从狄拉克谈起
王世坤
中国科学院数学与系统科学研究院
清华大学，2010 年12 月13 日
谢谢季教授邀请我来给大家作这个报告。这个报告主要是开阔大家视
野，所以我就找了这么一个题目。因为不是非常学术的，所以有些细节之
处不是数学上非常严格的，主要目的是让大家知道数学物理里的一点事情、
关心什么问题，我想就可以了。
保罗· 狄拉克是1933 年诺贝尔奖得主，他是相对性量子力学的奠基
者。这个物理学教授的数学很好。我为什么作这个报告呢？两个因素：一
个是最近退休了想干点事，看看的诺贝尔奖的物理学家的数学工作怎么样，
觉得狄拉克的数学很厉害；另一方面，狄拉克的数学不但厉害，而且他还
很推崇数学，他说：“上帝是用漂亮的数学创造这个世界的。”
狄拉克是相对性量子力学的奠基者，所以我先要解释一下“相对性”
和“量子力学”。
大家都知道牛顿力学。牛顿在1686 年发表了一本令世人震惊的奠基之
作《自然哲学的数学原理》。在牛顿的时代，大家知道有两个物理学家，他
们数学其实也挺好，只不过那时候年代比较早，没有诺贝尔奖。一个是伽
利略，一个是开普勒。开普勒主要是研究行星运动的，天上的，伽利略则
是研究地上的。牛顿发现，天上的和地上的这两者实际上是很和谐的。他
从数学逻辑演绎的角度把这两者合在一起，所以牛顿说他的成就是站在巨
人的肩膀上。他对伽利略和开普勒的工作都有所推进，但是基本上是在他
们俩人的基础之上才形成了牛顿的三大定律和万有引力定律。
按照经典的牛顿力学，一个粒子是由两个量来确定的：一个是它的位
置，一个是它的速度。经典力学基本上由这两者就可以确定了。从牛顿这
本书，大家可以看出数学演绎对他奠定经典力学基础所起的作用。我来读
一段：“我献出这一作品，作为哲学（科学）的数学原理：因为哲学的全部
困难似乎在于从运动现象研究自然界的力，然后从这些力去阐明其它现象；
为了这一目的，一般性的命题定理将在第一和第二篇中给出；在第三篇中，
我们将给出阐述世界体系的一个例子，因为根据在第一篇中已从数学上证
明了的命题，可以在此从天体现象中获得关于引力的学说，物体由于引力
1
而趋向太阳和几大行星。同时，从这些力出发，根据数学原理，我们再推
导出关于行星、彗星、月亮、海洋的运动。我希望，自然界的其它现象，
亦可以用同样的方法，由数学原理推导出来。”
牛顿的经典力学很成功，能够解释很多的物理现象。拉普拉斯说：“如
果在某一时刻，我们知道宇宙中所有粒子的位置和速度，那么科学规律就
使我们能够计算这些粒子在过去和未来的所有时刻的位置和速度。”牛顿的
书同时也奠定了微积分的基础，它把物理科学从实验科学转变为精确科学。
牛顿的经典力学奠定了牛顿至高无上的地位。后来还是有些问题经典力学
解决不了，比如描述电磁学的麦克斯韦方程。
我现在用现代的语言来叙述麦克斯韦方程：设F 是一个微分2-形式，
d F = 0, δ F = 0,
其中d 是外微分，学过微分几何的同学都知道； δ 是d 的共轭算子。用局
部坐标写出来就是F = f
dx
∧ dx ，
dx
∧ dx ，
{ @f
@x + @f
@x
+ @f
+ @f
@x = 0
@f
0
0
@x0
−@f
1
1
@x1
−@f
2
2
@x2
−@f
3
3
@x3 = 0
在经典力学里，有一个对称性：物理规律在相对匀速运动的坐标系
（即惯性系）里都应该是一样的。把一个惯性系变为另一个惯性系的变换
叫伽利略变换，于是经典力学里的物理规律有伽利略协变性。例如，沿x
轴匀速运动的伽利略变换可写为
x′ = x −v t, y′ = y, z′ = z, t′ = t.
这其中隐含了绝对时间和绝对空间的概念。如果把伽利略变换作用在麦克
斯韦方程上，可以发现麦克斯韦方程的形式不再保持不变。这是经典力学
解释不了的。这也是相对论产生的因素之一。
下面说量子力学。在量子力学里，经典粒子是由波函数来描述的。原
来在经典力学里，态空间是流形，可观测量是流形上面的函数，或者用现
代的语言讲，是向量丛上的截面。等到量子力学的时候，流形要变成希尔
伯特空间，可观测量要变成希尔伯特空间上的算子，粒子的状态由希尔伯
特空间中的一维子空间给出。量子力学说，我们可以很精确的测量一个粒
子的位置，但是不能同时测量它的速度；如果你要很精确的测量它的速度，
就不能很精确地知道它的位置。这是量子力学的测不准原理，当然也可以
用数学推导出来。在量子力学里，保留了经典力学里的绝对时空，但是把
观测者和被观测量搅进来了。原来在经典力学里，不管观测者观不观测，
经典粒子的运动都是由它初始的位置和速度决定的，但在量子力学中就不
是这样了。
2
波函数要服从薛定鄂方程：
i~
d
dt
Ψx, t) = H Ψx, t),
其中左边是波函数随时间的变化率，右边是由物理定律决定的哈密顿算子
对波函数的作用。
我这样就把量子力学给大家简单地介绍了一下，接下来看什么叫相对
性。我们前面说过，麦克斯韦方程在伽利略变换下不是不变的，当时为了
解决这个困难，人们设想了很多得办法。比如，有人设想，麦克斯韦方程
所在的参考系不是任意的惯性系，而是有一个绝对参考系，即有以太存在，
麦克斯韦方程是在相对以太静止的参考系中成立的。但是后来的迈克耳
逊—莫雷实验证明了两件事情，其一是宇宙中不存在以太，其二是光速是
不依赖于参照系的选取的。当时，爱因斯坦在前人基础上花了很短的时间
（据他自己讲，只花了五个星期）就建立了狭义相对论。
狭义相对论就两条，一个是相对性原理，一个是光速不变。相对性原
理同样要求物理规律在惯性系中保持形式不变，但是此时的惯性系是四维
时空中的惯性系，所用的坐标变换变为洛伦兹变换。
爱因斯坦在狭义相对论中留了两个问题：一个问题说惯性系究竟是什
么？还有一个问题是万有引力，人们一直想找一种洛伦兹不变的引力理论，
但是发现很困难。后来爱因斯坦发现用一个统一的办法可以解决这两个问
题。对于惯性系问题，把惯性系推广到非惯性系，这就是广义协变原理；
对于引力，引入等效原理，将引力效应同样地转化为非惯性系。这样爱因
斯坦就走到了广义相对论。
广义相对论最核心的问题是爱因斯坦场方程，一会儿我讲得最多的也
是这个场方程：
R −1
2
g R = 8 π GT .
这个方程左边是几何量：度规、里奇曲率、标量曲率；右边是物质量：能
量、动量。它把几何量和物质量连在一起。
到了爱因斯坦的引力理论，时空紧密地联系在一起，引力就成了时空
的几何。广义相对论和量子力学有很大的差别：在量子力学中，时空的绝
对性保留下来了，到了广义相对论，时空的绝对性消失了，但是观测与被
观测的关系保留下来了。它们各取了牛顿力学的一部分，所以我们说引力
和量子力学基础不一样，不好统一。很多搞数学物理的或者搞理论物理的
人都企图统一这两者。
狄拉克在1928 年时建议了一个方程，叫做狄拉克方程：
ℑΨ= −imΨ,
3
其中ℑ=
(
0 D
D∗0
)
， D = ηab σa ej
(b)Dj， ej
(b)
是纵标架， σa 是泡利矩
阵：
σ0 =
(
1 0
0 1
)
, σ1 =
(
0 1
1 0
)
, σ2 =
(
0 −i
i 0
)
, σ3 =
(
1 0
0 −1
)
,
Dj = E2
@
@xj + Bj， Bj 是自旋联络。
如果在闵可夫斯基空间，度规ηab 是比较简单的：
η00 = 1, η
= −1, (α = 1, 2, 3), η
= 0, (α ̸= β).
= −1, (α = 1, 2, 3), η
= 0, (α ̸= β).
此时狄拉克方程有两个解，叫做平面波解。其中第一个解描述电子，另一
个解描述一个与电子电荷相反的粒子。狄拉克大胆猜测，这是正电子解。
1932 年，安德森在宇宙射线中发现了正电子。这就是狄拉克最著名的工
作，从中可以看出他的数学很厉害。另外，从狄拉克方程中自然可以出现
自旋1
2
这个概念。所以这个方程给了我们三条信息：第一，它是量子性的，
即用波函数描述粒子；第二，它是相对性的，即可以描述电子的高速运动；
第三就是给了我们自旋的概念，以后我们在数学上将这个概念推广到自旋
流形及其上的旋量。
狄拉克还有一个贡献。他在物理上有很多贡献，如二次量子化、费米
-狄拉克统计等，我现在讲的是数学上的。他建议了磁单极。我们知道电有
正电子、电子，可是磁场一定有北极和南极，没有单独的北极或者南极。
磁单极是由狄拉克建议的一种粒子，现在在CERN 的加速器的一个任务就
是希望找到磁单极。磁单极是从麦克斯韦方程的一种解：
E
= f0
= 0, (α = 1, 2, 3),
= f0
= 0, (α = 1, 2, 3),
H1 = f23 =
η x1
r3 , H2 = f31 =
η x2
r3 , H3 = f12 =
η x3
r3 ,
相应的电磁势为
A0 = A1 = 0, A2 = η
∫ x1
0
x3 du √
u2 + x22
+ x23
, A3 = −η
∫ x1
0
x2 du √
u2 + x22
+ x23
.
若取球面
S : x21
+ x22
+ x23
= R2,
4
并把电磁场张量F = f
dx
∧ dx 在S 上积分可得：
dx
∧ dx 在S 上积分可得：
∫∫
S
f
dx
∧ dx
dx
∧ dx
=
η
R3
∫∫
S
(x1 dx2 ∧ dx3 + x2 dx3 ∧ dx1 + x3 dx1 ∧ dx2)
=
3 η
R3
∫∫∫
r2<R2
dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 = 4 π η,
其中η 就是磁单极所带的磁荷。
所以，狄拉克在数学上给我们留下三样比较好的遗产：
•流形上的狄拉克方程
•旋量，或者说是旋量丛的截面
•U(1) 规范理论的磁单极解
事实上，麦克斯韦方程和狄拉克方程可以说统治了大部分物理学和全
部的化学、生物学。
狄拉克还有另外一件工作就很少有人知道了。他在1933 年获得诺贝尔
奖之后，在1935 年和1936 年各写了一篇文章，这两篇文章研究的是德西
特空间以及共形空间上电的波动方程。狄拉克在文章中指出：
原子物理中的方程是用狭义相对论的语言写出来的。它们在时
空变换下保持形式不变。这些变换包含洛伦兹群和平移群，它
们构成一个新的群。研究不同的变换对方程的作用以及物理与
群的联系将会成为一个有趣的问题。
这里关键的想法是，研究粒子的运动方程时要考虑它所允许的最大对称性。
闵可夫斯基空间的曲率是零，还有两个空间是正常曲率空间和负常曲率空
间。考虑五维射影空间里面的李球：
L : z2
1 + z2
2 + · · · + z2
6 = 0,
然后用三个平面P (μ = 1, 2, 3) 去截它
P : z1 = r1, . . . , z = r , z +1 = i r +1, . . . , z6 = i r6,
5
得到三个实的空间：
S4 = L ∩ P1 : r2
1
−r2
2
−r2
3
−r2
4
−r2
5
−r2
6 = 0,
M= L ∩ P2 : r2
1 + r2
2
−r2
3
−r2
4
−r2
5
−r2
6 = 0,
N = L ∩ P3 : r2
1 + r2
2 + r2
3
−r2
4
−r2
5
−r2
6 = 0,
它们分别是德西特空间、反德西特空间和德西特—陆空间的边界，因为陆
启铿是最早介绍狄拉克的这两篇文章的：
dS5 : x21
−x22
−x23
−x24
−x25
−x26
< 0,
AdS5 : x21
+ x22
−x23
−x24
−x25
−x26
> 0,
DL5 : x21
+ x22
+ x23
−x24
−x25
−x26
> 0.
当时，狄拉克研究这三个空间上电子的波动方程。在三十年代，流形的概
念刚刚出现，所以狄拉克本人一点都不知道流形的概念。在这种条件下要
研究上述的几个空间，还要在上面解微分方程，可想其困难。
那么，为什么狄拉克把它们叫共形空间呢？首先定义何谓共形变换。
设F : M → N 是流形间的映射，如果
F∗dsN = ef dsM,
其中f ∈ C∞(M)， F 就称为一个共形变换。最简单的例子，用球极投影
可以把Rn 做共形紧化，得到Sn。对于闵可夫斯基空间，共形紧化的结果
是S1 × S3 ∼=
U(1) × SU(2)
∼=
U(2)。
共形空间都是华罗庚研究过的典型域的特殊情况。用华罗庚的矩阵写
法，
D (m, n) = {X ∈ Rm×n | E −λX J X′ > 0},
其中J = (1,−1, . . . ,−1) 或J = (1, 1,−1, . . . ,−1)， λ 是实数。例如
D1(1, 4) = {X ∈ R4 | 1 −x21
+ x22
+ x23
+ x24
> 0},
其对称群为SO(1, 4)，其上的度量可以写为
ds2 =
dX(J −λX′ X)−1dX
1 −λX J X′ ,
它叫做华—陆度量。
为什么要重提狄拉克的这项工作呢？最近哈勃望远镜发现，我们的宇
宙是加速膨胀的。由此可以得出，宇宙的边缘不是渐近平坦的，而是带有
正曲率的德西特空间，
最后再来讲几个问题。
6
第一个问题是AdS/CFT 对应。一个完备、负常曲率爱因斯坦流形内
部的量子引力和它共形边界上的共形场论是等价的。这是物理上很难的问
题，同时也提出很多相关的数学问题。
第二个问题是共形空间上的场方程，如拉普拉斯方程、杨—米尔斯方
程、狄拉克方程、爱因斯坦方程等等。
第三个问题是爱因斯坦方程的解。爱因斯坦方程除了平凡的解以外，
还有很多不平凡的精确解，如史瓦西解：
ds2 = −(
1 −2M
r
)
dt2 +
(
1 −2M
r
)−1
dr2 + r2 (
dθ2 + sin2 θ dϕ2)
;
克尔解：
ds2 = −(
1 −2M r
Σ)
dt2−4M r a sin2 θ
Σdt dϕ+
ΣΔdr2+Σdθ2+
A sin2 θ
Σdϕ2,
其中Σ= r2+a2 cos2 θ， Δ= r2−2M r+a2， A = (r2+a2)2−a2 Δsin2 θ；
克尔—纽曼解等等。我们也在这方面做过一些工作。另外，通常求解时都
假设度规渐近平坦，如果把条件换成渐近德西特，又会带来很多新的问题，
例如黑洞无毛定理会有什么样的变化。
第四个问题是正质量问题。丘成桐及其合作者所证明的正质量猜想是
彭罗斯不等式的特殊情况。彭罗斯不等式的大意是，一个黑洞的质量下界
由它视界的面积给出。在过去三十年，彭罗斯不等式的求证一直是广义相
对论中公认的难题。
第五个问题是数值广义相对论。这类方法可以用来研究黑洞碰撞、超
新星爆发等剧烈天体过程中的引力波辐射。还可以在地球附近建立精确的
引力场数据，用来帮助处理军事、地理信息等领域的问题。
我就讲到这里。
最后再让我们回到狄拉克，我为什么今天在清华数学系讲狄拉克呢？
因为狄拉克思想深邃、逻辑理性、数学睿智，他在1935 年7 月曾应邀访
问清华大学，做关于正电子的演讲。在他的墓碑上，刻有以他名字命名的
方程： ℑΨ= −imΨ。
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