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在第四历史文明等级的21世纪数字化的历史大潮铺天盖地席卷一切的今天，不论人类已有的任何一门学科，原先是从属于广义上的理科类的分支学科？原先是从属于广义上的文科类的分支学科？一概统统都要朝着“现代系统控制论”那种最普适的、大统一的通用的“语言描述方式”、“文字编写方式”、“代数变量符号表示方式”、“泛函拓扑绘图方式”、“程序流程逻辑框图方式”等等紧密靠拢！直言之，全人类的万学万科，必须要在方方面面都要恭恭敬敬、规规矩矩、统统逐步规范、臣服于“现代系统控制论”这种从里到外、由细到巨的统一数字化整合和统一数字化领导。每一个地球人，必须要格外地认清这种人世间任何势力都不可抗拒的、数字化时代发展的历史滚滚洪流——即“现代系统控制论”乃是全人类古往今来所有万学万科的唯一那种万流归宗的、最大、最高、最广、最深、最全的统一学科！
同样，原先在昔日黄花的第三历史文明等级的科学文明中的“数学几何学”，在今天也必须要在“现代系统控制论”中被彻底刷新和升级。这是因为“现代系统控制论”已经是第四历史文明等级的信息时代中的人类已有的所有学科的龙头老大了，是那种独一无二的、高高在上的、统帅万学之“王中王”了。换言之，当代“数学几何学”的“语言描述方式”、“文字编写方式”、“代数变量符号表示方式”，都要用新增添的“泛函拓扑绘图方式”、“程序流程框图方式”重新再认识人们以往过去那种耳熟能详的“数学几何学”的“语言描述方式”、“文字编写方式”、“代数变量符号表示方式”。以此主动迎合今日“现代系统控制论”那种最普适的、大统一的通用方式，以便每个中学生和大学生都够能逐渐地学会像系统程序员那样，将这种“数学几何学”的方方面面给予数字化，电脑化，信息化处理！
例如，在“欧几里德几何学”中，任意一个点矢量场，再也不能仅仅简单满足于在“笛卡尔正变座标系”中，绘出它的矢量图形就足够了。除此之外，为了在电脑运算中严格地表示出这个任意一个点矢量场那种按部就班的程序性质，我们必须要对它追加昔日科学文明中前所未有的、完全崭新的那种“泛函流程的逻辑图形”来。
比如，在“3维笛卡尔正变座标系”中，任意一个点矢量场的三种不同的场函数表述形式：
1.抛物代数形式：r(x,y,z) =<x y z|i j k>
2.三角代数形式：r(ρ,θ,φ)=<ρsin(r,j×k)ρsin(r,k×i)ρsin(r,i×j)| i j k>
3.矢量代数形式：r(ρ,e)=<ρ|e>
如上图所示，这种“3维笛卡尔正变座标系”由四个最重要的点：
这里的笛卡尔座标系几何模型的关键特征之一是，这种座标系的原点是由三条有向直线相交形成的一个不连续的“三重奇点”。由于“奇点”类型在几何上是无穷多种的，而且一般都具有非常艰深、精细、博大的特点，对于普通的学生和围观者来说，并不适合用一个专门的几何专题来去全面深刻地加以阐述，除非听众和读者都是那种职业数学家和职业科学家。故而，我们只能在随着后续几何学课程深度和广度不断逐渐加大的过程，分别地逐一给现实和虚拟的同学们和围观者精确介绍和讲解。
如上图所示的这种“3维笛卡尔正变座标系”，当然是一种“笛卡尔空间右手正变座标系”。众所周知，在物理上，还存在另外一种与之不同的独立的座标系，即“笛卡尔空间左手正变座标系”。至于在自然界中，为何会这两种并立不同的立体座标系呢？这是“物理几何学”的非常重要的基本研究课题之一，明显属于一个典型的科学专题，已经超出了“数学几何学”的范畴，我们在此暂且不论。
如上图所示，这种“3维笛卡尔正变右手座标系”，还能被看成是由三个矢量平面：
1.第一无限大座标矢量平面：j×k。xi=0。x i·i=0·i →x=0。
2.第二无限大座标矢量平面：k×i。yj=0。yj·j=0·j →y=0。
3.第三无限大座标矢量平面：i×j。zk=0。zk·k=0·k→z=0。
彼此垂直相交形成的一个数学几何模型。这是“3维笛卡尔正变右手座标系”很常见的第二种定义。
这时，三个矢量平面彼此垂直相交形成了三条间断不连续的不同的“二重矢量奇线”
1.第一条无限长的二重矢量奇线：由第二无限大座标矢量平面和第三无限大座标矢量平面相交形成。yj=0，zk=0。即OX直线矢量轴方程组。
2.第一条无限长的二重矢量奇线：由第三无限大座标矢量平面和第一无限大座标矢量平面相交形成。zk=0，xi=0。即OY直线矢量轴方程组。
3.第一条无限长的二重矢量奇线：由第一无限大座标矢量平面和第三无限大座标矢量平面面相交形成。xi=0，yj=0。即OZ直线矢量轴方程组。
换言之，在“3维笛卡尔正变右手座标系”中，其三条“直线座标矢量轴”，在几何上其实是三条独立的、间断的、不连续的、不同的“二重矢量奇线”哦。类似地，由于“奇线”类型在几何上是无穷多种的，通常比“奇点”更加艰深、精细、博大N倍，对于中外现实和虚拟的普通学生和围观者来说，甚至包括非“数学几何学”这个专业领域的不少职业数学家和职业科学家在内，都是非常陌生、不熟悉的、一个非常重要的基本二维几何形。并不适合我们这里作广泛的专业介绍和和深入的讲解。
对于广大的中外现实和虚拟的普通学生和围观者而言，重要的记住“3维笛卡尔正变右手座标系”的第二种定义，才是这种“欧几里德立体座标系”的核心和本质。至于它的第一种定义，始终都不能用来作为描述该座标系固有性状的几何模型哦。
至于这种“3维笛卡尔正变右手座标系”的矢量原点：则是由以上三个矢量平面方程组彼此垂直相交形成间断的、不连续的三重奇点O(0,0,0)。即xi=0，yj=0，zk=0。
综合上述可知，这种“3维笛卡尔正变右手座标系”是由两种不同类型的“几何奇形”：
1.奇点：不连续的三重矢量奇点：O(0,0,0)。
2.奇线：不连续的三条二重矢量奇线：OX直线矢量轴，OY直线矢量轴，OZ直线矢量轴。
所构成的。通过这个直观、生动、形象的“3维笛卡尔正变右手座标系”几何模型，能够让中外现实和虚拟的普通学生和围观者清楚地、正确地、准确地、精确地发现和强烈感悟原来这些言简意赅的“几何奇形”，在“数学几何学”中显得是多么重要、多么关键、多么基本哦！
尤其在物理几何学中，这类“奇点”，“奇线”，“奇面”，“奇体”，“奇超体”，……，等等各种“几何奇形”，在自然界中扮演着更为至关重要的、无与伦比的、甚至是绝对性的最伟大作用！
笛卡尔第一个发现描述几何形的复杂性，是从表述该几何形的3次方和4次方的代数方程式开始的。他超人的天才之处，在于将这种描述几何形的复杂性等价归结于代数方程式的复杂性。换言之，研究这种描述几何形的代数方程式的复杂性，就等同于间接研究几何形的复杂性。他把这种描述几何形的代数方程式系统，作了如下的第一级分类：
第1类几何形和代数方程式：1次和2次代数方程式所描述的几何形
第2类几何形和代数方程式：3次和4次代数方程式所描述的几何形
第3类几何形和代数方程式：5次和6次代数方程式所描述的几何形
第4类几何形和代数方程式：7次和8次代数方程式所描述的几何形
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第n类几何形和代数方程式：n次和次n+1代数方程式所描述的几何形
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在“凯雷-克莱因大统一几何学系统”中，这种描述的几何形的n次和次n+1代数方程式的完整名称是：“抛物n次和次n+1代数方程式”。也就是说，中外所有中学和大学中的数理化教材中所谓的“代数方程式”，在“阿波罗尼统一几何”【即欧几里德几何学，伽利略几何学，闵可夫斯基几何学三种子几何学的统一】中，一概都是“统一抛物长度测度”几何学中的方程式。
为了严格遵守“亚里士多德逻辑学”中的关于“定义”的约定，每一种不同维数的几何形的定义，统统都不能在相同维数的空间中得到正确定义——即决不允许出现任何一种“自己能够把自己举起来”的这种悖论性质的逻辑定义。任何一种不同维数的几何形的定义，统统只能在更高维数的空间中获得正确的定义。比如，0维度的点，只能在更高的1维和所有大于1维空间中来描述。1维度的线，只能在更高的2维和所有大于2维空间中来描述。2维度的面，只能在更高的3维和所有大于3维空间中来描述。3维度的体，只能在更高的4维和所有大于4维空间中来描述。……，n-1维度的几何形，只能在更高的n维和所有大于n维空间中来描述。……，等等。
由于任何一种数学座标系本身也是一种几何模型，因此按照笛卡尔对几何形的代数方程式的分类法则，所有数学座标系的第一级分类系统，必然有如下的分类：
第1类座标系模型：1维和2维几何形座标系
第2类座标系模型：3维和4维几何形座标系
第3类座标系模型：5维和6维几何形座标系
第4类座标系模型：7维和8维几何形座标系
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第n类座标系模型：n维和次n+1维几何形座标系
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只要延伸笛卡尔的几何学观点，便能够直接得出：数学座标系几何模型的复杂性，是从3维和4维空间开始的。1维数学座标系几何模型，都不分什么“右手1维数学座标系几何模型”和“左手1维数学座标系几何模型”；到了2维数学座标系几何模型，才有了“右手2维数学座标系几何模型”和“左手2维数学座标系几何模型”的严格区分。可是，到了这种初露复杂性的3维数学座标系几何模型，除了这种“右手3维数学座标系几何模型”和“左手3维数学座标系几何模型”的严格区分之外，还有其余不同类型的3维数学座标系几何模型的差别，且不要幼稚地、狭隘地、错误地认为3维数学座标系几何模型，至多只有“右手3维数学座标系几何模型”和“左手3维数学座标系几何模型”差别哦！
在“阿波罗尼统一几何”中，如果按照“伽罗瓦离散空间抽象群论”【即“初等置换群论”】，那么我们可知：
0维抛物长度测度的数学座标系几何模型的数目为：0！
1维抛物长度测度的数学座标系几何模型的数目为：1！
2维抛物长度测度的数学座标系几何模型的数目为：2！
3维抛物长度测度的数学座标系几何模型的数目为：3！
4维抛物长度测度的数学座标系几何模型的数目为：4！
………………………………………………………………
n维抛物长度测度的数学座标系几何模型的数目为：n！
换言之，3维数学座标系几何模型的数目至少有6种，而不是中外那些数学教科书所宣称的左右手两种。在中外那些中学和大学一般的数学和物理学教科书中，人们通常仅仅选择了其中的一种，即“右手3维数学座标系几何模型”。并且是“右手3维数学正变座标系几何模型”【有的中文译名为“右手3维数学共变座标系几何模型”，“右手3维数学协变座标系几何模型”，……，等等】。至于中外教科书常常喜欢对中学生和大学生删除掉其中的“右手3维数学逆变座标系几何模型”，而仅仅只保留一个“右手3维数学正变座标系几何模型”的恶劣习惯做法，我们决不认同，自然不会苟同和沿袭。因为，我们从来都不想误导现实和虚拟中的任何一位童鞋和围观者！
在“阿波罗尼统一几何”中，每种数学抛物座标系几何模型，一律都有“两个”，或者说“两叶”，或者说“两支”，而不是只有一个【半个】，或者说“一叶”【半叶】，或者说“一支”【半支】。详言之，
0维抛物长度测度的零点座标系几何模型的数目为：2个【2叶，2支】平行的抛物零点座标系
1维抛物长度测度的直线座标系几何模型的数目为：2个【2叶，2支】平行的抛物直线座标系
2维抛物长度测度的平面座标系几何模型的数目为：2个【2叶，2支】平行的抛物平面座标系
3维抛物长度测度的立体座标系几何模型的数目为：2个【2叶，2支】平行的抛物立体座标系
4维抛物长度测度的超体座标系几何模型的数目为：2个【2叶，2支】平行的抛物超体座标系
…………………………………………………………………………………………
n维抛物长度测度的n-1维几何形座标系几何模型的数目为：
2个【2叶，2支】平行的抛物n-1维几何形座标系
…………………………………………………………………………………………
在中外那些中学和大学一般的数学和物理学教科书中，数学家和科学家往往通常只介绍其中的一个【半个】，或者说“一叶”【半叶】，或者说“一支”【半支】座标系。尽管这种有可能误导学生和读者的传统做法，没有什么原则性的重大瑕疵，但是我们仍旧决不跟风盲从，而是竭力给任何一名童鞋和围观者，一种全面的、系统的、完整的、正确的、不会误导的座标系知库。在我们看来，任何一名童鞋和围观者，只有当他们已经全面掌握了这类抛物长度测度的座标系的完整知库的前提下，才能做种种省略的各种简要表述哦。
在“阿波罗尼统一几何”中，任何等于和大于2维的数学抛物座标系几何模型，体现了自然界中一个普遍的原理：即大名鼎鼎的“线性叠加原理”。很多中外那些中学和大学一般的数学和物理学教科书，对于自然界中这个伟大的“线性叠加原理”，似乎总是很吝啬他们的笔墨，很不情愿给童鞋和围观者做深刻的剖析。这种做法，在我们的眼中看来，认为是非常令人奇怪的一种很流行的弊端。虽然我们也深深地知道自然界中这个非常普遍的“线性叠加原理”，并不是处处都能够保持成立的，即遭遇任何一种高次方，或者无穷次方的这类特殊非线性的时候，这种“线性叠加原理”便彻底失效了，不能再用了。
在“3维笛卡尔正变座标系”中，任意一个点矢量场r的三个分矢量的“线性叠加原理”的抛物代数场函数形式为：
r=r(x,y,z)=r(x,0,0) +r(0,y,0)+ r(0,0,z)=<x y z|i j
k>=xi+yj+zk=ρe
式中，点矢量场的三个分矢量的抛物代数形式：
任意一个点矢量场r(x,y,z)的三个分矢量的“线性叠加原理”的“泛函流程的逻辑图形”为：
在“3维笛卡尔正变座标系”中，任意一个点矢量场函数r(x,y,z)都是一种开环控制系统，其中的三个座标分量(x,y,z)，一概都是这种开环控制系统中的三个“拓扑变量流形节点”；而三个分矢量(i,j,k)，则统统都是这种开环控制系统中的三个“拓扑变量流形矢量线丛”。这种开环控制系统中的“线性叠加原理”，具体地被展现成这种“泛函流程的逻辑拓扑图形”。换言之，在“3维笛卡尔正变座标系”中，三个“拓扑变量流形标量节点”(x,y,z)和三个“拓扑变量流形矢量线丛”(i,j,k)才形成了这种开环控制系统性质的点矢量场函数r(x,y,z)。
为啥说“3维笛卡尔正变座标系”中的这种开环控制系统多路输入一路输出的“线性叠加原理”点矢量场函数r(x,y,z)几何图形是一种“泛函流程的逻辑拓扑图形”呢？因为以上那种规规矩矩的拓扑几何结构图形，可以随着物理空间上的实际限制而能够随条件任意改变而不会影响“线性叠加原理”点矢量场函数的几何本质。比如，它在某个真实的物理空间上可以被布置成如下万千法身之一的这种几何形状：
以上这种拓扑图形才是“笛卡尔度量几何学”的任意一点矢量场函数在“拓扑几何学”中的最一般形式的拓扑几何模型。
于是，在“3维笛卡尔逆变座标系”中，任意一点矢量场函数在“拓扑几何学”中的最一般形式的拓扑几何模型的完整表述为：
只有站在当今最高的这种第四历史文明等级的信息文明的台阶上，才能看清楚，在原先昔日黄花的第三历史文明等级的科学文明中的“3维笛卡尔正变座标系”中，任意一个点矢量场函数r(x,y,z)，其实全都是“拓扑流形几何学”中能够满足“线性叠加原理”的一种“开环控制系统”而已。对于中外每一名中学生和大学生而言，为了和当代历史发展前进的步伐同步，在言行上做到与时俱进而不至于被落伍，学会和掌握任意一个点矢量场函数的这种“拓扑流形几何学”的矢量流程的框图表示，非常重要。不仅是为了加深理解这个基本的第一入门的几何概念，而且也是将“旧数学几何学”刷新升级为数字化的“新数学几何学”所必需要熟练掌握和认识清楚的基本知库之一。
然而，眼前这种真实世界的事实现状是令人悲观的。因为类似于这种入门性质的初浅几何学常识，在当今全球各国所有中学和大学通行的现代几何学教材中，竟然令人扼腕地被人为地空缺不在，让各国的中学生和大学生没有及时跟进时代的发展，学会这种入门性质的在未来可能从事IT行业的基本数学知识和编程技能。这是我们决定要从头对它们进行重大修正的第三个动因。
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