3)微商法：利用对确定隐函数的方程两边同时求微分，再根据函数的微分与函数的导数之间的关
系(y对x的导数即为Y的微分与x的微分的商)求出隐函数的导数的方法。此种方法与公式法有着
同样的缺点，即：在求微分的过程中需要分别把x，Y看成独立变量，而且该方式比公式法的计算过程
更复杂一些
2O02年第4卷第3期 <巢湖学院学报)(自然科学版)
总第56期 Journal Chaohu college(Natural Selenee)
No．3．．vd．4．2O02
General Serial No．56
关于隐函数求导问题的归纳与总结
倪敬能
(合肥学院基础部， 合肥， 230022)
摘要：本文简要阐明了隐函数求导数的几种常见的方法，以供读者在求隐函数的导数
时参考。
关键词：隐函数； 导数
中图分类号：0174．1 文献标识码：A 文章编号：1009—0835(20o2)03—0003—03
一
、
引言：对隐函数求导数是很多初学微分学的同学们的一个较为头痛问题，鉴于此，本文特对隐
函数的求导数问题作出一些归纳，以供参考。
二、正文：本文作者在教学过程中对隐函数求导数总结出六种常见方法，并对每种方法的使用范
围、特点及优缺点都作出了总结，现特一一介绍如下：
1)显化法：把隐函数化为显函数后，再利用显函数来求导数的方法。此种方法常用于较容易化为
显函数的隐函数的求导，但是此种方法由于受有些隐函数不能或者较难化为显函数限制，而不是很常
用。例如：
问题：方程：)(2+I~(xy—Y)=0确定了Y是x的函数，求Y对x的导数。
^
解：原方程化为I~(xy一÷)=一x2 )c)r—Y =e— y(x=÷)=e
一
y= (从而化为显函数，由显函数的求导法则可求得：y )
： y， ： X ： X ／．
．
， ．． y ／ ： 1 、 ： 。一 、
x — — 。
X X
收稿日期：2002—2—13
作者简介：倪敬能(1973一)，男。合肥学院助教。
·
3 ·
方程：xeI，2 而一Ln(arctan )+3x2—4y=0确定了y是x的函数，这就很难化成显函数的形式。
2)公式法：利用公式：Y =一 来求隐函数的导数的方法。这种方法要求先把确定隐函数的方
程写成：V(x，Y)=0的形式，再对V(x，Y)=0的两边同时分别对x，Y求导数，然后再利用该公式求出
Y 。而且在对F(x，Y)=0的两边同时分别求导数时，需要先后把y，x看成常数(其实是根据x，Y为F
(x，Y)的独立变量)这对初学者来说不容易分辨。而且此方法的计算量较大。例如：
问题：方程：)(2+Ln( 一Y
，
)=0确定了Y是x的函数，求Y对x的导数。
解：令F(x，y)=)【2+L~(xy一÷)=0⋯⋯*)
V
Y 4-
对(*)式两边同时求对x的导数，得：F =2x+
xy一-2
x
_
对(*)式两边同时求对Y的导数，得：F =
xy一专
⋯机一 2 +
釜 ≥1 ：
注：由上面的计算过程我们可以看出：(I)本题计算较为复杂；(II)在对v(x，y)求对x的导数时，将
Y看作常数，在对V(x，y)求对Y的导数时，将x看作常数，这一点初学者很难搞清。
3)微商法：利用对确定隐函数的方程两边同时求微分，再根据函数的微分与函数的导数之间的关
系(y对x的导数即为Y的微分与x的微分的商)求出隐函数的导数的方法。此种方法与公式法有着
同样的缺点，即：在求微分的过程中需要分别把x，Y看成独立变量，而且该方式比公式法的计算过程
更复杂一些。例如：
问题：方程：X2+Ln(xy一÷)=0确定了Y是x的函数，求Y对x的导数。
解：对上方程的两边同时求微分，得：2xdx+— 一d(xy—Y)：0
xy一专
2xd)【+— [d( 一d(专)]：。 2xd)【+ 1
xy
(yd)【+xdy一{dy+ d)【)=。
一
一 xv 一 ‘‘
2x+ (y+x毫一{圭+ )=。(由上式两边同除以(b【得到)
+
壹 一 扣 y， ： ’
4)参数法：引入参数把隐函数转换成由参数方程组所确定的函数，再利用参数方程组所确定的函
数的求导法则来求该隐函数的导数的方法。该方法在把隐函数转换成由参数方程组所确定的函数
时，步骤较为复杂，因此一般很少使用。例如：
问题：方程e” +Ln(x—Y)=0确定了Y是x的函数，求：Y 。
又由e +Ln(X—Y)=0~Ln(x—Y)=一t： x—Y=e一‘⋯⋯2)
联立(1)、(2)解得：x
⋯
= (Ln
⋯
t+ e
一
')／
，
2
，
，2
(t为参数)，(化为了由参数方程组所确定的函数)
1
川 川=
5)复合法：把隐函数转换成复合函数，再利用复合函数求导法则来求该隐函数的导数的方法。该
方法的原理类似于对数求导法原理，但比对数求导法适用性更广泛。例如：
问题：方程：Xy一( ” ：0确定了y是 的函数
，
求：y， 。
解： 一( ””：o xy：( ) )
~ylmx_(x+y)Ln y 为了复△ 函数)
．
(IJ1 +南2 斋一
¨ (【nx—Ln~／x2+1)
6)直接法：直接把确定隐函数的方程中的Y看成是x的函数，再对方程的两边同时求对x的导数，
从而得到一个含有Y 的方程，由此方程解出Y 的方法。该方法具有着很好的适用性，因此也被广泛
使用，但是，该方法要求使用者比较熟悉复合函数的求导法、对数求导法等一些基本的导数知识，而且
若能够把此方法和复合法灵活地结合起来使用，将是求导数问题的一个极其有用工具。例如：
问题：方程：Y +Xy+x” +Y =R(R为常数)确定了Y是x的函数，求Y 。
分析：因为上方程已经确定了Y是x的函数，所以不妨假设Y可以表示成：Y=f(x)的形式，故原方
程中的Y都可以换成 x)，于是，原方程变为：
[f(x)] + ’+x” + ’(x)=R，此为只含有x的一元方程，对此方程的两边同时求对x的导
数，即可得到一个含有X-．f(x)、r(X)的方程，解此方程即可以得到f，(X)，而Y =f，(X)，从而得到Y 。
但是在具体的求解过程中就不必要，把Y写成f(x)，只需把Y看成是f(x)即可。比如对上题的求解如
解：yX+Xy+x¨ +yxy=R==>eII』。y+eyLnx+e‘ y’ +eX．yLny=R
e
岫(Lny+专y )+ey (y +专)+e [(1+y )【nx+ ]+exy [(y+)[)， )Lny+)[)， ]=o
y Lny+x ÷+x” (【nx+ )+y,ryLny+y [y 专+x 【nx+x ”’Lnx+x(1+Lny)y"r]=o
yXLny+ Y
、
+Xx吖(【nx+ )+y,ryLny
y =一——— —— — —— ——— — — —一求解完毕。
y x+x Lnx+x‘ Lnx+x(1+Lny)
三、问题的回顾与总结：
上文主要是对一元函数的隐函数导数求解问题的总结和归纳，从中我们可以看出：在满足一元函
数的隐函数存在性定理的条件下(即：由方程所确定的隐函数一定存在)，使用直接求导法比较实用，
而且该方法对一些较为繁杂的问题处理起来也比较方便，所以作者比较赞同在处理这一类问题时，使
用直接求导法。而且该方法还可以推广到多元函数的隐函数的偏导数求解。由于受篇幅的限制，在
此就不赘述。 责任编辑：开斌
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