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SUSY9
一全同的宏观粒子（原则上）能区分。
网坛双星威廉斯姐妹经常配对参加双打比赛，姐姐高一些，妹妹矮一些，在比赛时很容易就把她们两区分开。假设二威长的一般高，外型完全相同，你能否把她们区分开？
区分的办法很简单：在她们身上贴上标签，例如大威是1号，小威是2号。如果贴在身上的号不容易看到，你又如何区分？
我是这样区分的，在一方发球时，姐妹俩基本不动，此时当然容易区分，由于每人的移动都有确定的轨迹，我可以根据她们的轨迹，判别谁是大威，谁是小威。
这件事情告诉我们：在宏观领域，两个完全一样的人或物（或粒子）原则上是可以区分的。能区分的一个关键原因是宏观粒子做轨道运动，只要开始时能把它们区分开，以后就不用发愁。因此我可以用编号的办法把完全一样的宏观粒子区分开。
但是，这套办法对微观领域不灵，因为微观粒子不作轨道运动，即使开始时我硬把不同的电子编号，一段时间后，我就不知道1号电子到底是哪一个了。
是否有办法把两个电子区分开？这是我们遇到的一个基本问题。
网坛双星威廉斯姐妹经常配对参加双打比赛，姐姐高一些，妹妹矮一些，在比赛时很容易就把她们两区分开。假设二威长的一般高，外型完全相同，你能否把她们区分开？
区分的办法很简单：在她们身上贴上标签，例如大威是1号，小威是2号。如果贴在身上的号不容易看到，你又如何区分？
我是这样区分的，在一方发球时，姐妹俩基本不动，此时当然容易区分，由于每人的移动都有确定的轨迹，我可以根据她们的轨迹，判别谁是大威，谁是小威。
这件事情告诉我们：在宏观领域，两个完全一样的人或物（或粒子）原则上是可以区分的。能区分的一个关键原因是宏观粒子做轨道运动，只要开始时能把它们区分开，以后就不用发愁。因此我可以用编号的办法把完全一样的宏观粒子区分开。
但是，这套办法对微观领域不灵，因为微观粒子不作轨道运动，即使开始时我硬把不同的电子编号，一段时间后，我就不知道1号电子到底是哪一个了。
是否有办法把两个电子区分开？这是我们遇到的一个基本问题。
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Schrodinger 方程是1926年发现的，在此之前人们用波尔-索末菲理论研究原子结构问题，下面我插入 一层楼，简单地介绍一下 Pauli不相容原理，泡利(Wolfgang Pauli, 1900-1958)因发现不相容原理（又称泡利原理），获得了 1945年度诺贝尔物理学奖。
1924年，泡利在研究原子结构时提出了现代物理学的基本规律：不相容原理。他假设“在电子的量子论性 质”中有一种“经典上无法描述的二值 性”。对应当时的波尔-索末菲理论中的每一个量子态，事实上应有两个不同的量子态，需要用一个新的量子数来表征这种 “二值性”，这样就应该总共用四个量子数来表征一个电子的运动状态。在这样的前提下，泡利叙述了他的不相容原理：在每一个原子中，绝不能存在两个或多个等 价的电子，即不存在四个量子数都相同的电子。运用这一原理，人们解决了光谱规律中的许多难题，理解了原子中电子壳层的形成，以及当元素按原子序数递增排列 时所观察到的化学性质上的周期律。
1925年，乌伦贝克和高德斯密提出了电子“自旋”的假设，给泡利的第四个量子数提供了物理图象。 Schrodinger方程提出后，泡利引用有名的二分量波函数和泡利矩阵，把自旋概念纳入非相对论量子力学的表述之中。这一工作后来导致狄拉克提出了他的电子理论并取得一些其他的重要进展。荷兰学者范德瓦尔登曾经指出：“从一分量到二 分量是跨一大步，从二分量到四分量是进一小步”。
泡利以他的才智和尖锐的批评而闻名。当一种理论被提出来以后，人们总是希望听到泡利对它有什么看法。如果泡利不赞成，人们就会感到对那种理论有点不放心； 相反地，如果泡利点了头，人们就会感到很欣慰。他逐渐成了一切新思想的公认的“裁判”，P. 埃伦菲斯特称他为“上帝的鞭子”，波尔称他为“科学的良 知”。 当然事情也不是那么绝对，例如1957年李，杨提出弱相互作用中宇称不守恒就遭到泡利的严厉抨击，吴健雄女士的实验结果公布后，他才不说话。
1924年，泡利在研究原子结构时提出了现代物理学的基本规律：不相容原理。他假设“在电子的量子论性 质”中有一种“经典上无法描述的二值 性”。对应当时的波尔-索末菲理论中的每一个量子态，事实上应有两个不同的量子态，需要用一个新的量子数来表征这种 “二值性”，这样就应该总共用四个量子数来表征一个电子的运动状态。在这样的前提下，泡利叙述了他的不相容原理：在每一个原子中，绝不能存在两个或多个等 价的电子，即不存在四个量子数都相同的电子。运用这一原理，人们解决了光谱规律中的许多难题，理解了原子中电子壳层的形成，以及当元素按原子序数递增排列 时所观察到的化学性质上的周期律。
1925年，乌伦贝克和高德斯密提出了电子“自旋”的假设，给泡利的第四个量子数提供了物理图象。 Schrodinger方程提出后，泡利引用有名的二分量波函数和泡利矩阵，把自旋概念纳入非相对论量子力学的表述之中。这一工作后来导致狄拉克提出了他的电子理论并取得一些其他的重要进展。荷兰学者范德瓦尔登曾经指出：“从一分量到二 分量是跨一大步，从二分量到四分量是进一小步”。
泡利以他的才智和尖锐的批评而闻名。当一种理论被提出来以后，人们总是希望听到泡利对它有什么看法。如果泡利不赞成，人们就会感到对那种理论有点不放心； 相反地，如果泡利点了头，人们就会感到很欣慰。他逐渐成了一切新思想的公认的“裁判”，P. 埃伦菲斯特称他为“上帝的鞭子”，波尔称他为“科学的良 知”。 当然事情也不是那么绝对，例如1957年李，杨提出弱相互作用中宇称不守恒就遭到泡利的严厉抨击，吴健雄女士的实验结果公布后，他才不说话。
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把上面提到的威廉斯姐妹换成两个电子（氦原子就是这种情况），假设时刻t，电子A处在四个量子数为1的状态，电子B处在四个量子数为2的状态（要注意这种说法是近似的，条件是电子--电子间的【剩余相互作用】可以忽略）一段时间后我们发现状态1，2都有一个电子。我的问题是：
处在状态1的电子是否为A电子？状态2的电子是否为B电子？
由于电子不存在轨道运动，我们没有办法跟踪电子，因此这类问题实在难以回答，或者说回答是或不是都欠理，这等于说原则上我们不能区分电子。
进一步人们发现对其它全同的微观粒子也存在类似的现象，这种现象称为全同粒子不可区分。
不可区分的原因是什么？可能的原因无非就是两种
1）我们笨。人家本来是能区分的，仅仅是由于我们笨没本事把人家区分开；
2）这是微观粒子的固有属性，与我们是否笨无关。也就是说人家本来就不能区分，即使你能把诸葛亮请来也没办法。
如果让你选择，你是选择（1）还是选择（2）？
处在状态1的电子是否为A电子？状态2的电子是否为B电子？
由于电子不存在轨道运动，我们没有办法跟踪电子，因此这类问题实在难以回答，或者说回答是或不是都欠理，这等于说原则上我们不能区分电子。
进一步人们发现对其它全同的微观粒子也存在类似的现象，这种现象称为全同粒子不可区分。
不可区分的原因是什么？可能的原因无非就是两种
1）我们笨。人家本来是能区分的，仅仅是由于我们笨没本事把人家区分开；
2）这是微观粒子的固有属性，与我们是否笨无关。也就是说人家本来就不能区分，即使你能把诸葛亮请来也没办法。
如果让你选择，你是选择（1）还是选择（2）？
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仍然以威廉斯姐妹为例，假设两姐妹长得完全一样。大威是1号，小威为2号，在双打比赛时，用f(1,2)表示 1号在前2号在后，f(2,1) 表示2号在前1号在后.经典物理认为f(1,2)与f(2,1)描述的状态完全是两回事，是两个不同的状态。
把二威换成两个电子，用波函数ψ（1,2）表示1在前2在后，ψ(2,1)表示2在前1在后，我们的问题就成为：ψ（1,2）与ψ(2,1)描述的是同一个状态还是不同的状态？
全同性原理：量子力学认为，全同粒子不可区分。
这里不可区分是指原则上我们根本没有办法区分两个电子谁叫 A，谁叫B。这是微观粒子的固有属性，与人是聪明还是笨无关。
既然全同粒子不可区分，ψ（1,2）与ψ(2,1)就应该描述同一状态。量子力学认为描述系统状态的波函数可以相差一个常数，ψ（1,2）与ψ(2,1)既然描述同一个量子态，两者只能相差一个常数，即
ψ(1,2）=Aψ(2,1)……………… (1)
可以认为上式就是全同性原理的数学表示。
由于连续交换两次等于没有交换，因此
ψ(1,2）=Aψ(2,1)=A²ψ(1,2）…. (2)
即常数A只能等于1或-1.
全同性原理是量子力学的一个假设，这个假设是否正确？只能由实验判定。实验发现：对费米子组成的全同粒子系统，A=-1即
ψ(1,2）=-ψ(2,1)….(3)
对玻色子组成的系统A=1,即
ψ(1,2）=ψ(2,1)…. (4)
习惯上称满足（4）的波函数为对称的（详细说是关于1，2交换对称的波函数），满足（3）的波函数是反对称的。电子是费米子，因此描述多个电子的波函数应该是反对称的。
把二威换成两个电子，用波函数ψ（1,2）表示1在前2在后，ψ(2,1)表示2在前1在后，我们的问题就成为：ψ（1,2）与ψ(2,1)描述的是同一个状态还是不同的状态？
全同性原理：量子力学认为，全同粒子不可区分。
这里不可区分是指原则上我们根本没有办法区分两个电子谁叫 A，谁叫B。这是微观粒子的固有属性，与人是聪明还是笨无关。
既然全同粒子不可区分，ψ（1,2）与ψ(2,1)就应该描述同一状态。量子力学认为描述系统状态的波函数可以相差一个常数，ψ（1,2）与ψ(2,1)既然描述同一个量子态，两者只能相差一个常数，即
ψ(1,2）=Aψ(2,1)……………… (1)
可以认为上式就是全同性原理的数学表示。
由于连续交换两次等于没有交换，因此
ψ(1,2）=Aψ(2,1)=A²ψ(1,2）…. (2)
即常数A只能等于1或-1.
全同性原理是量子力学的一个假设，这个假设是否正确？只能由实验判定。实验发现：对费米子组成的全同粒子系统，A=-1即
ψ(1,2）=-ψ(2,1)….(3)
对玻色子组成的系统A=1,即
ψ(1,2）=ψ(2,1)…. (4)
习惯上称满足（4）的波函数为对称的（详细说是关于1，2交换对称的波函数），满足（3）的波函数是反对称的。电子是费米子，因此描述多个电子的波函数应该是反对称的。
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插入一层楼轻松一下吧。
一些教师接受新班，第一件事就是见到同学就问同学的名字。对这件事情教师内部有不同看法，有人认为应该这样做，但也有人反对，认为这样做是错误的，理由是应该一视同仁，不应该区分同学，问同学名字实质就是要区分同学。
对这件事我持中立态度，但是我发现：
凡是教经典物理的教师，基本上都认为应该问同学名字，利于因才施教；
凡是教量子物理的教师，都不问同学名字，理由是全同性原理，企图区分同学原则上是错误的。
我不问同学名字，在贴吧我也很少涉及吧友的名字，都是吧友，不加区分。
近代物理其实就是相对论与量子力学，因此本吧应该以量子力学的规矩要求自己，按全同性原理对待每一位吧友，这叫学了马上用！哈哈。
一些教师接受新班，第一件事就是见到同学就问同学的名字。对这件事情教师内部有不同看法，有人认为应该这样做，但也有人反对，认为这样做是错误的，理由是应该一视同仁，不应该区分同学，问同学名字实质就是要区分同学。
对这件事我持中立态度，但是我发现：
凡是教经典物理的教师，基本上都认为应该问同学名字，利于因才施教；
凡是教量子物理的教师，都不问同学名字，理由是全同性原理，企图区分同学原则上是错误的。
我不问同学名字，在贴吧我也很少涉及吧友的名字，都是吧友，不加区分。
近代物理其实就是相对论与量子力学，因此本吧应该以量子力学的规矩要求自己，按全同性原理对待每一位吧友，这叫学了马上用！哈哈。
由于连续交换两次等于没有交换，因此
ψ(1,2）=Aψ(2,1)=A²ψ(1,2）…. (2)
即常数A只能等于1或-1.
这个太天才了。以前不理解为什么费米子系统也算全同粒子系统(顾名思义，不是全同么，怎么就不同了涅),哎，费米发大财了......
我不问同学名字，在贴吧我也很少涉及吧友的名字，都是吧友，不加区分。
还有费米子系统o..........
ψ(1,2）=Aψ(2,1)=A²ψ(1,2）…. (2)
即常数A只能等于1或-1.
这个太天才了。以前不理解为什么费米子系统也算全同粒子系统(顾名思义，不是全同么，怎么就不同了涅),哎，费米发大财了......
我不问同学名字，在贴吧我也很少涉及吧友的名字，都是吧友，不加区分。
还有费米子系统o..........
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经典力学认为，均匀球的角动量与转动角速度之间满足
L=Iω….(1)
其中I是均匀球的转动惯量，由于角速度可以连续变化，因此角动量可以取很多不同值，特别是角动量可以不是零。
量子力学如何处理均匀球的转动问题？
用波函数ψ(θ,φ)描述均匀球的转动，假设
t=0时刻系统的波函数是ψ(θ₀,φ₀)，
t时刻是ψ(θ,φ)，
根据全同性原理，
ψ(θ,φ)=Aψ(θ₀,φ₀)…..(2)
上式说明任意时刻的波函数ψ(θ,φ)与(θ,φ)无关，只能是常数，把这个结论代入角动量平方的本征方程
L²ψ(θ,φ)=l(l+1)h²ψ(θ,φ)≡0……..(3)
上式为零的理由如下：算符L²是关于θ,φ的微分算符,根据(2)式,ψ(θ,φ)与θ,φ无关,因此L²ψ(θ,φ) ≡0.由于波函数不可能恒等于零, 这只能角量子数l=0，即均匀球的角动量恒为零，通俗地说就是均匀球不能转！
这是一个出乎意料的结果，没有学过量子力学的人实在难以接受。
在学习近代物理（相对论或量子力学）时，这类情况经常出现，如何处理这类问题？我自己的体会是这样：
1我已有的知识是在学习牛顿力学是积累的，在宏观领域牛顿力学与实验符合，现在面对的是微观领域，能否把宏观物理的一些结论无条件地推广到微观领域？客观说应该是不一定。把不一定的东西看成一定，这种做法本身就不可取；
2)学习不等于背书，要经过自己独立思考，当新学习的内容与自己原有知识发生冲突时，要学会判断谁对谁错，不能盲目接受别人的说法，特别是不能把名人的只言片语当成圣经来接受。
两个极端都不可取。
其实解决这类矛盾的办法十分简单，物理学本来就是一门实验性学科，当自己的认识与新事物冲突时，应该一碗水端平，谁也别偏向，就听实验的。如果一时找不到实验资料，可以查阅别的参考书，这叫广听则明。一旦找到实验资料，就以实验事实为准。
L=Iω….(1)
其中I是均匀球的转动惯量，由于角速度可以连续变化，因此角动量可以取很多不同值，特别是角动量可以不是零。
量子力学如何处理均匀球的转动问题？
用波函数ψ(θ,φ)描述均匀球的转动，假设
t=0时刻系统的波函数是ψ(θ₀,φ₀)，
t时刻是ψ(θ,φ)，
根据全同性原理，
ψ(θ,φ)=Aψ(θ₀,φ₀)…..(2)
上式说明任意时刻的波函数ψ(θ,φ)与(θ,φ)无关，只能是常数，把这个结论代入角动量平方的本征方程
L²ψ(θ,φ)=l(l+1)h²ψ(θ,φ)≡0……..(3)
上式为零的理由如下：算符L²是关于θ,φ的微分算符,根据(2)式,ψ(θ,φ)与θ,φ无关,因此L²ψ(θ,φ) ≡0.由于波函数不可能恒等于零, 这只能角量子数l=0，即均匀球的角动量恒为零，通俗地说就是均匀球不能转！
这是一个出乎意料的结果，没有学过量子力学的人实在难以接受。
在学习近代物理（相对论或量子力学）时，这类情况经常出现，如何处理这类问题？我自己的体会是这样：
1我已有的知识是在学习牛顿力学是积累的，在宏观领域牛顿力学与实验符合，现在面对的是微观领域，能否把宏观物理的一些结论无条件地推广到微观领域？客观说应该是不一定。把不一定的东西看成一定，这种做法本身就不可取；
2)学习不等于背书，要经过自己独立思考，当新学习的内容与自己原有知识发生冲突时，要学会判断谁对谁错，不能盲目接受别人的说法，特别是不能把名人的只言片语当成圣经来接受。
两个极端都不可取。
其实解决这类矛盾的办法十分简单，物理学本来就是一门实验性学科，当自己的认识与新事物冲突时，应该一碗水端平，谁也别偏向，就听实验的。如果一时找不到实验资料，可以查阅别的参考书，这叫广听则明。一旦找到实验资料，就以实验事实为准。
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SUSY9
具体到我们的问题，我一时找不到实验资料，我就先查阅其它参考书，下面是
《量子力学 与原子世界》作者：（北师大）喀兴林著
提供的电子云图片，要注意：s态（l=0）的电子云都是球对称的，不是s态(l≠0)的电子云，不是球形.
《量子力学 与原子世界》作者：（北师大）喀兴林著
提供的电子云图片，要注意：s态（l=0）的电子云都是球对称的，不是s态(l≠0)的电子云，不是球形.
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- 祝融高丘
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GZK8
回复：11楼
我们化学老师指着这个sp轨道说，要会默写，考试要考。同学一篇唉声叹气。化学老师不屑道：“这玩意儿本来不应该是我布置给你们的，应该是你们帮我们画的啊！这都是你们学物理的算出来的。。。”
我们化学老师指着这个sp轨道说，要会默写，考试要考。同学一篇唉声叹气。化学老师不屑道：“这玩意儿本来不应该是我布置给你们的，应该是你们帮我们画的啊！这都是你们学物理的算出来的。。。”
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氮核¹⁴N由7个质子，7个中子共14个核子组成，偶数个费米子组成的复合粒子是玻色子，对此，应该没有任何疑问。
中子是 1932年发现的，在发现中子之前，人们只知道三个【基本粒子】---质子，电子及光子。因此，原子核只能由质子，电子组成，这是中子发现之前人们公认的原子核模型。根据这个原子核模型，要保证原子量是14，氮核应该有14个质子，要保证氮核的电荷数为 7，你要加上7个电子，因此氮核由14个质子加上7 个电子共21个费米子组成。按此说法，氮核应该是费米子。
1926年量子力学建立后不久，有人根据测不准关系对上述模型提出质疑。由测不准关系
ΔxΔp≈h………(1)
原子核半径大体上是10的负12 次方厘米的数量级，因此上式中的Δx应该小于10的负 12次方厘米，按此推算估计出电子在核内的动能应该是几十个MeV的数量级，库仑力提供的势能充其量就是 MeV数量级，这就是说单纯依靠库仑力，不可能把电子约束在原子核内，结论是原子核内不可能存在电子。
只要承认测不准关系成立，上面的质疑就合理。但是，你说原子核内不可能存在电子，那么原子核又是如何组成？当时你也回答不出来，因此这种质疑显得无力。更为严重的是，β衰变是原子核内发生的事情，β衰变中放出的β粒子就是电子，这是上世纪20年代公认的事实。也就是说：这些电子就是从原子核内跑出来的，有人已经把它抓住了，你还要说原子核内不存在电子，会有人相信你的说法吗!测不准关系说明原子核内不可能存在电子，正好说明测不准关系本身有问题，因此有人反过来对测不准关系提出质疑：测不准关系是否有成立？
1928年有人出面邀请了一批知名物理学家专门讨论量子力学问题，很多知名学者例如爱因斯坦，Schrodinger，德布罗意等都对波函数的统计解析及测不准关系提出了质疑。
不妨设身处地地想一下，如果自己处在上世纪20年代，你认为氮核是费米子还是玻色子？为什么？
中子是 1932年发现的，在发现中子之前，人们只知道三个【基本粒子】---质子，电子及光子。因此，原子核只能由质子，电子组成，这是中子发现之前人们公认的原子核模型。根据这个原子核模型，要保证原子量是14，氮核应该有14个质子，要保证氮核的电荷数为 7，你要加上7个电子，因此氮核由14个质子加上7 个电子共21个费米子组成。按此说法，氮核应该是费米子。
1926年量子力学建立后不久，有人根据测不准关系对上述模型提出质疑。由测不准关系
ΔxΔp≈h………(1)
原子核半径大体上是10的负12 次方厘米的数量级，因此上式中的Δx应该小于10的负 12次方厘米，按此推算估计出电子在核内的动能应该是几十个MeV的数量级，库仑力提供的势能充其量就是 MeV数量级，这就是说单纯依靠库仑力，不可能把电子约束在原子核内，结论是原子核内不可能存在电子。
只要承认测不准关系成立，上面的质疑就合理。但是，你说原子核内不可能存在电子，那么原子核又是如何组成？当时你也回答不出来，因此这种质疑显得无力。更为严重的是，β衰变是原子核内发生的事情，β衰变中放出的β粒子就是电子，这是上世纪20年代公认的事实。也就是说：这些电子就是从原子核内跑出来的，有人已经把它抓住了，你还要说原子核内不存在电子，会有人相信你的说法吗!测不准关系说明原子核内不可能存在电子，正好说明测不准关系本身有问题，因此有人反过来对测不准关系提出质疑：测不准关系是否有成立？
1928年有人出面邀请了一批知名物理学家专门讨论量子力学问题，很多知名学者例如爱因斯坦，Schrodinger，德布罗意等都对波函数的统计解析及测不准关系提出了质疑。
不妨设身处地地想一下，如果自己处在上世纪20年代，你认为氮核是费米子还是玻色子？为什么？
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有人可能提出：当时的人真笨，你假设存在一个电中性粒子（其实就是现在的中子），问题不就解决了吗！
事情并没有想象的那么简单，就算你提出一个质子中子模型（中子当时没有发现，因此这种假设已经十分先进了），可以解析核结构问题，但是你还是没有办法解析β衰变。因为
n→p+e
电量守恒没问题，质量能量守恒也好办，角动量守恒怎么办？左边是1/2,右边是两个1/2的代数和，无论你是加还是减你都得不到1/2，即角动量死活不守 恒，因此，物理学不能接受你这种解析。何况当时还没有发现中子！
事情并没有想象的那么简单，就算你提出一个质子中子模型（中子当时没有发现，因此这种假设已经十分先进了），可以解析核结构问题，但是你还是没有办法解析β衰变。因为
n→p+e
电量守恒没问题，质量能量守恒也好办，角动量守恒怎么办？左边是1/2,右边是两个1/2的代数和，无论你是加还是减你都得不到1/2，即角动量死活不守 恒，因此，物理学不能接受你这种解析。何况当时还没有发现中子！
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氮分子N₂由两个氮核及核外的电子组成，这是一个多体问题，只能用近似方法处理。一个常用的近似方法是“设法分离变量”。
假设系统的哈密顿量可以写成下面三项之和
H（总）=H（电子）+H（振动）+H（转动）………….(1)
则系统的波函数可 以表示成
ψ（总）=ψ（电子）ψ（振动）ψ（转动）…..(2)
把上面两式代入S.方程，就可以把ψ（电子），ψ（振 动），ψ（转动）分别处理，数学上把这种方法称为分离变量。要强调，分离变量法是解S。方程的最主要方法。因此这里介绍的处理方法值得参考。
下面只研究转动部分。如图
¹⁴N●━━━━━━C━━━━━━●¹⁴N
转动部分是指两个氮核绕着自己的质心转动，氮核到质心C的距离认为是常量，转动系统的哈密吨量
H(转动)=L²/2I（其中I是绕质心的转动惯量，是常量）转动部分的S.方程为
(L²/2I)ψ=Eψ……………………..(3)
这个方程的本征值及对应的本征函数分别是
本征值 E=l(l+1)h²/2I，l=0,1,2,……(4)
式中的h是带芭 的，即应该是h/2π
波函数 ψ=Ylm(θ,φ)……..(5)
如果不考虑全同性原理，(4),(5)两式就是所求结 果，可以把(4)式得到的计算结果与实验比较。
考虑全同性原理，转动部分的波函数应该满足全同性原理的要求。如果氮核由偶数个费米子组成，氮核是玻色子，应该用对称波函数描述，反之如果氮核由奇数个费米子组成，氮核就是费米子，相应的波函数就应该是反对称的。理论上能证明：角量子数l取偶数时，波函数是对称的，l取奇数时波函数是反对称的。这就是说如果氮核是
费米子：l=1,3,5,…对应能级为 2，12，30，... （单位是h²/2I） ...（6）
玻色子：l=0,2,4,…对应能级为0，6，20，...（单位是 h²/2I）...（7）
两者能级间隔完全不同，实验很容易区分。
按原子核的质子—电子模型，氮核由14个质子，7个电 子共21个费米子组成，应该是费米子，转动能级应该如(6) 所示，但是氮分子的转动光谱实验与（7）是符合！
1930年（确切年代记不清楚了）前后，当氮分子转动光谱实验结果公布后，引起物理学界很大的震惊，尽管由于中子还没有发现，人们提不出更为合理的原子核模型，但是多数人认为：原子核的质子电子模型有问题，这个模型早晚要被别的模型替代。
假设系统的哈密顿量可以写成下面三项之和
H（总）=H（电子）+H（振动）+H（转动）………….(1)
则系统的波函数可 以表示成
ψ（总）=ψ（电子）ψ（振动）ψ（转动）…..(2)
把上面两式代入S.方程，就可以把ψ（电子），ψ（振 动），ψ（转动）分别处理，数学上把这种方法称为分离变量。要强调，分离变量法是解S。方程的最主要方法。因此这里介绍的处理方法值得参考。
下面只研究转动部分。如图
¹⁴N●━━━━━━C━━━━━━●¹⁴N
转动部分是指两个氮核绕着自己的质心转动，氮核到质心C的距离认为是常量，转动系统的哈密吨量
H(转动)=L²/2I（其中I是绕质心的转动惯量，是常量）转动部分的S.方程为
(L²/2I)ψ=Eψ……………………..(3)
这个方程的本征值及对应的本征函数分别是
本征值 E=l(l+1)h²/2I，l=0,1,2,……(4)
式中的h是带芭 的，即应该是h/2π
波函数 ψ=Ylm(θ,φ)……..(5)
如果不考虑全同性原理，(4),(5)两式就是所求结 果，可以把(4)式得到的计算结果与实验比较。
考虑全同性原理，转动部分的波函数应该满足全同性原理的要求。如果氮核由偶数个费米子组成，氮核是玻色子，应该用对称波函数描述，反之如果氮核由奇数个费米子组成，氮核就是费米子，相应的波函数就应该是反对称的。理论上能证明：角量子数l取偶数时，波函数是对称的，l取奇数时波函数是反对称的。这就是说如果氮核是
费米子：l=1,3,5,…对应能级为 2，12，30，... （单位是h²/2I） ...（6）
玻色子：l=0,2,4,…对应能级为0，6，20，...（单位是 h²/2I）...（7）
两者能级间隔完全不同，实验很容易区分。
按原子核的质子—电子模型，氮核由14个质子，7个电 子共21个费米子组成，应该是费米子，转动能级应该如(6) 所示，但是氮分子的转动光谱实验与（7）是符合！
1930年（确切年代记不清楚了）前后，当氮分子转动光谱实验结果公布后，引起物理学界很大的震惊，尽管由于中子还没有发现，人们提不出更为合理的原子核模型，但是多数人认为：原子核的质子电子模型有问题，这个模型早晚要被别的模型替代。
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- Schrodinger
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ExtraDim10
回复：17楼
这是因为，在质点动力学中（质点就是“粒子”），我们要对质点进行编号，然后用不同质点的坐标r_1，r_2，……来描述系统的configuration。
因此，把研究客体看称“粒子”的描述是用来描述非全同粒子的，编号就是对不同的粒子进行了区分。
量子力学中，一开始是把研究课题看成“粒子”来研究的，因此适用于描述非全同粒子。但粒子实质上是全同的。为了弥补理论和事实的不符，故而把波函数做置换后相加，得到全同粒子的波函数。
而在场论中，编号的是坐标，而非质点。通过波函数，我们可以知道哪个地方有质点。但场论的描述本身并没有对粒子进行区分。
这是因为，在质点动力学中（质点就是“粒子”），我们要对质点进行编号，然后用不同质点的坐标r_1，r_2，……来描述系统的configuration。
因此，把研究客体看称“粒子”的描述是用来描述非全同粒子的，编号就是对不同的粒子进行了区分。
量子力学中，一开始是把研究课题看成“粒子”来研究的，因此适用于描述非全同粒子。但粒子实质上是全同的。为了弥补理论和事实的不符，故而把波函数做置换后相加，得到全同粒子的波函数。
而在场论中，编号的是坐标，而非质点。通过波函数，我们可以知道哪个地方有质点。但场论的描述本身并没有对粒子进行区分。
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- 南澳洲
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SUSY9
1925年有人提出电子自旋这个假设根据电子自旋角动量只有两个可能值得事实，这个假设认为：自旋角动量平方是3/4（h平方），在任意一个轴（例如z轴）的投影值是h/2。这个假设提出后有人简单地计算一下发现这个假设与相对论矛盾，理由如下： 把电子看成一个电荷均匀分布的球体，其库伦能就是kee/(2r),按相对论公式E=mcc因此kee/(2r)=mcc，由此可以得到电子的半径r。再利用经典力学公式：角动量=转动惯量乘以角速度，可以求出角速度，电子球壳上一点的线速度v=rω，代入数字后发现“v>c也就是说这个假设与相对论矛盾。如何解决这个矛盾？目前的教材说法基本上是这样：自旋是一个新自由度，不能这样理解。当然你这样说我也没有办法，但是作为初学者我不服，我希望你能具体说明：我错在什么地方。
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- 南澳洲
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SUSY9
目前的大多数教材都这样说:自旋是一个新自由度,与空间运动没有关系.教材这样讲要这样讲, 我也没办法.
我把电子自旋理解为一个小球绕某个轴的转动,你说此时电子边缘的线速度比光速大,说我违反相对论.我的回复如下:你的Schrodinger 方程本来就不满足相对论要求，即S.方程满足伽利略变换，不满足洛仑兹变换，难道许你S.违反相对论，就不许我违反？
另外，我不研究相对论,我只研究量子力学,因此我关心的问题是:我这种说法,仅按量子力学,是否犯规? 是否与前面引入的基本假设违背？
我把电子自旋理解为一个小球绕某个轴的转动,你说此时电子边缘的线速度比光速大,说我违反相对论.我的回复如下:你的Schrodinger 方程本来就不满足相对论要求，即S.方程满足伽利略变换，不满足洛仑兹变换，难道许你S.违反相对论，就不许我违反？
另外，我不研究相对论,我只研究量子力学,因此我关心的问题是:我这种说法,仅按量子力学,是否犯规? 是否与前面引入的基本假设违背？
回复：18楼
而在场论中，编号的是坐标，而非质点.....
在LA的帖子中就开始感到"场"这个东西开始玄妙起来，学习"场"这个东西(LA不是说有3种场么)，应该从哪些书籍开始(有视频当然更好了)?
回复：19楼
南老师继续加油，我在跟随你的讲解看苏老师的课件。
而在场论中，编号的是坐标，而非质点.....
在LA的帖子中就开始感到"场"这个东西开始玄妙起来，学习"场"这个东西(LA不是说有3种场么)，应该从哪些书籍开始(有视频当然更好了)?
回复：19楼
南老师继续加油，我在跟随你的讲解看苏老师的课件。
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- 南澳洲
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SUSY9
既然吧友对这个问题有兴趣下面就多说几句，要说明本楼纯粹是个人观点。
在流体力学部分，我们如何描述流体的运动？一般的教材都介绍两类描述方法：拉格朗日方法及欧拉方法；
拉氏方法特点是把流体看场由很多质量都是m 的【微团】组成，每一个m都满足牛顿第二定律，只要能写出作用在该微团上的外力，知道初始时刻的位置及速度，则每一个微团的运动原则上是可解的，全部的微团运动构成了对系统的完全描述；
欧拉方法的特点是假设在时刻t，位于r处的流体速度为v(r,t)（矢量）如果我能求出全部的v(r,t)则v(r,t)也构成对系统的完全描述。
流体力学认为：这两种描述方式是等价的。这里欧拉方法实质就是前面S.吧主说的场的方法，从这个意义上说：用场来描述全同粒子并非量子理论首创，经典理论早就使用了，这是共同点，在学习物理时，我们要时刻注意共同点，便于我们把知识归类。但是我们更要注意不同点，不要张冠李戴。个人认为下面两点区别是十分值得关注的：
区别点之一：
经典力学认为：这些微团尽管完全相同，但是仍然是可以区分的，你可以说我区分这些微团很笨，没有必要，我都不反驳，但是你不能说我错，因为我没有错！
量子力学认为：全同粒子原则上是不可区分的，你硬要区分就是错误。
区别点之二：
经典理论涉及到的场分为标量场及矢量场，凡是一个(r,t)仅仅与一个标量函数f(r,t)对应的称为标量场，与三个函数v(r,t)（即一个矢量函数）对应的称为矢量场
量子力学涉及到的场往往要量子化，量子化后得到的粒子有自旋。研究发现：自旋S=0只有一个分量，所对应的场就是标量场（如π介子场）；自旋S=1/2时有两个分量，这种场称为旋量场（如电子场），自旋S=1时有三个分量，这种场称为矢量场，如光子对应的电磁场；自旋 S>1 时有多于三个分量，称为张量场。
用场论的办法描述全同粒子固然省事，但是，这种方法远远超出本帖的水平，另外我自己也是门外汉，只能点到为止。
在流体力学部分，我们如何描述流体的运动？一般的教材都介绍两类描述方法：拉格朗日方法及欧拉方法；
拉氏方法特点是把流体看场由很多质量都是m 的【微团】组成，每一个m都满足牛顿第二定律，只要能写出作用在该微团上的外力，知道初始时刻的位置及速度，则每一个微团的运动原则上是可解的，全部的微团运动构成了对系统的完全描述；
欧拉方法的特点是假设在时刻t，位于r处的流体速度为v(r,t)（矢量）如果我能求出全部的v(r,t)则v(r,t)也构成对系统的完全描述。
流体力学认为：这两种描述方式是等价的。这里欧拉方法实质就是前面S.吧主说的场的方法，从这个意义上说：用场来描述全同粒子并非量子理论首创，经典理论早就使用了，这是共同点，在学习物理时，我们要时刻注意共同点，便于我们把知识归类。但是我们更要注意不同点，不要张冠李戴。个人认为下面两点区别是十分值得关注的：
区别点之一：
经典力学认为：这些微团尽管完全相同，但是仍然是可以区分的，你可以说我区分这些微团很笨，没有必要，我都不反驳，但是你不能说我错，因为我没有错！
量子力学认为：全同粒子原则上是不可区分的，你硬要区分就是错误。
区别点之二：
经典理论涉及到的场分为标量场及矢量场，凡是一个(r,t)仅仅与一个标量函数f(r,t)对应的称为标量场，与三个函数v(r,t)（即一个矢量函数）对应的称为矢量场
量子力学涉及到的场往往要量子化，量子化后得到的粒子有自旋。研究发现：自旋S=0只有一个分量，所对应的场就是标量场（如π介子场）；自旋S=1/2时有两个分量，这种场称为旋量场（如电子场），自旋S=1时有三个分量，这种场称为矢量场，如光子对应的电磁场；自旋 S>1 时有多于三个分量，称为张量场。
用场论的办法描述全同粒子固然省事，但是，这种方法远远超出本帖的水平，另外我自己也是门外汉，只能点到为止。
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