利用微扰论这样不断做下去,能不能完全确定U(0)
nn ,取决于简并能不能完全消除. 而简并能不能消除,能
在多大程度上消除,这和H 的对称性有关. 实际计算中可先利用群论的知识判断微扰项H’能在多大程度上
消除简并,然后再进行逐级近似计算. 当简并已最大限度地消除之后,更高级的近似计算只能使能级的位置
稍稍平移一些,而不能使能级的结构发生变化,也不能进一步确定U(0)
nn ,这种内在的不确定性,反映了体系H
的对称性,与近似程度没有关系,不可能也没有必要消除
第21 卷第2 期 阜阳师范学院学报(自然科学版) Vol. 21. No. 2
2004 年6 月 Journal of Fuyang Teachers College (Natural Science) June 2004
简并与无简并微扰的统一处理
倪致祥1 徐子 2
(1. 阜阳师范学院,阜阳,236032 ;2. 北京机械工业学院,北京,100085)
摘 要:从表象变换的角度出发,分析了用定态微扰论计算体系能量本征值和对应本征矢量的过程. 并利
用算符方法统一处理了零级近似的能量本征值为无简并和有简并这二种不同情况,给出了在一级近似时
简并未完全消除的情况下,能量的二级修正公式.
关键词:简并; 微扰; 表象变换; 幺正算符
中图分类号:O413. 1 文献标识码:A 文章编号:1004 - 4329(2004) 02 - 0001 - 04
0 引言
量子力学的一个基本问题是求系统哈密顿算符H的本征值En 和对应的本征矢| n〉0 原则上这可以利用
定态薛定谔方程
H | n〉= En | n〉(1)
求出. 然而在实际问题中,哈密顿算符H 一般都很复杂,本征方程(1) 很难严格求解,只能近似处理. 在许多
情况下,我们可以把H 分为二部分
H = H0 +λH1 (2)
其中H0 较简单,称为无微扰哈密顿算符,其本征值En (0) 和相应的本征矢| n〉0 可以严格解出(下面我
们取E(0)
0 < E(0)
1 < E(0)
2 ⋯⋯,简并时认为| n〉0 中,有几个分矢量) ,它们满足是近似的本征方程
H0 | n〉0 = En (0) | n〉0 (3)
另一部分λH1 称为微扰,它与H0 相比是个小量,λ为表示数量级的一个小参数. 这时我们可以把方程(1) 展
开为小参数λ的幂级数, 在方程(3) 的基础上, 用逐次逼近法求解H的本征值E0 = E0 (λ) 和对应的本征矢
| n〉,这种方法称为定态微扰论.
由于H 与H0 都是厄米算符,因而相应的本征矢集合{ | n〉} 与{ | n〉0} 分别构成系统状态空间的二套基
矢. 根据态空间的性质,任何二套基矢都可以通过幺正变换相互联系. 即存在一个幺正算符U ,使得
| n〉= U | n〉0 (4)
一旦知道了U ,利用(4) 式和E0 =〈n | H | n〉,即可求出| n〉和E0 . 从这个观点看,用微扰论解方程(1) 的
过程其实质是求幺正变换算符U 的过程. 下面, 我们就从幺正变换的角度来研究用微扰论求解定态薛定谔
方程(1) 的过程.
1 变换算符的微扰展开
根据关系(4) ,变换算符U 把H 的本征矢与无微扰哈密顿算符H0 的本征矢联系在一起. 利用变换算符
U ,我们可以对哈密顿算符H 进行变换,得到一个新的算符
K = U+ H U (5)
显然新算符K 满足方程
K | n〉0 = En | n〉0 (6)
即K 把H0 的本征矢与H 的本征值联系在了一起,它可以看成H0 表象中的无微扰哈密顿算符.
收稿日期:2004 - 02 - 20
基金项目:安徽省学术带头人后备人选基金资助.
作者简介:倪致祥(1955 - ) ,男,教授,省重点学科《理论物理》带头人;主要从事理论物理研究.
考虑到幺正算符的性质
U+ U = 1 (7)
则(5) 式可化为
U K = H U (8)
显然算符U , K 和本征值En 都与小参量λ有关. 不失一般性,我们假定它们可以展为λ的幂级数,即
U = U(0) +λU(1) +λ2 U(2) + ⋯(9)
K = H0 +λK(1) +λ2 K(2) + ⋯(10)
En = E(0)
n +λE(1)
n +λ2 E(2)
n + ⋯(11)
将(9) 代入(7) 式,展开后比较二边λ的同次幂,即有
U(0)
+
U(0) = 1 (12)
U(1)
+
U(0) + U(0)
+
U(0)
(1)
= 0 (13)
U(2)
+
U(0) + U(1)
+
U(1) + U(0)
+
U(0)
(2)
= 0 (14)
将(2) 、(9) 和(10) 三式代入(8) 式,整理后即有展开公式
[ U(0) , H0 ] = 0 (15)
[ U(0) , H0 ] = H1 U(0) - U(0) K(1) (16)
[ U(2) , H0 ] = H1 U(1) - U(1) K(1) - U(0) K(2) (17)
2 近似公式的推导
为了近似计算变换算符U 和变换的哈密顿算符K,我们用投影算符Pn = | n〉0 0〈n | 右乘(15) 式,
即有 ( E(0)
n - H0) U(0) Pn = 0 (18)
下面,我们定义一个离散的格林算符
Gn | k〉0 =
1
E(0)
n - E(0)
k
| k〉0 k ≠ n
0 k = n
.
显然Gn 有如下的性质: Gn ( E(0)
n - H0) = 1 - Pn , GnPn = 0
用格林算符Gn 左乘(18) ,经过整理得到 U(0) Pn = PnU(0) Pn (19)
利用(12) 式可知 PnU(0) + + PnU(0) Pn = Pn (20)
为了求出一级近似的结果,我们用Pn 右乘(16) 式,即有
( E(0)
n - H0) U(1) Pn = H1 U(0) Pn - U(0) K(1) Pn (21)
再利用(19) 和(20) 两式我们得到 Pn K(1) Pn = Pn U(0) + PnH1 PnU(0) Pn (22)
用Gn 左乘(21) 式,得 (1 - Pn) U(1) Pn = GnH1 U(0) Pn (23)
考虑到(13) 式,我们可取 PnU(1) Pn = 0 (24)
即得到 U(1) Pn = GnH1 U(0) Pn (25)
为了继续求二级近似,我们用投影算符Pn 右乘(17) 式,得到
( E(0)
n - H0) U(2) Pn = H1 U(1) K(1) Pn - U(0) K(2) Pn (26)
再用Pn 左乘上式,利用(19) 、(20) 和(25) 式即得
PnK(2) Pn = PnU(0) + PnH1 GnH1 PnU(0) Pn (27)
用格林算符Gn 左乘(26) 即有
(1 - Pn) U(2) Pn = GnH1 U(1) Pn - GnU(1) K(1) Pn
考虑到(14) 式,可取 PnU(2) Pn = -
1
2 U(0) PnU(1) + U(1) Pn (28)
故有: U(2) Pn = GnH1 U(1) Pn - GnU(1) K(1) Pn -
1
2 U(0) PnU(1) + U(1) Pn (29)
由(15) 、(25) 和(29) 三式,可得准确到二级近似时幺正算符的投影表达式
UPn = PnU(0) Pn +λGnH1 U(0) Pn +λ2 ( GnH1) 2 U(0) Pn -
2 阜阳师范学院学报(自然科学版) 第21 卷
λ2 G20
H1 PnU(0) + H1 U(0) Pn -
1
2
λ2 PnH1 G2
nH1 U(0) Pn (30)
利用完备性关系6 Pn = I , 我们最终得到二级近似时的幺正算符
U = U 6 Pn = 6 UPn (31)
利用(22) 和(27) 两式,考虑到Pn K Pn = | n〉0 En 0〈n | ,可得
En = E(0)
n +λU(0) +
nn + H1 nnU(0)
nn +λ2 U(0) +
nn ( H1 GnH1) nnU(0)
nn (32)
上式即为准确到二级近似时的能量本征值公式.
3 公式的解释
由(31) 和(32) 二式可以看出,要确定U 和En ,先要确定U(0)
nn . 不失一般性,设| n〉0 为f 度简并,写成矩
阵形式为,
| n〉0 = (| n ,1〉0 , | n ,2〉0 , ⋯⋯| n , f〉0) ,0 〈 n | = (0 〈 n ,1 | , ⋯⋯,0 〈 n , f | ) T
显然此时算符A 在该态的平均值Ann =0 〈 n | A | n〉0 应理解为f 维方矩阵. 由(20) 式可知
U(0) +
nn U(0)
nn = 1 (33)
即U(0)
nn 为f 维幺正矩阵. 考虑到En =0 〈 n | K| n〉0 是能量本征值,应理解为f 维对角矩阵,故U(0)
nn 还要满足
使(32) 式右端对角化的条件,即
E(1)
n = U(0) +
nn ( H) nnU(0)
nn (34)
E(2)
n = U(0) +
nn ( H1 G0 H1) nnU(0)
nn (35)
均为对角矩阵. 由此可利用对角化条件来确定U(0) +
nn ,从而确定变换算符U.
当| n〉0 为无简并时, f = 1 , Ann =〈n | A | n〉为一个数, (34) 与(35) 自动成为对角,由(33) 式可以定
出(适当选取相因子) U(0) +
nn = 1 (36)
代入(31) 和(32) 式后即有
UPn = Pn +λGnH1 Pn +λ2 [ ( GnH1) 2 - C2
nH1 PnH1 -
1
2 PnH1 G2
nH1 ] Pn (37)
En = E(0)
n +λ( H1) nn +λ2 ( H1 GnH1) nn (38)
这就是我们通常得到的无简并条件下的能量本征值的二级近似公式.
当| n〉0 为f 度简并,但取一级近似后简并完全消除时, E(1)
n 的对角元互不相同, 由(34) 式即可确定
U(0)
nn ,代入(30) 和(32) 式后即可求得变换算符U 与能量本征值En .
如取一级近似后简并未完全消除,则仅由(34) 式还不能完全确定U(0)
nn . 为了简单起见,我们不妨设其中
能级E(1)
n ,1 仍有g 度简并( g ≤ f ) ,即:
E(1)
n =
E(1)
n ,1
w
E(1)
n ,1
E(1)
n , g+1
w
E(1)
n , f
令V (0)
n , n 为满足(34) 式的某个幺正矩阵, Sg 为任一g 维幺正矩阵,显然U0
nn = V0
nnW 仍然满足(34) 式,其中
W =
Sg 0
0 If - g
为分块对角矩阵. 此时要确定U(0)
nn 应进一步考虑二级近似关系(35) 式,即
E(2)
n = W+ FW (39)
其中F = V (0) +
nn ( H1 GnH1) nnV (0)
nn .
显然W 为使矩阵F 对角化的幺正矩阵. 由对角化的方法可知,能量二级修正值的条件为E(2)
nα 满足方程
det | Fα,β - Eδα,β | = 0 ,α,β = 1 ,2 , ⋯⋯, g (40)
E(2)
nα = Fαα, α = g + 1 , ⋯⋯, f (41)
第2期 倪致祥等:简并与无简并微扰的统一处理3
在二级近似下,如简并已完全消除. 则由(39) 式可以确定Sg 和W ,从而确定U(0)
nn ,如E(1)
n1 的简并完全没
有消除,则S g 完全无法确定;如E(1)
n1 的简并部分消除,则可以部分确定W ,至多相差一个比W 分块更细的分
块对角幺正矩阵.
利用微扰论这样不断做下去,能不能完全确定U(0)
nn ,取决于简并能不能完全消除. 而简并能不能消除,能
在多大程度上消除,这和H 的对称性有关. 实际计算中可先利用群论的知识判断微扰项H’能在多大程度上
消除简并,然后再进行逐级近似计算. 当简并已最大限度地消除之后,更高级的近似计算只能使能级的位置
稍稍平移一些,而不能使能级的结构发生变化,也不能进一步确定U(0)
nn ,这种内在的不确定性,反映了体系H
的对称性,与近似程度没有关系,不可能也没有必要消除.
4 结论
通过上面的分析,我们得到以下的结果:
(1) 无微扰哈密顿算符的本征态集合与有微扰后的本征态集合可以通过一个幺正变换相互联系;
(2) 有微扰时定态薛定谔方程的求解可以通过一个表象变换来处理;
(3) 从表象变换的角度,零级近似能量本征值无简并和有简并这二种不同情况可以用同一个公式来统
一处理;
(4) 该变换能不能完全确定取决于体系的对称性,这不影响能量本征值的确定.
作者感谢北京师范大学物理系喀兴林教授的帮助.
参考文献
[1 ] 曾谨言. 量子力学(卷I ,II) . 第3 版[M] . 北京:科学出版社,2000.
[2 ] 尹鸿钧. 量子力学. [M] . 合肥:中国科技大学出版社,1999.
[3 ] 喀兴林. 高等量子力学. 第2 版[M] . 北京:高等教育出版社,2001.
[4 ] Dirac P A M. The Principles of Quantum Mechanics , [M] . London : Oxford University Press , 1958.
[5 ] Landau L D and Lifshitz M E. Quantum Mechanics Non - relativistic Theory [M] . London : Pergamon , 1977.
[6 ] Schiff L I. Quantum Mechanics. 3rd ed [M] . New York : MeGraw2Hill Publishing Company , 1967.
A Unif ied Scheme for the Time2Independent Perturbation
NI Zhi2xiang1 ,XU Zi2wen2
(1. Fuyang Teachers College ,Fuyang 236032 ;2.Beijing Institute of Machinery Industry , Beijing 100085)
Abstract :From a view point of the transformation of representation , we analyse the process of the time2independent perturbation , and
give a unified scheme for the cases of degeneracy and non2degeneracy.
Key words :degeneracy ; perturbation ; transformation of representation ; unitary operator.
4 阜阳师范学院学报(自然科学版) 第21 卷
No comments:
Post a Comment