从抽陀螺到惯性导航
陀螺，是一种古老的玩具。它的种类很多，有大有小，小的只有图钉大小，而大的却有数十公斤重。从制作的材料来说，有木制的、金属制的，也有用象牙等贵重材料制的。玩法也有不同，有的用手指捻，看谁捻的陀螺转得时间长，有的用双手搓，还有的用鞭子抽，使它加速旋转。
陀螺的名称也很多，在宋代叫?千千?，也称?妆域?、?干乐?，是指宫女们在象牙盘中以手捻来使它转的那种小陀螺，在日本叫?独乐?是从中国经由朝鲜传入的。据考古发现，我国在
5000年前便有陀螺出现，在世界各国的早期文化中，几乎都有玩陀螺的记载，英美人称为?top?。至于用鞭子抽来加速它旋转的那种陀螺，有的地方称为?冰猴儿?，特指在冰上玩的那种，在抗日时期有的地方把这种游戏形象地称为?抽汉奸?。
高速旋转的陀螺，由于惯性，具有很好的稳定性，轴的方向总是保持不变。细心的人会注意到，在陀螺旋转时，会出现两种情况：一种是笔直地站立旋转，就像不动一样，它的轴处于铅直的位置；另一种是陀螺的轴不在铅直位置，这时陀螺自己旋转外，它的轴还饶铅直轴旋转。后一种情况称为规则进动。
对于前一种情况比较好理解，对于规则进动的情形需要加以解释。原来陀螺在初始时刻，它的轴可能不是铅直的，即和铅直轴呈一个角度。这时由于陀螺的重心处于陀螺的对称轴上，而陀螺所受的重力是铅直向下的，所以陀螺受一个对
o点的力矩。不妨假设陀螺所受的力矩使陀螺上的B点向下，使与B点处于同一对称圆直径上的A点向上，设原来A点和B点的速度分别为v和－v，它们都处于水平面内且大小相等方向相反。在所说的力矩作用下A点获得一个向上的速度分量u，而B点获得一个向下的速度
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分量－
u，结果A 点和B 点的实际速度分别是v’和－v’，显然这两个速度所在的平面对原来的由v 与－v 所决定的平面改变了一个角度。这个角度使陀螺的轴发生改变，其改变的方向总是指向陀螺所受力矩的旋转面垂直，即同力矩的旋转轴平行。
当陀螺的初始位置对称轴不是铅直时，在重力作用下，陀螺受一个旋转轴沿旋转圆切线方向的力矩。从上面的分析，陀螺的对称轴也必然向旋转圆周方向不断倾斜，结果就产生规则进动的情形。这时，陀螺的对称轴绕铅直轴作等速转动，在空中画出一个锥形。如果陀螺的初始位置对称轴不是铅直而且对称轴还有一个使倾角变化的初始速度，则陀螺进动时其倾角还会不断周期性地变化，对称轴和铅直轴夹角随时间的变化曲线如右图的
(b)所示。由以上分析，就会理解为什么在用鞭子抽一下陀螺时，陀螺只是摇晃一下然后又平稳地旋转下去。原来在用鞭子抽陀螺的瞬时，鞭子加在陀螺上的力主要是在陀螺转动的圆的切线方向的力，这个力除了使陀螺转动加快外，还会形成一个使陀螺倾倒的力矩，就是这个力矩会使陀螺摇晃一下，一旦这个力矩去掉，陀螺便又恢复平稳。
以
24 小时自转的地球，是一个巨大的?陀螺?。由于地球的形状是椭球状， 当它在月球的吸引下，形成一个外力矩， 由于这个力矩的作用，地球这个大?陀螺?也要产生前面所说的规则进动的情形。不过这个进动是非常慢的，大约26000 年才循环一周。由于这个进动， 我们的地球转动的轴会缓慢地改变，过多地方了。
对陀螺运动的精确分析应当是从瑞士数学力学家欧拉（
Leonard Euler，1707－1783）开始的。欧拉把陀螺近似地简化为一个刚体绕固定点的运动，采用适当的参数（即欧拉角）来描述这种运动，并且首先弄清楚了这些参数所应当满足的运动方程。这是最一般情形下刚体绕固定点运动方程，它是由三个二阶微分方程组成的方程组，称为欧拉方程。由于这组方程非 少年后，旋转轴就会从现在的北极星附近移到别的
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常复杂，很难求解。迄今为止，只得到三种靠积分得到解的情形，而且后来人们证明，只靠积分的办法，人们也仅能得到这三种解。第一种情形是欧拉自己于
1765年找到的，是刚体的形状任意，其重心就在固定点，而且不受外力矩的自由运动的情形，右图支在支架上的陀螺就是这种情形。第二种情形是1788年由法国数学力学家拉格朗日（J.L.Lagrange，1736－1813）找到的，这种情形是陀螺完全旋转对称的，固定点处于对称轴上，刚体只受重力作用，这恰好是我们通常玩具陀螺的情形。欧拉与拉格朗日情形之后，一直沉默了100年，到1888年才由俄罗斯女数学力学家索菲亚科瓦列夫斯卡娅找到了第三种情形，即刚体的重心位于刚体回转椭球的赤道平面上，而且三个转动惯量有两个相等第三个是前两个的二倍。对于刚体绕固定点运动，此外的复杂情形，一般就都要借助于计算机作数值求解了。 i
我们前面介绍了陀螺运动的特点，归结起来，主要表现为两方面：即一是它的稳定性，二是在受到外力矩时它以适当的倾斜来反应。经过系统的分析和研究，这两方面的运动特点都在技术上得到广泛的应用。
最早把这种原理用于制造仪表的，大约是由法国的科学家傅科（
Jean Bernard Léon Foucult,1819－1868）开始的。1852年他制成了一架陀螺仪，由基座、支架与转子三部分组成。支架使转子与基座之间有三个角运动的自由度。傅科用这架陀螺仪证实了地球的自转，所以傅科又称它为"转动指示器"。指南针在古代的航海中起了很大的作用，到了19世纪末，开始用钢铁制造轮船。指南针在钢铁围绕下便完全失效了，人们不得不另外寻求能够指示方向的装置。由于陀螺旋转的稳定性，高速旋转起来的陀螺，其旋转轴的指向是不变的。人们就把它用装在轮船上来指示方向。1907年美国人斯派瑞（Elmer Ambrose Sperry，1860－1930）在一艘船是装上了陀螺仪，并且于1911年申报了专利。后来他于1921年生产了依靠陀螺仪自动掌握轮船行驶方向的控制装置，并且开办了公司专门从事陀螺仪的生产和改进。1908年德国人安休斯制成了第一架可以用于航行的陀螺仪。在第一次世界大战期间德国与美国先后把陀螺仪用在飞机上作为倾斜于转弯的指示。 斯派瑞(Elmer Ambrose Sperry 1860 －1930 )
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高速陀螺轴的不变性，还被用在鱼雷、舰艇、车辆上，以保证这些运动物体的平稳、减小运动时的振荡和颠簸。后来还被用在坦克车、大炮、工作平台、测量仪器乃至电影摄像机上，以保证射击、测量和摄像的准确性。
1907
年在英国造成了单轨汽车进行表演，靠的就是高速旋转的陀螺使它运行稳定。下图就是该汽车的照片，右边是该车高速旋转陀螺的部件。
在第一次世界大战期间，德国与美国先后把陀螺仪用在飞机上作为飞机倾斜与转弯的指示。到了
1929年9月，美国人多里特（J.H.Dolit）应用无线电、陀螺水平仪、航向陀螺仪来控制飞行。在1931年美国人鲍格斯（M.S.Boggs）完成飞机盲目着陆，使在夜间与有云雾的天气下航行与降落成为可能。二次世界大战期间，德国人把陀螺仪安装到V－2导弹上来控制导弹的飞行。科学技术是不断发展的，人类对航行的要求不断提高。潜水艇与宇宙航行每时每刻都需要精确了解它所在的位置。从1957年开始，人类开始了人造卫星与星际航行。从20世纪70年代开始，出现了核潜艇。宇宙飞船在进出大气层时，由于高温引起的气体电离，使飞船无法接收到无线电导航的信号。潜水艇在水中，水是不能传播电磁波的，根本不能靠无线电导航信号。何况人们还有从水底发射导弹等更为复杂的要求。这就要求这些潜水艇或飞船不以来任何外来的信号来准确定位，这就是惯性导航。
惯性导航正是利用高速旋转陀螺的动力特性做到的。前面我们介绍过，当高速旋转的陀螺受到外力矩时，总会产生向一侧倾斜的反应。惯性导航正是利用这个规律来实现的。当潜水艇运动加减速度或拐弯时，在潜水艇上高速旋转的陀螺就会接收到由潜水艇这些行为引起的惯性力所产生的力矩，根据陀螺的反应进行分析就能够得到潜水艇在任何时刻的加速度。记录下这些加速度，并且通过积分可以求得速度，再积分一次便可以得到潜水艇的准确位置。
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于是从理论上说，只要知道潜水艇的初始位置，无论过多久，处在潜水艇中的人不和外部做任何信息交流就可以准确知道它在什么地方。
不过要做到这一点，在技术上还要克服许多困难。这就要求不断提高陀螺仪的加工精度以减少误差。陀螺仪从诞生以来，对它的加工精度要求越来越高，设计越来越精密。已经成为一项集精密工艺、力学、电子学、自动控制、冶金学、等学科为一体的联合高技术行业。它的转子转速可达每分钟数万转，在支架的设计上，要求陀螺在单位时间内的漂移率越小越好。现在的飞机与导弹，要求漂移率每小时不超过百分之一度。因之，它的加工带动了机械加工的精度。一般精度要求在微米级，光洁度要求达到▽
12～ ▽14 。加工时还必须在恒温恒湿和洁净无尘的条件下进行。随着火箭和潜水艇技术的发展，惯性仪表在最近的40年里，精度大幅度提高。对精度起决定性作用的是仪表支承轴上的干扰力矩，它比初期减小了4个量级，即几万倍之多。
迄今人们虽然研究开发了一些其他种类的惯性导航的仪表，如激光惯性仪表等，不过在那些需要特别高精度的应用场合，传统的机械转子式陀螺仪和加速度计，仍然是首选对象。这种技术的难度和代价是相当高的，一般 地说，为实现现代高精度陀螺仪的技术要其高速旋转部分的间隙需小于
1 μm，活动部 件的质心不稳定量需在1 nm以下，金属材料的稳定性在1个微应变以下，机械加工精度为0. 1 μm，温控精度0.01 ，局部环境的洁净度优于10级，测试设备的测角精度0.1 ″，长度测量精度10C°－７。据国外报道，陀螺仪的漂移速率已经做到了地球自转速率的千万分之一，即10－ ６(°)／h，这个精度相当于潜水艇在水下活动数年而位置的误差不会超过1经纬度。从以上的高难度的要求和所要达到的精度来说，惯性导航确确实实是一门高技术。上图所示就是美国阿波罗飞船上所使用的导航系统的外观。 阿波罗上用的导航系统
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