成正比，与分子质量 (或 )成反比，且，三者之比为 。在室温下，对中等质量的分子来说，三种速率数量级一般为每秒几百米。最概然速率最小，方均根速率最大。 　　 2．三种速率应用于不同问题的研究中。例如： 　　──用来计算分子的平均平动动能，在讨论气体压强和温度的统计规律中使用。　　　　　 　　──用来讨论分子的碰撞，计算分子运动的平均距离，平均碰撞次数等。　　　　　　　　 　　──由于它是速率分布曲线中极大值所对应的速率，所以在讨论分子速率分布时常被使用。

　　1．温度(T)对速率分布的影响
　　对给定气体(大量理想气体组成的热力学系统)中，当温度升高时，分子热运动加剧，速率较大的分子所占百分率增高。最概然速率 增大(为什么？)，分布曲线的峰值向速率大的方向移动。由于分布曲线下的总面积不变(恒等于1)，所以随着温度的升高。分布曲线向高速区域扩展，峰值变低，曲线变宽，变平坦，这意味着温度越高,速率较大的分子数越多，分子运动越剧烈。请看图 。
　　 2．分子质量对速率分布的影响
　　在同一温度下(T一定)，因气体分子最概然速率 与 成反比，速率分布函数的峰值与成正比。所以质量越小的气体分子 越大，即速率较大的分子所占百分比越高。曲线向高速区域扩展，曲线变宽变平坦。请看图。
　　　

　　随着真空技术的发展，二十世纪二十年代后，陆续有许多实验成功地验证了麦克斯韦速率分布律。
　　1920年法国的物理学家施特恩(O．Stern，1888──1969)最早证实了气体分子速率分布的统计规律。1934年我国物理学家葛正权(1895──1988)测定了铋蒸汽的速率分布 ，验明了这条定律。
　　1955年美国哥伦比亚大学的密勒(R．C．Miller)和库什(P．Kusch)以更高的分辨率，更强的分子射束和螺旋槽速度选择器，测量了钾和铊蒸气分子的速率分布 ，下面介绍另一种实验方法：
　　1．实验装置(请看右图)
　　O ──产生金属蒸气的气源
　　、 ──狭缝
　　、 ──相距为 l 的两同轴圆盘　　　
　　、 ──分别为 、 圆盘上的狭缝，两缝夹角α≈2°　　　　　　　　
　　P ──接受分子的显示屏
　　2．实验原理
　　金属在蒸汽源中被加热后，从狭缝逸出经 后形成一窄束分子流。当圆盘 、 静止时，由于其上的狭缝 与 有一夹角α，所以穿过 缝的分子流不能穿过 ；但是，当 、 绕公共轴以角速度ω转动时，通过狭缝 的分子只有速率满足如下条件的分子才能通过 缝射到屏上，即
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　或　　
　　改变圆盘转速(或改变 与 夹角，或改变圆盘间距l)可以控制使不同速率的分子通过。
　　操作圆盘以不同角速度、......转动，测量显示屏上每次沉积在其上的金属层厚度(该厚度对应于不同速率间隔内的分子数)。比较各次沉积的金属层厚度，就可以得出分子射束中不同速率间隔内的相对分子数 ，也就是气体分子处于 间隔内的概率。试验结果与麦克斯韦理论符合得很好。